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| == पाइथागोरियन पहचान == | | == पाइथागोरियन पहचान == |
| {{Main|Pythagorean trigonometric identity}} | | {{Main|Pythagorean trigonometric identity}} |
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| [[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]] | | [[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]] |
| साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है: | | साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है: |
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| :<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math> | | :<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math> |
| इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है: | | इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है: |
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| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
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| |+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45</ref>
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| ! in terms of
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| ! scope="col"|<math>\sin \theta</math>
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| ! scope="col" |<math>\csc \theta</math>
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| ! scope="col"|<math>\cos \theta</math>
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| ! scope="col" |<math>\sec \theta</math>
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| ! scope="col"|<math>\tan \theta</math>
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| ! scope="col"|<math>\cot \theta</math>
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| |-
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| ! <math>\sin \theta =</math>
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| | <math>\sin \theta</math>
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| | <math>\frac{1}{\csc \theta}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math>
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| |-
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| ! <math>\csc \theta =</math>
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| | <math>\frac{1}{\sin \theta}</math>
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| | <math>\csc \theta</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math>
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| |-
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| ! <math>\cos \theta =</math>
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| | <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math>
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| | <math>\cos \theta</math>
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| | <math>\frac{1}{\sec \theta}</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math>
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| |-
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| ! <math>\sec \theta =</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center>
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| | <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math>
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| | <math>\frac{1}{\cos \theta}</math>
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| |-
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| ! <math>\tan \theta =</math>
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| | <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math>
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| | <math>\tan \theta</math>
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| | <math>\frac{1}{\cot \theta}</math>
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| |-
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| ! <math>\cot \theta =</math>
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| | <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math>
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| | <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math>
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| | <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math>
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| | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math>
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| | <math>\frac{1}{\tan \theta}</math>
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| | <math>\cot \theta</math>
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| |}
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| == प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==
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| यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।
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| === प्रतिबिंब === | | === प्रतिबिंब === |
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| इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref> | | इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref> |
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| | class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff
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| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span>
| |
| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math>
| |
| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math>
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| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math>
| |
| तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span>
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| |<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math>
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| |<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math>
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| |<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math>
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| |<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math>
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| |<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math>
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| |<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math>
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| |<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math>
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| |<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math>
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| |<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math>
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| |<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math>
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| |<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math>
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| |<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math>
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| |<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math>
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| |<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math>
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| |<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math>
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| |<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math>
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| |<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math>
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| |<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math>
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| |<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math>
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| |<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math>
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| |<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math>
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| |<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math>
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| |<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math>
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| |<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math>
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| |<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math>
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| ---
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| |<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math>
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| |<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math>
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| |<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math>
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| |<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math>
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| |<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math>
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| |}
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| === शिफ्ट और आवधिकता === | | === शिफ्ट और आवधिकता === |
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| इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं। | | इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं। |
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| {|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
| | [[Category:Pages with broken file links]] |
| ! Sine
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref>
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| |-
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| ! Cosine
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17</ref>
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| |-
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| ! Tangent
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18</ref>
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| |-
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| !Cosecant
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref>
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| |-
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| ! Secant
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
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| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" />
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| |-
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| ! Cotangent
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19</ref>
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| |-
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| ! Arcsine
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math>
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| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.32</ref>
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| |-
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| ! Arccosine
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.33</ref>
| |
| |-
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| ! Arctangent
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| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.34</ref>
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| |-
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| ! Arccotangent
| |
| | colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math>
| |
| | style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math>
| |
| | style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math>
| |
| |}
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| === सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===
| |
| जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है
| |
| :<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
| |
| =\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math>
| |
| :<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
| |
| =\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math>
| |
| क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।
| |
| | |
| जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।
| |
| | |
| === स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===
| |
| होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद
| |
| <math display="block">x_i = \tan \theta_i</math>
| |
| के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,
| |
| :<math>
| |
| \begin{align}
| |
| e_0 & = 1 \\[6pt]
| |
| e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]
| |
| e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]
| |
| e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\
| |
| & {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| फिर
| |
| :<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)
| |
| & = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}
| |
| \\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~
| |
| \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
| |
| \prod_{i \in A} \tan\theta_i}
| |
| = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}
| |
| \\
| |
| \cot\left(\sum_i \theta_i\right)
| |
| & = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}
| |
| \end{align}</math>
| |
| ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।
| |
| | |
| दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।
| |
| | |
| उदाहरण के लिए:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| \tan(\theta_1 + \theta_2) &
| |
| = \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
| |
| = \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
| |
| = \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },
| |
| \\[8pt]
| |
| \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
| |
| = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
| |
| = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
| |
| \\[8pt]
| |
| \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
| |
| = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &
| |
| = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
| |
| \end{align}</math>
| |
| और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref>
| |
| | |
| === Secant और cosecant of sums ===
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| \sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
| |
| \csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
| |
| \end{align}</math>
| |
| कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।
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| उदाहरण के लिए,
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| :<math>\begin{align}
| |
| \sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]
| |
| \csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.
