समीकरण

समीकरण बनाना

वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।

हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (सामी-करण, सम-कारा या सम-क्रिया; समा, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यवत-तवत को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण

बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।

राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ

राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10

हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।

x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,

राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10।

अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।

बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।

क्रमांक	बीजीय व्यंजक का संघटक	संस्कृत शब्द	प्रतीक/चिह्न	उदाहरण
1	अज्ञात	यावत्तावत् कालकः नीलकः , ......	या का नी , ........	या ३ का ४ नी ८	3x 4y 8z
2	योगफल	योगः	-	या का या ३ का ४	x + y 3x + 4y
3	गुणनफल	भावितम्	भा	याकाभा याकाभा ३	xy 3xy
4	वर्ग	वर्गः	व	याव	x2
5	घनक्षेत्र	घनः	घ	याघ	x3
6	चौथी शक्ति	वर्ग​-वर्गः	वव	यावव	x4
7	स्थायी अवधि	रूपम्	रू	रू ३	3
8	ऋणात्मक	ऋणम्	मात्रा के ऊपर बिंदु (.)	. रू ४	-4

अक्षर या (यावत-तावत का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो यवत-तवत-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को रू अक्षर से निरूपित किया गया था, जो रूप का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी   हैं। ये यावत-तावत , कालका और नीलका के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा उनके उत्पाद के लिए है।

निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।

क्रमांक	आधुनिक संकेतन	प्राचीन भारतीय संकेतन
1	x + 1	या १ रू १
2	3x - 7	या ३ रू ७.
3	2x – 8	या २ रू ८.
4	15x2 + 7x - 2	याव १५ या ७ रू २.
5	1x4 + 6x3 + 25x2 + 48x + 64	यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४
6	18x2 + 12xy - 6xz -6x	याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६. या ६.

प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।

समीकरण 10 x - 18 = x² +14 . पर विचार करें

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

0x² + 10 x - 18 = 1x² + 0x + 14

x², x¹, x⁰ (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।

ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।

पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x² + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।

देवनागरी	लिप्यंतरण		आधुनिक संकेतन
याव ०  या १०  रू ८. याव १  या ०    रू १	याव 0 या  10 rū 8. याव 1 या 0 rū 1	⇒	0x2 + 10 x - 8 = 1x2 + 0x + 1

भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

x⁴ - 2x² - 400x = 9999

इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,

यावव १ याव २^.   या  ४^.०० रू ०

यावव ० याव ०   या  ०       रू ९९९९

बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया

भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :

स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥

वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।

भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥

"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"

बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव

भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:

योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।

"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"

व्याख्या:

यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x², 5x², 7x² समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x² - 4x² को 6x² के रूप में सरल बनाया जा सकता है।

विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x², 4x³, 5y, y², xy के रूप में दर्शाया जाता है।

बीजीय व्यंजकों का गुणन

बीजगणित गुणन का नियम देता है -

गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।

अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥

"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"

व्याख्या

प्राचीन भारतीय संकेतन	आधुनिक संकेतन
यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं, उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:	यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं, उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७	गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7
गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २० (या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५	गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (3x + 5) X 4x = 12x2 + 20x (3x + 5) X 7 = 21x + 35
परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५	परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है: 12x2 + 41x + 35

यदि $ax+b$ और $cx+d$ क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

$(ax+b)cx=acx^{2}+bcx$

$(ax+b)d=adx+bd$

परिणाम जोड़ें।

गुणन परिणाम है: $acx^{2}+(bc+ad)x+bd$