परिमेय त्रिभुज

परिभाषा

सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।

कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।

एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।

परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।

समकोण त्रिभुज(Right Triangles)

एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle) को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।

हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles)

एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।

हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।

जाली त्रिकोण(Lattice Triangles)

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।

पूर्णांक त्रिभुज

एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।

एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।

एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण

दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज

धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( OEIS में अनुक्रम A005044)

इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।

दी गई सबसे बड़ी भुजा वाले पूर्णांक त्रिभुज

दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक त्रिक की संख्या है जैसे कि a + b > c और a b ≤ c। यह पूर्णांक मान सीलिंग [^{(c + 1)}⁄2] * तल [^{(c + 1)}⁄2] है। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरा त्रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)² /4 है। इसका यह भी अर्थ है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c - 2 बटा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से अधिक है। c = 1 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी भुजा c वाले गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (OEIS में अनुक्रम A002620)

दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक त्रिगुण (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (a, b, c) जो व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक त्रिगुणों की संख्या है जैसे कि a + b > c , a² + b² ≤ c² और a ≤b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक पक्षीय अधिक या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c= 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS में अनुक्रम A236384)

नतीजतन, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ न्यून पूर्णांक पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (OEIS में अनुक्रम A247588)

एक पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल

हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है तो

4T = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}

चूँकि सूत्र के दायीं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T² होना चाहिए और T² परिमेय होगा।

एक पूर्णांक त्रिभुज के कोण

कोज्या के नियम(law of cosines) के अनुसार, एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण की एक परिमेय कोज्या होती है।

यदि किसी त्रिभुज के कोण एक समांतर श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए। पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में भी परिमेय कोज्या होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की एक विधि नीचे दी गई है। हालांकि, एक समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, ऐसे कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो एक ज्यामितीय या हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप के परिमेय कोण होने चाहिए।

(πp)/q  तर्कसंगत 0 < p/q<1 के साथ लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोसाइन होने चाहिए और यह तभी होगा जब p/q=1/3:p.2  यानी पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।

एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के द्विभाजक का वर्ग परिमेय होता है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+ है c}}}{\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}} जहां s सेमीपरिमीटर है (और इसी तरह अन्य कोणों के द्विभाजक के लिए)।

पार्श्व एक ऊंचाई से विभाजित

किसी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया कोई भी ऊँचाई या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को परिमेय लंबाई में विभाजित कर देगा।

माध्यिकाओं

एक पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका के दोगुने का वर्ग एक पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्य m_a ² से भुजा a तक का सामान्य सूत्र {\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{ है) 2})}{4}}}{\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}, देना (2ma)² = 2b² + 2c² - a² ( और इसी तरह अन्य पक्षों के मध्य के लिए)।

वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या

चूँकि एक पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसलिए इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंत:त्रिज्या का वर्ग होता है।

एक पूर्णांक त्रिभुज की परिधि के अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय है, जो अर्धपरिमापी के लिए {\displaystyle {\tfrac {4T^{2}}{sabc}}}{\tfrac {4T^{2}}{sabc}} के बराबर है एस और क्षेत्र टी।

एक पूर्णांक त्रिभुज की अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय होता है, जो {\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.}{\tfrac {abc}{2(a+b) के बराबर होता है +सी)}}।

इस प्रकार यूलर के प्रमेय द्वारा R² - 2Rr के रूप में दी गई पूर्णांक त्रिभुज के अंतःकेंद्र और परिधि के बीच की वर्ग दूरी परिमेय है।

विशेष पूर्णांक त्रिभुज

• एकमात्र त्रिभुज जिसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल लगातार पूर्णांक हैं, उसकी भुजाएँ (3, 4, 5) और क्षेत्रफल 6 है।
• एकमात्र त्रिभुज जिसमें एक ऊँचाई और भुजाओं के लिए क्रमागत पूर्णांक होते हैं, भुजाएँ (13, 14, 15) और भुजा 14 से ऊँचाई 12 के बराबर होती है।
• (2, 3, 4) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनकी अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं और जिनमें पूरक बाह्य कोण गुण हैं।यह गुण बताता है कि यदि कोण C अधिक है और यदि एक खंड को B से लंबवत रूप से AC को P पर विस्तारित करके गिराया जाता है, तो ∠CAB=2∠CBP।
• (3, 4, 5) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र पूर्णांक समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।
• (4, 5, 6) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनका एक कोण दूसरे कोण का दुगुना है और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।
• (3, 5, 7) त्रिभुज और उसके गुणज 120° के कोण वाले एकमात्र त्रिभुज हैं और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।
• क्षेत्रफल वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज = अर्धपरिमाप जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।
• क्षेत्रफल = परिमाप वाले एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज की भुजाएँ (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), और (9, 10, 17) हैं। . इनमें से पहले दो, लेकिन अंतिम तीन नहीं, समकोण त्रिभुज हैं।
• तीन परिमेय माध्यिकाओं के साथ पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं।: p. 64  सबसे छोटे की भुजाएँ होती हैं (68, 85, 87)। अन्य में (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) और (327, 386, 409) शामिल हैं।
• कोई समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिकोण नहीं हैं।
• एकमात्र आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण जिसके लिए परिधि का वर्ग क्षेत्र के एक पूर्णांक गुणक के बराबर है (3, 4, 5) परिधि 12 और क्षेत्र 6 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 24 है; (5, 12, 13) परिधि 30 और क्षेत्रफल 30 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 30 है; और (9, 40, 41) परिधि 90 और क्षेत्रफल 180 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 45 है।
• एक परिमेय समकोण त्रिभुज और एक परिमेय समद्विबाहु त्रिभुज का एक अद्वितीय (समानता तक) युग्म मौजूद है जिसका परिमाप और क्षेत्रफल समान है। अद्वितीय जोड़ी में (377, 135, 352) त्रिभुज और (366, 366, 132) त्रिभुज शामिल हैं।ऐसे त्रिभुजों का कोई युग्म नहीं है यदि त्रिभुजों को भी आदिम समाकलन त्रिभुज होना आवश्यक है।लेखक हड़ताली तथ्य पर जोर देते हैं कि दूसरा दावा एक प्राथमिक तर्क द्वारा सिद्ध किया जा सकता है (वे अपने परिशिष्ट ए में ऐसा करते हैं), जबकि पहले दावे के लिए आधुनिक अत्यधिक गैर-तुच्छ गणित की आवश्यकता होती है।