| |
| \end{align}</math>
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| === टॉलेमी का प्रमेय ===
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| [[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]] | |
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| {{main|Ptolemy's theorem}}
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| ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।
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| | |
| थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।
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| | |
| उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।
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| | |
| जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref>
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| | |
| == मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ==
| |
| {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"
| |
| |-
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| ! {{mvar|T<sub>n</sub>}} is the {{mvar|n}}th [[Chebyshev polynomials|Chebyshev polynomial]]
| |
| | <math>\cos (n\theta) = T_n (\cos \theta )</math><ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref>
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| |-
| |
| ! [[de Moivre's formula]], {{mvar|i}} is the [[imaginary unit]]
| |
| | <math>\cos (n\theta) +i\sin (n\theta)=(\cos \theta +i\sin \theta)^n</math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48</ref>
| |
| |}
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| | |
| === मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===
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| ==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====
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| [[File:Visual demonstration of the double-angle trigonometric identity for sine.svg|thumb|400px|साइन के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला का isual प्रदर्शन।क्षेत्र, {{sfrac | 1 | 2}} × बेस × ऊंचाई, एक समद्वियों में त्रिभुज की गणना की जाती है, पहले जब ईमानदार, और फिर उसके पक्ष में।जब सीधा, क्षेत्र = <गणित> \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।जब इसकी तरफ, क्षेत्र = {{sfrac | 1 | 2}} <Math> \ sin 2 \ theta </math>।त्रिभुज को घुमाने से उसका क्षेत्र नहीं बदलता है, इसलिए ये दो भाव समान हैं।इसलिए, <गणित> \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।]]
| |
| दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref>
| |
| :<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math>
| |
| :<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math>
| |
| :<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math>
| |
| :<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math>
| |
| :<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math>
| |
| :<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math>
| |
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| ==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====
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| ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 />
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| :<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math>
| |
| :<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math>
| |
| :<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math>
| |
| :<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math>
| |
| :<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math>
| |
| :<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math>
| |
| | |
| ==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| \sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =
| |
| \sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}
| |
| \cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\
| |
| {}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\
| |
| \cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =
| |
| \sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\
| |
| \cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\
| |
| \cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)
| |
| \end{align}</math>
| |
| :<math>
| |
| \tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}
| |
| </math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
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| | |
| ==== Chebyshev विधि ====
| |
| Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref>
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| | |
| <math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ
| |
| | |
| :<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।
| |
| | |
| यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है
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| | |
| :<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math>
| |
| :<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math>
| |
| यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।
| |
| | |
| इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ
| |
| :<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math>
| |
| यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।
| |
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| Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:
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| :<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math>
| |
| | |
| === आधा-कोण सूत्र ===
| |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| \sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]
| |
| | |
| \cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]
| |
| | |
| \tan \frac{\theta}{2}
| |
| &= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
| |
| = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}
| |
| = \csc \theta - \cot \theta
| |
| = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]
| |
| | |
| &= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
| |
| = \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]
| |
| | |
| \cot \frac{\theta}{2}
| |
| &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
| |
| = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}
| |
| = \csc \theta + \cot \theta
| |
| = \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}
| |
| | |
| \end{align}</math>
| |
| <ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>
| |
| | |
| भी
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| \tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]
| |
| \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]
| |
| \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| === तालिका ===
| |
| <!--डबल-एंगल फॉर्मूला, डबल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, हाफ-एंगल फॉर्मूला, और हाफ-एंगल फॉर्मूला रीडायरेक्ट यहां -->
| |
| {{see also|Tangent half-angle formula}}
| |
| इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।
| |
| | |
| {|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
| |
| ! !! Sine !! Cosine !! Tangent !! Cotangent
| |
| |-
| |
| ! Double-angle formula<ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26</ref><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref>
| |
| | <math>\begin{align}
| |
| \sin (2\theta) &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\
| |
| &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | <math>\begin{align}
| |
| \cos (2\theta) &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
| |
| &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\
| |
| &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\
| |
| &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | <math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math>
| |
| | <math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}</math>
| |
| |-
| |
| ! Triple-angle formula<ref name="mathworld_multiple_angle"/><ref name="Stegun p. 72, 4">Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28</ref>
| |
| | <math>\begin{align}
| |
| \sin (3\theta) &= - \sin^3\theta + 3 \cos^2\theta \sin\theta\\
| |
| &= - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta
| |
| \end{align}</math>
| |
| | <math>\begin{align}
| |
| \cos (3\theta) &= \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\
| |
| &= 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta
| |
| \end{align}</math>
| |
| | <math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}</math>
| |
| | <math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math>
| |
| |-
| |
| ! Half-angle formula<ref name="ReferenceA"/><ref name="mathworld_half_angle"/>
| |
| | <math>\begin{align}
| |
| &\sin \frac{\theta}{2} = \sgn(A) \, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\ \\
| |
| &\text{where }A = 2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \\ \\
| |
| &\left(\text{or }\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}\right)
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। {{citation needed|date=November 2021}}
| |
| एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है {{math|1=4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' + ''d'' = 0}}, कहाँ पे <math>x</math> एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और {{mvar|d}} पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।
| |
| | |
| == पावर-रिडक्शन फॉर्मूला ==
| |
| | |
| कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।
| |
| | |
| {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
| |
| !Sine
| |
| !Cosine
| |
| !Other
| |
| |-
| |
| |<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2}</math>
| |
| |<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2}</math>
| |
| |<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos (4\theta)}{8}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin (3\theta)}{4}</math>
| |
| |<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos (3\theta)}{4}</math>
| |
| |<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin (2\theta) - \sin (6\theta)}{32}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math>
| |
| |<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math>
| |
| |<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos (4\theta) + \cos (8\theta)}{128}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin (3\theta) + \sin (5\theta)}{16}</math>
| |
| |<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos (3\theta) + \cos (5\theta)}{16}</math>
| |
| |<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin (2\theta) - 5\sin (6\theta) + \sin (10\theta)}{512}</math>
| |
| |}
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| | |
| [[File:Diagram showing how to derive the power reduction formula for cosine.svg|thumb|350px|ओसिन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।लाल, नारंगी और नीले रंग के त्रिकोण सभी समान हैं, और लाल और नारंगी त्रिकोण बधाई हैं।हाइपोटेनस नीले त्रिभुज की लंबाई के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है।]]
| |
| | |
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| [[File:Diagram showing how to derive the power reducing formula for sine.svg|thumb|350px|INE पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक चित्रण आरेख। छायांकित नीले और हरे रंग के त्रिकोण, और लाल-आउटलाइन त्रिभुज <मैथ> ईबीडी </गणित> सभी सही-कोण और समान हैं, और सभी में कोण निम्नलिखित सत्य है, और डी मोइवरे के फॉर्मूला, यूलर के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके कटौती की जा सकती है {{citation needed|date=November 2014}}।
| |
| | |
| {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
| |
| !
