Mathematics for physics

Differentiation

In calculus, differentiation is one of the two important concepts apart from integration. Differentiation is a method of finding the derivative of a function. Differentiation is a process, in Maths, where we find the instantaneous rate of change in function based on one of its variables. The most common example is the rate change of displacement with respect to time, called velocity. The opposite of finding a derivative is anti-differentiation.

If x is a variable and y is another variable, then the rate of change of x with respect to y is given by dy/dx. This is the general expression of derivative of a function and is represented as f'(x) = dy/dx, where y = f(x) is any function.

Constant quantity

If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.

Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,

Variable quantity

If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.

Variable quantities are divided into two types

(a) Independent quantity.
(b) Dependent quantity.  

In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.

Function

If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.

Difference and Differential coefficient

Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.

The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.

Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y

The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then

we write △y/△x is equal to dy/dx.

In mathematical language, we represent the above statement as:

lim(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx or

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx

In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.

dy/ dx = Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)⁡█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x

The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.

d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.

Differentiation

The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.

Basic Theorems on Differentiation:

i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.

Then dy/dx =d/dx(c) =0

Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0

ii) The differential coefficient of xⁿ is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.

If y = xⁿ then dy/dx = nx^n-1, where n may be positive or negative.

Example: Differentiate y = 8x⁸ w.r.t. x.

Solution: dy/dx = d/dx(8x⁸) = 8d/dx(x⁸) = 8*8*x^8-1 = 64x⁷

iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.

Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.

Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...

Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.

Solution:

dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10

Rules of differentiation

Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.

Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

Example: Differentiate y = x(x² – 2x) w.r.t. x.

Solution: Here u = x, v = x² - 2x

dy/dx = d/dx[x(x²-2x)]=x(d/dx)(x² – 2x) + (x²–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x² - 2x)*1= 3x² - 4x

Quotient Rule:

The differential coefficient of the quotient of two functions = [2^nd function * derivati of the 1^st function - 1^st function * derivative of 2^nd function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x² + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)

HINDI

विभेदन / विभेदीकरण

कलन में, विभेदीकरण एकीकरण के अलावा दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। विभेदन एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की एक विधि है। विभेदीकरण एक प्रक्रिया है, गणित में, जहां हम इसके एक चर के आधार पर कार्य में परिवर्तन की तात्कालिक दर पाते हैं। सबसे सामान्य उदाहरण समय के साथ विस्थापन की दर में परिवर्तन है, जिसे वेग कहा जाता है। व्युत्पन्न खोजने के विपरीत भेदभाव विरोधी है।

यदि x एक चर है और y एक अन्य चर है, तो y के संबंध में x के परिवर्तन की दर dy/dx द्वारा दी जाती है। यह किसी फलन के अवकलज का सामान्य व्यंजक है और इसे f'(x) = dy/dx के रूप में दर्शाया जाता है, जहां y = f(x) कोई फलन है।

यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।

उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,

परिवर्तनीय मात्रा

यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।

परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है

(ए) स्वतंत्र मात्रा।
(बी) निर्भर मात्रा।

समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।

फलन

यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।

अंतर और विभेदन गुणांक

मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।

किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।

x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y

y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब

हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।

गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx or

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx

इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।

dy/ dx =Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)⁡█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x

स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।

d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।

भेदभाव

किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।

विभेदन पर मूल प्रमेय

i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।

तब dy/dx =d/dx(c) =0

उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) xⁿ का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

यदि y = xⁿ तो dy/dx = nx^n-1, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

उदाहरण: अंतर y = 8x⁸ w.r.t. एक्स।

समाधान: dy/dx = d/dx(8x⁸) = 8d/dx(x⁸) = 8*8*x^8-1 = 64x⁷

दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।

तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...

उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।

समाधान:

dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102

भेदभाव के नियम

प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।

माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

उदाहरण: y = x(x² – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।

हल: यहाँ u = x, v = x² - 2x

dy/dx = d/dx[x(x²-2x)]=x(d/dx)(x² - 2x) + (x² -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x² - 2x)*1= 3x² - 4x

भागफल नियम

दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2^nd फलन * 1^st फलन का व्युत्पन्न - 1^st फलन * 2 का व्युत्पन्न ^nd फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x² + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)