परिमेय त्रिभुज
परिभाषा
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।
समकोण त्रिभुज(Right Triangles)
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle) को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।
हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles)
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।
जाली त्रिकोण(Lattice Triangles)
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।
पूर्णांक त्रिभुज
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।
एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण
दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( OEIS में अनुक्रम A005044)
इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।