| |
| !Cosine
| |
| !Sine
| |
| |-
| |
| !<math>\text{if }n\text{ is odd}</math>
| |
| |<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math>
| |
| |<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}</math>
| |
| |-
| |
| !<math>\text{if }n\text{ is even}</math>
| |
| |<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math>
| |
| |<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math>
| |
| |-
| |
| |}
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| == उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान ==<!--इस खंड के लिए लहर लिंक लिंक -->उत्पाद-टू-सम पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ के पक्षों का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था।<ref>{{Cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |date=1990 |publisher=Saunders College Pub |isbn=0-03-029558-0 |edition=6th |location=Philadelphia |page=309 |oclc=20842510}}</ref> उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।
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| {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
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| !Product-to-sum<ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33</ref>
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| |-
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| | <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
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| |-
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| | <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
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| |-
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| | <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
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| |-
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| | <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
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| |-
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| | <math>\tan \theta \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}</math>
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| |-\
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| | <math>\begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \theta_k & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n) \\[6pt]
| |
| & \text{where }e = (e_1,\cdots,e_n) \in S=\{1,-1\}^n
| |
| \end{align}
| |
| </math>
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| |-\
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| |<math>
| |
| \prod_{k=1}^n \sin\theta_k=\frac{(-1)^{\lfloor\frac
| |
| {n}{2}\rfloor}}{2^n}\begin{cases}
| |
| \sum_{e\in S}\cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is even},\\
| |
| \sum_{e\in S}\sin(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is odd}
| |
| \end{cases}
| |
| </math>
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| |}
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| [[File:Diagram illustrating sum to product identities for sine and cosine.svg|thumb|400px|Iagram साइन और कोसाइन के लिए सम-टू-प्रोडक्ट पहचान को चित्रित करता है। ब्लू राइट-एंगल्ड त्रिभुज में कोण <गणित> \ theta </math> और लाल दाहिने-कोण वाले त्रिभुज में कोण <math> \ varphi </math> है। दोनों की लंबाई का एक हाइपोटेन्यूस है। सहायक कोण, यहां <मैथ> पी </गणित> और <मैथ> क्यू </गणित> कहा जाता है, इस तरह का निर्माण किया जाता है कि <मैथ> पी = (\ theta+\ varphi)/2 <//<//</ गणित> और <गणित> q = (\ theta- \ varphi)/2 </math>। इसलिए, <ath> \ theta = p+q </math> और <math> \ varphi = p-q </math>। यह दो बधाई बैंगनी-आउटलाइन त्रिकोण <गणित> afg </math> और <math> fce </math> का निर्माण करने की अनुमति देता है, प्रत्येक के साथ hypotenuse <math> \ cos q </math> और कोण <math> p <<<p <<<p <<<math> p < /गणित> उनके आधार पर। लाल और नीले त्रिकोणों की ऊंचाइयों का योग <गणित> \ sin \ theta + \ sin \ varphi </math> है, और यह एक बैंगनी त्रिभुज की ऊंचाई से दोगुना है, अर्थात् <गणित> 2 \ sin p \ cos q </math>। लिखना <ath> p </math> और <ath> q </math> उस समीकरण में <math> \ theta </math> और <math> \ varphi </math> के संदर्भ में सम-टू-प्रोडक्ट की पैदावार साइन के लिए पहचान। इसी तरह, लाल और नीले त्रिकोणों की चौड़ाई का योग कोसाइन के लिए संबंधित पहचान पैदा करता है।]]
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| {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
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| !Sum-to-product<ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39</ref>
| |
| |-
| |
| |<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math>
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| |-
| |
| |<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\tan\theta\pm\tan\varphi=\frac{\sin(\theta\pm \varphi)}{\cos\theta\cos\varphi}</math>
| |
| |}
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| | |
| === हरमाइट की कोटेंट पहचान ===
| |
| {{main|Hermite's cotangent identity}}
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| चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया।<ref>{{cite journal|first=Warren P. |last=Johnson |title=Trigonometric Identities à la Hermite |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=117 |issue=4 |date=Apr 2010 |pages=311–327 |doi=10.4169/000298910x480784|s2cid=29690311 }}</ref> मान लीजिए <math>a_1, \ldots, a_n</math> जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;{{pi}}।होने देना
| |
| | |
| :<math>A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)</math>
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| (विशेष रूप से, <math>A_{1,1},</math> एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर
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| | |
| :<math>\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).</math>
| |
| सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;{{math|1=''n'' = 2}}:
| |
| | |
| :<math>\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).</math>
| |
| | |
| === त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद ===
| |
| | |
| कोपरीट पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, {{mvar|m}}
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| :<math>\prod_{k=1}^n \left(2a + 2\cos\left(\frac{2 \pi k m}{n} + x\right)\right) = 2\left( T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(n x) \right)</math>
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| कहाँ पे {{mvar|T<sub>n</sub>}} चेबीशेव बहुपद है।
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| निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है
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| :<math>\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.</math>
| |
| आम तौर पर अधिक<ref>{{cite web |title=Product Identity Multiple Angle |url=https://math.stackexchange.com/q/2095330 }}</ref>
