Difference between revisions of "त्रिकोणमितीय पहचान की सूची"

From indicwiki
Jump to navigation Jump to search
 
(2 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 25: Line 25:
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math>
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math>
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:
=== प्रतिबिंब ===
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math>
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref>
=== शिफ्ट और आवधिकता ===
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Shift by one quarter period
!Shift by one half period
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref>
!Period
|-
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math>
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math>
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math>
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math>
|-
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math>
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math>
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math>
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math>
|-
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math>
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math>
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math>
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math>
|-
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math>
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math>
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math>
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math>
|-
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) =  \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math>
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math>
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math>
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math>
|-
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) =  \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math>
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math>
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math>
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math>
|}
== कोण योग और अंतर पहचान ==
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।
:<math>\begin{align}
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\end{align}</math>
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।


[[Category:Pages with broken file links]]
[[Category:Pages with broken file links]]

Latest revision as of 11:18, 6 July 2022

Template:Trigonometry त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।

पाइथागोरियन पहचान[edit | edit source]

File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg
यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि

साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:

कहाँ पे साधन तथा साधन इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:

जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है इस पहचान को विभाजित करना , , या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:

इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:

प्रतिबिंब[edit | edit source]

जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है -इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है -एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है फिर दिशा कोण इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है

इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान विशिष्ट कोणों के लिए सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है reduction formulae.[1]


शिफ्ट और आवधिकता[edit | edit source]


Shift by one quarter period Shift by one half period Shift by full periods[2] Period

कोण योग और अंतर पहचान[edit | edit source]

File:AngleAdditionDiagramSine.svg
तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।

इन्हें भी के रूप में जाना जाता है angle addition and subtraction theorems (या formulae)।

इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।

  1. Template:Harvnb
  2. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–9