Mathematics for physics

Constant quantity[edit source]

If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.

Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,

Variable quantity:[edit source]

If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.

Variable quantities are divided into two types

(a) Independent quantity.
(b) Dependent quantity.  

In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.

Function:[edit source]

If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.

Difference and Differential coefficient:[edit source]

Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.

The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.

Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y

The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then

we write △y/△x is equal to dy/dx.

In mathematical language, we represent the above statement as:

lim(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx or

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx

In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.

dy/ dx = Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)⁡█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x

The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.

d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.

Differentiation:[edit source]

The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.

Basic Theorems on Differentiation:

i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.

Then dy/dx =d/dx(c) =0

Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0

ii) The differential coefficient of xⁿ is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.

If y = xⁿ then dy/dx = nx^n-1, where n may be positive or negative.

Example: Differentiate y = 8x⁸ w.r.t. x.

Solution: dy/dx = d/dx(8x⁸) = 8d/dx(x⁸) = 8*8*x^8-1 = 64x⁷

iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.

Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.

Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...

Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.

Solution:

dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10

Rules of differentiation

Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.

Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

Example: Differentiate y = x(x² – 2x) w.r.t. x.

Solution: Here u = x, v = x² - 2x

dy/dx = d/dx[x(x²-2x)]=x(d/dx)(x² – 2x) + (x²–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x² - 2x)*1= 3x² - 4x

Quotient Rule:

The differential coefficient of the quotient of two functions = [2^nd function * derivati of the 1^st function - 1^st function * derivative of 2^nd function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x² + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)

HINDI[edit source]

विभेदन / विभेदीकरण:[edit source]

यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।

उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,

परिवर्तनीय मात्रा:[edit source]

यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।

परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है

(ए) स्वतंत्र मात्रा।
(बी) निर्भर मात्रा।

समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।

फलन[edit source]

यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।

अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source]

मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।

किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।

x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y

y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब

हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।

गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx or

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx

इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।

dy/ dx =Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)⁡█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x

स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।

d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।

=== == भेदभाव

== ===

किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।

विभेदन पर मूल प्रमेय:[edit source]

i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।

तब dy/dx =d/dx(c) =0

उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) xⁿ का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

यदि y = xⁿ तो dy/dx = nx^n-1, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

उदाहरण: अंतर y = 8x⁸ w.r.t. एक्स।

समाधान: dy/dx = d/dx(8x⁸) = 8d/dx(x⁸) = 8*8*x^8-1 = 64x⁷

दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।

तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...

उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।

समाधान:

dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102

भेदभाव के नियम[edit source]

प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।

माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

उदाहरण: y = x(x² – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।

हल: यहाँ u = x, v = x² - 2x

dy/dx = d/dx[x(x²-2x)]=x(d/dx)(x² - 2x) + (x² -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x² - 2x)*1= 3x² - 4x

भागफल नियम:[edit source]

दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2^nd फलन * 1^st फलन का व्युत्पन्न - 1^st फलन * 2 का व्युत्पन्न ^nd फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x² + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)