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| <math>\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right).</math>
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| == रैखिक संयोजन ==
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| कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में <math>c</math> तथा <math>\varphi</math>।
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| | |
| === साइन और कोसाइन ===
| |
| साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,<ref>Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.</ref><REF नाम = REFERENTB>{{MathWorld|id=HarmonicAdditionTheorem|title=Harmonic Addition Theorem}}</ref>
| |
| | |
| :<math>a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi)</math>
| |
| कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> इस के रूप में परिभाषित किया गया है:
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| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| c &= \sgn(a) \sqrt{a^2 + b^2}, \\
| |
| \varphi &= \operatorname{arctan} \left(-\frac{b}{a}\right),
| |
| \end{align}</math>
| |
| मान लें कि <math>a \neq 0.</math>
| |
| | |
| === मनमाना चरण शिफ्ट ===
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| आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है
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| | |
| :<math>a \sin(x + \theta_a) + b \sin(x + \theta_b)= c \sin(x+\varphi)</math>
| |
| कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> संतुष्ट करना:
| |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| c^2 &= a^2 + b^2 + 2ab\cos \left(\theta_a - \theta_b \right) , \\
| |
| \tan \varphi &= \frac{a \sin \theta_a + b \sin \theta_b}{a \cos \theta_a + b \cos \theta_b}.
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| === दो से अधिक साइनसोइड्स ===
| |
| {{See also|phasor (sine waves)#Addition|label1=Phasor addition}}सामान्य मामला पढ़ता है<ref name = संदर्भ />
| |
| :<math>\sum_i a_i \sin(x + \theta_i) = a \sin(x + \theta),</math>
| |
| कहाँ पे
| |
| :<math>a^2 = \sum_{i,j}a_i a_j \cos(\theta_i - \theta_j)</math>
| |
| तथा
| |
| :<math>\tan\theta = \frac{\sum_i a_i \sin\theta_i}{\sum_i a_i \cos\theta_i}.</math>
| |
| | |
| == Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान ==
| |
| जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है:<ref name=Muniz>{{cite journal |first=Eddie |last=Ortiz Muñiz |date=Feb 1953 |volume=21 |number=2 |title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities |journal=American Journal of Physics |page=140 | doi=10.1119/1.1933371 | bibcode=1953AmJPh..21..140M }}</ref><ref>{{cite book |title=Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems | edition=illustrated |first1=Ravi P. |last1=Agarwal |first2=Donal |last2=O'Regan |publisher=Springer Science & Business Media |year=2008 |isbn=9780387791463 |page=185 |url=https://books.google.com/books?id=jWvAfcNnphIC}} [https://books.google.com/books?</ref><ref>{{cite book |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |first1=Alan |last1=Jeffrey |first2=Hui-hui |last2=Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=978-0-12-374288-9 |year=2008 |publisher=Academic Press}}</ref>
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \sum_{k=0}^n \sin k\theta & = \frac{\cos \tfrac12\theta - \cos\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}\\[5pt]
| |
| \sum_{k=0}^n \cos k\theta & = \frac{\sin \tfrac12\theta + \sin\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}
| |
| \end{align}</math>
| |
| के लिये <math>\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.</math>
| |
| एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:
| |
| | |
| <math display="block">D_n(\theta) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta
| |
| = \frac{\sin\left(\left(n + \tfrac12 \right)\theta\right)}{\sin \tfrac12 \theta}.</math>
| |
| | |
| == कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन ==
| |
| यदि <math>f(x)</math> Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन
| |
| <math display="block">f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},</math>
| |
| और इसी तरह
| |
| <math display="block">g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},</math>
| |
| फिर
| |
| <math display="block">f\big(g(x)\big) = g\big(f(x)\big)
| |
| = \frac{\big(\cos(\alpha+\beta)\big)x - \sin(\alpha+\beta)}{\big(\sin(\alpha+\beta)\big)x + \cos(\alpha+\beta)}.</math>
| |
| अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए <math>\alpha</math> हम जाने <math>f_{\alpha}</math> जिसे हमने बुलाया <math>f</math> ऊपर, फिर
| |
| <math display="block">f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}.</math>
| |
| यदि <math>x</math> एक पंक्ति का ढलान है, फिर <math>f(x)</math> एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है <math>- \alpha.</math>
| |
| | |
| == जटिल घातीय कार्य से संबंध ==
| |
| {{main|Euler's formula}}
| |
| Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए:<ref>Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47</ref>
| |
| <math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math>
| |
| जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है:
| |
| <math display="block">e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.</math>
| |
| इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से,<ref>Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 71, 4.3.1</ref>
| |
| <math display="block">\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math>
| |
| <math display="block">\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}</math>
| |
| ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह
| |
| {{math|1=''e''<sup>''i''(''θ''+''φ'')</sup> = ''e''<sup>''iθ''</sup> ''e''<sup>''iφ''</sup>}} मतलब कि
| |
| {{block indent|em=1.5|text={{math|1=cos(''θ'' + ''φ'') + ''i'' sin(''θ'' + ''φ'') = (cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'') (cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'') = (cos ''θ'' cos ''φ'' − sin ''θ'' sin ''φ'') + ''i'' (cos ''θ'' sin ''φ'' + sin ''θ'' cos ''φ'')}}।}}
| |
| बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।
| |
| | |
| निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।
| |
| | |
| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
| |
| !Function
| |
| !Inverse function<ref>Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31</ref>
| |
| |-
| |
| |<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}</math>
| |
| |<math>\arcsin x = -i\, \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}</math>
| |
| |<math>\arccos x = -i\,\ln\left(x+\,\sqrt{x^2-1}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\tan \theta = -i\, \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math>
