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| {{Main|Pythagorean trigonometric identity}} | | {{Main|Pythagorean trigonometric identity}} |
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| | [[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]] |
| साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है: | | साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है: |
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| :<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math> | | :<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math> |
| इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है: | | इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है: |
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| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
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| |+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45</ref>
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| ! in terms of
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| ! scope="col"|<math>\sin \theta</math>
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| ! scope="col" |<math>\csc \theta</math>
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| ! scope="col"|<math>\cos \theta</math>
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| ! scope="col" |<math>\sec \theta</math>
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| ! scope="col"|<math>\tan \theta</math>
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| ! scope="col"|<math>\cot \theta</math>
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| ! <math>\sin \theta =</math>
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| | <math>\sin \theta</math>
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| | <math>\frac{1}{\csc \theta}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math>
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| ! <math>\csc \theta =</math>
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| | <math>\frac{1}{\sin \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math>
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| ! <math>\cos \theta =</math>
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| ! <math>\sec \theta =</math>
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| | <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math>
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| | <math>\frac{1}{\cos \theta}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math>
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| ! <math>\tan \theta =</math>
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| | <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math>
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| | <math>\tan \theta</math>
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| | <math>\frac{1}{\cot \theta}</math>
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| ! <math>\cot \theta =</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math>
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| | <math>\frac{1}{\tan \theta}</math>
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| | <math>\cot \theta</math>
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| |}
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| == प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==
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| यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।
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| === प्रतिबिंब === | | === प्रतिबिंब === |
| | | [[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]] |
| जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है | | जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है |
| <math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math> | | <math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math> |
| इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref> | | इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref> |
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| | class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff
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| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span>
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| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math>
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| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math>
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| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math>
| |
| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span>
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| |<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math>
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| |<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math>
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| |<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math>
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| |<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math>
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| |<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math>
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| |<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math>
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| |<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math>
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| |<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math>
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| |<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math>
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| |<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math>
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| |<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math>
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| |<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math>
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| |<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math>
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| |<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math>
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| |<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math>
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| |<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math>
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| |<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math>
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| |<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math>
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| |<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math>
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| |<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math>
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| |<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math>
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| |<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math>
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| |<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math>
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| |<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math>
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| |<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math>
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| |<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math>
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| |<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math>
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| |<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math>
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| |<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math>
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| |<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math>
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| |}
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| === शिफ्ट और आवधिकता === | | === शिफ्ट और आवधिकता === |
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| इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं। | | इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं। |
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| {|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
| | [[Category:Pages with broken file links]] |
| ! Sine
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref>
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| |-
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| ! Cosine
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17</ref>
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| |-
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| ! Tangent
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18</ref>
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| |-
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| !Cosecant
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref>
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| |-
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| ! Secant
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" />
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| |-
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| ! Cotangent
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19</ref>
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| |-
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| ! Arcsine
| |
| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.32</ref>
| |
| |-
| |
| ! Arccosine
| |
| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.33</ref>
| |
| |-
| |
| ! Arctangent
| |
| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.34</ref>
| |
| |-
| |
| ! Arccotangent
| |
| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math>
| |
| |}
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| === सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===
| |
| जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है
| |
| :<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
| |
| =\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math>
| |
| :<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
| |
| =\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math>
| |
| क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।
| |
| | |
| जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।
| |
| | |
| === स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===
| |
| होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद
| |
| <math display="block">x_i = \tan \theta_i</math>
| |
| के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,
| |
| :<math>
| |
| \begin{align}
| |
| e_0 & = 1 \\[6pt]
| |
| e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]
| |
| e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]
| |
| e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\
| |
| & {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| फिर
| |
| :<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right) | |
| & = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}
| |
| \\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \prod_{i \in A} \tan\theta_i}
| |
| = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}
| |
| \\
| |
| \cot\left(\sum_i \theta_i\right)
| |
| & = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}
| |
| \end{align}</math>
| |
| ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।
| |
| | |
| दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।
| |
| | |
| उदाहरण के लिए:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| \tan(\theta_1 + \theta_2) &
| |
| = \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
| |
| = \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
| |
| = \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },
| |
| \\[8pt]
| |
| \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
| |
| = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
| |
| = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
| |
| \\[8pt]
| |
| \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
| |
| = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &
| |
| = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
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| \end{align}</math>
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| और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref>
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| === Secant और cosecant of sums ===
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| :<math>\begin{align}
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| \sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
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| \csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
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| \end{align}</math>
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| कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।
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| उदाहरण के लिए,
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| :<math>\begin{align}
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| \sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]
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| \csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.
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| \end{align}</math>
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| === टॉलेमी का प्रमेय ===
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| [[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]
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| {{main|Ptolemy's theorem}}
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| ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।
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| थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।
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| उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।
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| जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref>
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| === मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===
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| ==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====
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| दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref>
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| :<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math>
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| :<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math>
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| :<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math>
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| :<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math>
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| :<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math>
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| :<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math>
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| ==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====
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| ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 />
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| :<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math>
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| :<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math>
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| :<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math>
| |
| :<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math>
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| :<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math>
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| :<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math>
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| ==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====
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| :<math>\begin{align}
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| \sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =
| |
| \sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}
| |
| \cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\
| |
| {}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\
| |
| \cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =
| |
| \sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\
| |
| \cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\
| |
| \cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)
| |
| \end{align}</math>
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| :<math>
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| \tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}
| |
| </math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
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| ==== Chebyshev विधि ====
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| Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref>
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| <math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ
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| :<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।
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| यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है
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| :<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math>
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| :<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math>
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| यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।
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| इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ
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| :<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math>
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| यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।
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| Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:
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| :<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math>
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| === आधा-कोण सूत्र ===
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| :<math>\begin{align}
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| \sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]
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| \cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]
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| \tan \frac{\theta}{2}
| |
| &= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
| |
| = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}
| |
| = \csc \theta - \cot \theta
| |
| = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]
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| | |
| &= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
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| = \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]
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| | |
| \cot \frac{\theta}{2}
| |
| &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
| |
| = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}
| |
| = \csc \theta + \cot \theta
| |
| = \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}
| |
| | |
| \end{align}</math>
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| <ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>
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| भी
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| :<math>\begin{align}
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| \tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]
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| \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]
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| \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|}
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| \end{align}</math>
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| ==बाहरी संबंध==
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| * [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]
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| * [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]
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| {{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]
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