त्रिकोणमितीय पहचान की सूची

Template:Trigonometry त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।

पाइथागोरियन पहचान

Main article: Pythagorean trigonometric identity

साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

कहाँ पे $\sin ^{2}\theta$ साधन $(\sin \theta )^{2}$ तथा $\cos ^{2}\theta$ साधन $(\cos \theta )^{2}.$ इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है $x^{2}+y^{2}=1$ यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$

जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है $\theta .$ इस पहचान को विभाजित करना $\sin ^{2}\theta$, $\cos ^{2}\theta$, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

$\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta$

इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:

Each trigonometric function in terms of each of the other five.

in terms of	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता

यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।