| |
| |<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math>
| |
| |<math>\arccsc x = -i\, \ln \left(\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math>
| |
| |<math>\arcsec x = -i\, \ln \left(\frac{1}{x} +i \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\cot \theta = i\, \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math>
| |
| |<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right)</math>
| |
| |-
| |
| ! colspan="2"|
| |
| |-
| |
| |[[cis (mathematics)|<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>]]
| |
| |<math>\operatorname{arccis} x = -i \ln x</math>
| |
| |}
| |
| | |
| == अनंत उत्पाद सूत्र ==
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| विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं:<ref>Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 85, 4.5.68–69</ref>
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &
| |
| \cos x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \\
| |
| \sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &
| |
| \cosh x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right)
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| == उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ==
| |
| {{main|Inverse trigonometric functions}}
| |
| निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 73, 4.3.45}}</ref>
| |
| | |
| | |
| गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>
| |
| \ _ शुरू {संरेखित}
| |
| \ sin (\ arcsin x) & = x
| |
| & \ cos (\ arcsin x) & = \ sqrt {1-x^2}
| |
| & \ tan (\ arcsin x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}
| |
| \\
| |
| \ sin (\ arccos x) & = \ sqrt {1-x^2}
| |
| & \ cos (\ arccos x) & = x
| |
| & \ tan (\ arccos x) & = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x}
| |
| \\
| |
| \ sin (\ arctan x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}
| |
| & \ cos (\ arctan x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}
| |
| & \ tan (\ arctan x) & = x
| |
| \\
| |
| \ sin (\ arccsc x) & = \ frac {1} {x}
| |
| & \ cos (\ arccsc x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}
| |
| & \ tan (\ arccsc x) & = \ frac {1} {\ sqrt {x^2 - 1}}}
| |
| \\
| |
| \ sin (\ arcsec x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}
| |
| & \ cos (\ arcsec x) & = \ frac {1} {x}
| |
| & \ tan (\ arcsec x) & = \ sqrt {x^2 - 1}
| |
| \\
| |
| \ sin (\ arccot x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}
| |
| & \ cos (\ arccot x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}
| |
| & \ tan (\ arccot x) & = \ frac {1} {x}
| |
| \\
| |
| \ अंत {संरेखित}
| |
| </गणित>
| |
| | |
| प्रत्येक समीकरण के दोनों किनारों के गुणात्मक व्युत्क्रम को ऊपर के परिणामस्वरूप समीकरणों में परिणाम
| |
| Math> \ csc = \ frac {1} {\ sin}, \;गणित>
| |
| ऊपर के सूत्र के दाहिने हाथ की ओर हमेशा फ़्लिप किया जाएगा।
| |
| उदाहरण के लिए, के लिए समीकरण Math> \ cot (\ arcsin x) </math> है:
| |
| गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ cot (\ arcsin x) = \ frac {1} {\ tan (\ arcsin x)} = \ frac {1} {\ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}}} = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x} </math>
| |
| जबकि समीकरणों के लिए
| |
| गणित> \ csc (\ arccos x) </math> और गणित> \ sec (\ arccos x) </math> हैं:
| |
| गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ csc (\ arccos x) = \ frac {1} {\ sin (\ arccos x)} = \ frac {1} {\ sqrt {1-X^2}} \ _ qquad \ _ \ _ {और{
| |
| | |
| निम्नलिखित पहचान प्रतिबिंब पहचान से निहित हैं।वे जब भी पकड़ते हैं
| |
| गणित> x, r, s, -x, -r, \ text {और} -s </math> प्रासंगिक कार्यों के डोमेन में हैं।
| |
| गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ {Alignat} {9} शुरू करें
| |
| \ frac {\ pi} {2} ~ & = ~ \ rescsin (x) &&+ \ rccos (x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ rccot (r) ~ && = ~ \ _ \ _&&+ \ arccsc (s) \\ [0.4ex]
| |
| \ pi ~ & = ~ \ arccos (x) &&+ \ arccos (-x) ~ && = ~ \ arccot (r) &&+ \ rccot (-r) ~ && = ~ \ _ \ _ \ _ \ _ & &&+ \ _-S) \\ [0.4ex]
| |
| 0 ~ & = ~ \ arcsin (x) &&+ \ arcsin (-x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ arctan (-r) ~ && = ~ \ rccsc (s) &&+ \ rccsc (-s) \\ [1.0EX]
| |
| \ अंत {Alignat} </Math>
| |
| | |
| भी,<ref name=Wu>Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", ''Mathematics Magazine'' 77(3), June 2004, p. 189.</ref>
| |
| <math display=block>\begin{align}
| |
| \arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}
| |
| &= \begin{cases}
| |
| \frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\
| |
| - \frac{\pi}{2}, & \text{if } x < 0
| |
| \end{cases} \\
| |
| \arccot x + \arccot \dfrac{1}{x}
| |
| &= \begin{cases}
| |
| \frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\
| |
| \frac{3\pi}{2}, & \text{if } x < 0
| |
| \end{cases} \\
| |
| \end{align}</math>
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| <math display=block>\arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ and } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x</math>
| |
| <math display=block>\arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ and } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x</math>
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| | |
| == चर के बिना पहचान ==
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| | |
| आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन के संदर्भ में हमारे पास है<ref name=Wu/>
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| <math display="block">\arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math>
| |
| | |
| The curious identity known as [[Morrie's law]],
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| <math display="block">\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ = \frac{1}{8},</math>
| |
| | |
| is a special case of an identity that contains one variable:
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| <math display="block">\prod_{j=0}^{k-1}\cos\left(2^j x\right) = \frac{\sin\left(2^k x\right)}{2^k\sin x}.</math>
| |
| | |
| Similarly,
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| <math display="block">\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}</math>
| |
| is a special case of an identity with <math>x = 20^\circ</math>:
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| <math display="block">\sin x \cdot \sin \left(60^\circ - x\right) \cdot \sin \left(60^\circ + x\right) = \frac{\sin 3x}{4}.</math>
| |
| | |
| For the case <math>x = 15^\circ</math>,
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \sin 15^\circ\cdot\sin 45^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\
| |
| \sin 15^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{1}{4}.
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| For the case <math>x = 10^\circ</math>,
| |
| <math display="block">\sin 10^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 70^\circ = \frac{1}{8}.</math>
| |
| | |
| The same cosine identity is
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| <math display="block">\cos x \cdot \cos \left(60^\circ - x\right) \cdot \cos \left(60^\circ + x\right) = \frac{\cos 3x}{4}.</math>
| |
| | |
| Similarly,
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \cos 10^\circ\cdot\cos 50^\circ\cdot\cos 70^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{8}, \\
| |
| \cos 15^\circ\cdot\cos 45^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\
| |
| \cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{1}{4}.
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Similarly,
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ &= \tan 80^\circ, \\
| |
| \tan 40^\circ\cdot\tan 30^\circ\cdot\tan 20^\circ &= \tan 10^\circ.
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below):
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| <math display="block">\cos 24^\circ + \cos 48^\circ + \cos 96^\circ + \cos 168^\circ = \frac{1}{2}.</math>
| |
| | |
| Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators:
| |
| <math display="block">
| |
| \cos \frac{2\pi}{21} +
| |
| \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +
| |
| \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +
| |
| \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +
| |
| \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +
| |
| \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
| |
| = \frac{1}{2}.</math>
| |
| | |
| The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10 may start to make the pattern clear: they are those integers less than {{sfrac|21|2}} that are [[Coprime|relatively prime]] to (or have no [[prime factor]]s in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible [[cyclotomic polynomial]]s: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the [[Möbius function]] evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.
| |
| | |
| Other cosine identities include:<ref>{{cite journal|last=Humble |first=Steve |title=Grandma's identity |journal=Mathematical Gazette |volume=88 |date=Nov 2004 |pages=524–525 |doi=10.1017/s0025557200176223|s2cid=125105552 }}</ref>
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| 2\cos \frac{\pi}{3} &= 1, \\
| |
| 2\cos \frac{\pi}{5} \times 2\cos \frac{2\pi}{5} &= 1, \\
| |
| 2\cos \frac{\pi}{7} \times 2\cos \frac{2\pi}{7}\times 2\cos \frac{3\pi}{7} &= 1,
| |
| \end{align}</math>
| |
| और सभी विषम संख्याओं के लिए आगे, और इसलिए
| |
| <math display="block">\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{7} \times \cos \frac{2\pi}{7} \times \cos \frac{3\pi}{7} + \dots = 1.</math>
| |
| उन जिज्ञासु पहचानों में से कई निम्नलिखित जैसे सामान्य तथ्यों से उपजी हैं:<ref>{{MathWorld|id=Sine|title=Sine}}</ref>
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| <math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math>
| |
| तथा
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| <math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.</math>
| |
| इनको संयोजन हमें देता है
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| <math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \tan\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{\sin\frac{\pi n}{2}}</math>
| |
| यदि {{mvar|n}} एक विषम संख्या है (<math>n = 2 m + 1</math>) हम प्राप्त करने के लिए समरूपता का उपयोग कर सकते हैं
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| <math display="block">\prod_{k=1}^{m} \tan\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}</math>
| |
| बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर के स्थानांतरण फ़ंक्शन को बहुपद और ध्रुवों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।कटऑफ आवृत्ति के रूप में आवृत्ति निर्धारित करके, निम्नलिखित पहचान साबित की जा सकती है:
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| <math display="block">\prod_{k=1}^n \sin\frac{\left(2k - 1\right)\pi}{4n} = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} = \frac{\sqrt{2}}{2^n}</math>
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| | |
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| === कंप्यूटिंग {{pi}} ===
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| गणना करने का एक कुशल तरीका {{pi}}बड़ी संख्या में अंक माचिन के कारण, चर के बिना निम्नलिखित पहचान पर आधारित है।यह एक मशीन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है:
| |
| <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math>
| |
| या, वैकल्पिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर की पहचान का उपयोग करके:
| |
| <math display="block">\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math>
| |
| या पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके:
| |
| <math display="block">\pi = \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{5}{13} + \arccos\frac{16}{65} = \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{12}{13} + \arcsin\frac{63}{65}.</math>
| |
| दूसरों में शामिल हैं:<ref name=Harris>Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, ''Proofs Without Words'' (1993, Mathematical Association of America), p. 39.</ref><रेफ नाम = वू/>
| |
| <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},</math>
| |
| <math display="block">\pi = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3,</math>
| |
| <math display="block">\frac{\pi}{4} = 2\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math>
| |
| आम तौर पर, संख्याओं के लिए {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub> ∈ (−1, 1)}} जिसके लिए {{math|1=''θ''<sub>''n''</sub> = Σ{{su|b=''k''=1|p=''n''−1}} आर्कन टी<sub>''k''</sub> ∈ (''π''/4, 3''π''/4)}}, let {{math|1=''t''<sub>''n''</sub> = tan(''π''/2 − ''θ''<sub>''n''</sub>) = cot ''θ''<sub>''n''</sub>}}. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} and its value will be in {{math|(−1, 1)}}. In particular, the computed {{math|''t''<sub>''n''</sub>}} will be rational whenever all the {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} मान तर्कसंगत हैं।इन मूल्यों के साथ,
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \frac{\pi}{2} & = \sum_{k=1}^n \arctan(t_k) \\
| |
| \pi & = \sum_{k=1}^n \sgn(t_k) \arccos\left(\frac{1 - t_k^2}{1 + t_k^2}\right) \\
| |
| \pi & = \sum_{k=1}^n \arcsin\left(\frac{2t_k}{1 + t_k^2}\right) \\
| |
| \pi & = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{2t_k}{1 - t_k^2}\right)\,,
| |
| \end{align}</math>
| |
| जहां सभी लेकिन पहली अभिव्यक्ति में, हमने स्पर्शरेखा आधे-कोण के सूत्रों का उपयोग किया है।पहले दो सूत्र काम करते हैं, भले ही एक या एक से अधिक {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} मान भीतर नहीं है {{math|(−1, 1)}}।ध्यान दें कि अगर {{math|1=''t'' = ''p''/''q''}} तर्कसंगत है, तो {{math|(2''t'', 1 − ''t''<sup>2</sup>, 1 + ''t''<sup>2</sup>)}} उपरोक्त सूत्रों में मान पाइथागोरियन ट्रिपल के लिए आनुपातिक हैं {{math|(2''pq'', ''q''<sup>2</sup> − ''p''<sup>2</sup>, ''q''<sup>2</sup> + ''p''<sup>2</sup>)}}।
| |
| | |
| उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 3}} शर्तें,
| |
| <math display="block">\frac{\pi}{2} = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \arctan\left(\frac{c}{d}\right) + \arctan\left(\frac{bd - ac}{ad + bc}\right)</math>
| |
| किसी के लिए {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'' > 0}}।
| |
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| === EUCLID की एक पहचान ===
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| यूक्लिड ने बुक XIII में दिखाया, उसके यूक्लिड के तत्वों के प्रस्ताव 10 | ऐसे तत्व जो एक सर्कल में अंकित एक नियमित पेंटागन के किनारे वर्ग का क्षेत्र नियमित हेक्सागन के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है औरएक ही सर्कल में नियमित रूप से डिकैगन।आधुनिक त्रिकोणमिति की भाषा में, यह कहता है:
| |
| <math display="block">\sin^2 18^\circ + \sin^2 30^\circ = \sin^2 36^\circ.</math>
| |
| टॉलेमी ने इस प्रस्ताव का उपयोग टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्स में कुछ कोणों की गणना करने के लिए किया।
| |
| | |
| == त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना ==
| |
| इन पहचानों में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है:<ref>[[Abramowitz and Stegun|Milton Abramowitz and Irene Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'']], [[Dover Publications]], New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45</ref>
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| <math>\cos(t \sin x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(t) \cos(2kx)</math>
| |
| :<math>\sin(t \sin x) = 2 \sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(t) \sin\big((2k+1)x\big)</math>
| |
| :<math>\cos(t \cos x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^kJ_{2k}(t) \cos(2kx)</math>
| |
| :<math>\sin(t \cos x) = 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(t) \cos\big((2k+1)x\big)</math>
| |
| कहाँ पे {{mvar|J<sub>i</sub>}} बेसेल फ़ंक्शन हैं।
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| | |
| == केस के लिए आगे की सशर्त पहचान α + γ + = = 180 ° ==
| |
| निम्नलिखित सूत्र मनमाने ढंग से विमान त्रिकोणों पर लागू होते हैं और फॉलो करते हैं <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ},</math> जब तक सूत्रों में होने वाले कार्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है (उत्तरार्द्ध केवल उन सूत्रों पर लागू होता है जिसमें स्पर्शरेखा और cotangents होते हैं)।
| |
| <math display="block">\begin{align}
| |
| \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\
| |
| 1 &= \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta \\
| |
| \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) &= \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\
| |
| 1 &= \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \\
| |
| \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\
| |
| -\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\
| |
| \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 \\
| |
| -\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) - 1 \\
| |
| \sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\
| |
| -\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\
| |
| \cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 \\
| |
| -\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\
| |
| \sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 \\
| |
| -\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\
| |
| \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 \\
| |
| -\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\
| |
| \sin^2 (2\alpha) + \sin^2 (2\beta) + \sin^2 (2\gamma) &= -2\cos (2\alpha) \cos (2\beta) \cos (2\gamma)+2 \\
| |
| \cos^2 (2\alpha) + \cos^2 (2\beta) + \cos^2 (2\gamma) &= 2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) + 1 \\
| |
| 1 &= \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\beta}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right)
| |
| \end{align}</math> 3SINA = 4COS^3 A/2
| |
| | |
| == हिस्टोरिकल शॉर्टहैंड्स ==
| |
| {{main|Versine|Exsecant}}
| |
| नेविगेशन में वर्सिन, कवरिन, हैवरिन और एक्ससेकेंट का उपयोग किया गया था।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए हैवरसिन फॉर्मूला का उपयोग किया गया था।उनका आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।
| |
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| == विविध ==<!--इस खंड को उम्मीद है कि यह लेख में वापस किया जाएगा, अगर मैं सामान जाने के लिए एक जगह पर काम कर सकता हूं-->
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| === सभी T-ratios === के बीच संबंध
| |
| निम्नलिखित पहचान सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध देती है।
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| :<math>(\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 -
| |
| (\tan\theta + \cot\theta)^2 = 5 </math>
| |
| | |
| === डिरिचलेट कर्नेल ===
| |
| {{Main|Dirichlet kernel}}
| |
| द डिरिचलेट कर्नेल {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'')}} अगली पहचान के दोनों किनारों पर होने वाला कार्य है:
| |
| <math display="block">1 + 2\cos x + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)x\right) }{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}.</math>
| |
| अवधि के किसी भी पूर्ण कार्य का संकल्प <math>2 \pi</math> डिरिचलेट कर्नेल के साथ फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है <math>n</math>Th-degree फूरियर सन्निकटन।किसी भी उपाय या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के लिए समान है।
| |
| | |
| === स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन ===
| |
| {{main|Tangent half-angle substitution}}
| |
| अगर हम सेट करते हैं <math display="block">t = \tan\frac x 2,</math> फिर<ref>Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23</ref>
| |
| <math display="block">\sin x = \frac{2t}{1 + t^2};\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2};\qquad e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math>
| |
| कहाँ पे <math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math> कभी -कभी & nbsp के लिए संक्षिप्त;{{math|cis ''x''}}।
| |
| | |
| जब यह प्रतिस्थापन <math>t</math> के लिये {{math|tan {{sfrac|''x''|2}}}} का उपयोग कैलकुलस में किया जाता है, यह इस प्रकार है <math>\sin x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|2''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}, <math>\cos x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|1 − ''t''<sup>2</sup>|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}} और अंतर {गणित | dx}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {गणित |{{sfrac|2 d''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}।जिससे कोई तर्कसंगत कार्यों को परिवर्तित करता है <math>\sin x</math> तथा <math>\cos x</math> के तर्कसंगत कार्यों के लिए <math>t</math> ताकि उनके एंटिडिवेटिव्स को खोजने के लिए।
| |
| | |
| === विएटे का अनंत उत्पाद ====
| |
| {{See also|Viète's formula|Sinc function}}
| |
| <math display="block">\cos\frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{4}
| |
| \cdot \cos \frac{\theta}{8} \cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos \frac{\theta}{2^n}
| |
| = \frac{\sin \theta}{\theta} = \operatorname{sinc} \theta.</math>
| |
| <!--\ ऑपरेटरनाम {sinc} का उद्देश्य sinc कहना है, पाप नहीं और साइन नहीं।--->
| |
| | |
| == यह भी देखें ==
| |
| {{div col|colwidth=30em}}
| |
| * अरिस्टार्चस की असमानता
| |
| * त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव
| |
| * सटीक त्रिकोणमितीय मान (साइन में व्यक्त साइन और कोसाइन के मान)
| |
| * Exsecant
| |
| * अर्ध-साइड फॉर्मूला
| |
| * हाइपरबोलिक फंक्शन
| |
| * त्रिकोणों के समाधान के लिए कानून:
| |
| ** कोसाइन का कानून
| |
| *** कोसाइन का गोलाकार कानून
| |
| ** सिन का नियम
| |
| ** स्पर्शरेखा का कानून
| |
| ** कॉटेन्जेंट्स का कानून
| |
| ** मोलवाइड का सूत्र
| |
| * त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची
| |
| * त्रिकोणमिति में mnemonics
| |
| * पेंटाग्रामा मिरिकम
| |
| * त्रिकोणमितीय पहचान के प्रमाण
| |
| * प्रोस्थैफेरेसिस
| |
| * पाइथागोरस प्रमेय
| |
| * स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र
| |
| * त्रिकोणमितीय संख्या
| |
| * त्रिकोणमिति
| |
| * वास्तविक कट्टरपंथियों में व्यक्त त्रिकोणमितीय स्थिरांक
| |
| * त्रिकोणमिति का उपयोग
| |
| * वर्सिन और हैवरसिन
| |
| {{div col end}}
| |
| | |
| ==संदर्भ==
| |
| {{reflist|30em}}
| |
| | |
| ==ग्रन्थसूची==
| |
| {{Refbegin}}
| |
| * {{Cite book|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|year=1972|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra }}
| |
| * {{ citation|last1 = Nielsen|first1 = Kaj L.|title = Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places|edition = 2nd|location = New York|publisher = [[Barnes & Noble]]|year = 1966|lccn = 61-9103 }}
| |
| * {{citation|editor-first=Samuel M.|editor-last=Selby|title=Standard Mathematical Tables|publisher=The Chemical Rubber Co.|year=1970|edition=18th}}
| |
| {{Refend}}
| |
| | |
| ==बाहरी संबंध==
| |
| * [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]
| |
| * [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]
| |
| | |
| {{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]
| |
