Mathematics for physics - Revision history

Mani: /* भौतिकी के लिए गणित */

2022-02-01T13:14:07Z

भौतिकी के लिए गणित

← Older revision		Revision as of 13:14, 1 February 2022
Line 103:		Line 103:

	=== विभेदन / विभेदीकरण ===		=== विभेदन / विभेदीकरण ===
			कलन में, विभेदीकरण एकीकरण के अलावा दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। विभेदन एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की एक विधि है। विभेदीकरण एक प्रक्रिया है, गणित में, जहां हम इसके एक चर के आधार पर कार्य में परिवर्तन की तात्कालिक दर पाते हैं। सबसे सामान्य उदाहरण समय के साथ विस्थापन की दर में परिवर्तन है, जिसे वेग कहा जाता है। व्युत्पन्न खोजने के विपरीत भेदभाव विरोधी है।

			यदि x एक चर है और y एक अन्य चर है, तो y के संबंध में x के परिवर्तन की दर dy/dx द्वारा दी जाती है। यह किसी फलन के अवकलज का सामान्य व्यंजक है और इसे f'(x) = dy/dx के रूप में दर्शाया जाता है, जहां y = f(x) कोई फलन है।

	यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।		यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।

Mani: /* Differentiation */

2022-02-01T13:12:52Z

Differentiation

← Older revision		Revision as of 13:12, 1 February 2022
Line 1:		Line 1:

	== Differentiation ==		== Differentiation ==
			In calculus, '''differentiation''' is one of the two important concepts apart from integration. Differentiation is a method of finding the derivative of a function. Differentiation is a process, in Maths, where we find the instantaneous rate of change in function based on one of its variables. The most common example is the rate change of displacement with respect to time, called velocity. The opposite of finding a derivative is anti-differentiation.

			If x is a variable and y is another variable, then the rate of change of x with respect to y is given by dy/dx. This is the general expression of derivative of a function and is represented as f'(x) = dy/dx, where y = f(x) is any function.

	== Constant quantity ==		== Constant quantity ==

Mani: /* Differentiation:[edit source] */

2022-02-01T13:09:03Z

Differentiation:[edit source]

← Older revision		Revision as of 13:09, 1 February 2022
Line 1:		Line 1:

	== Differentiation~~:[edit source]~~ ==		== Differentiation ==

	== Constant quantity~~[edit source]~~ ==		== Constant quantity ==

	:		:
Line 10:		Line 10:
	Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,		Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,

	== Variable quantity~~:[edit source]~~ ==		== Variable quantity ==
	If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.		If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.

Line 18:		Line 18:
	In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.		In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.

	== Function~~:[edit source]~~ ==		== Function ==
	If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.		If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.

	== Difference and Differential coefficient~~:[edit source]~~ ==		== Difference and Differential coefficient ==
	Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.		Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.

Line 46:		Line 46:
	d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.		d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.

	== Differentiation~~:[edit source]~~ ==		== Differentiation ==
	The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.		The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.

Line 95:		Line 95:
	Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)		Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)

	== HINDI~~[edit source]~~ ==		== HINDI ==

	=== भौतिकी के लिए गणित~~:[edit source]~~ ===		=== भौतिकी के लिए गणित ===

	=== विभेदन / विभेदीकरण~~:[edit source]~~ ===		=== विभेदन / विभेदीकरण ===
	यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।		यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।

	उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,		उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,

	=== परिवर्तनीय मात्रा~~:[edit source]~~ ===		=== परिवर्तनीय मात्रा ===
	यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।		यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।

Line 112:		Line 112:
	समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।		समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।

	=== फलन~~[edit source]~~ ===		=== फलन ===
	यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।		यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।

	=== अंतर और विभेदन गुणांक~~:[edit source]~~ ===		=== अंतर और विभेदन गुणांक ===
	मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।		मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।

Line 144:		Line 144:
	किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।		किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।

	=== विभेदन पर मूल प्रमेय~~:[edit source]~~ ===		=== विभेदन पर मूल प्रमेय ===
	i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।		i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।

Line 169:		Line 169:
	dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102		dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102

	=== भेदभाव के नियम~~[edit source]~~ ===		=== भेदभाव के नियम ===
	प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।		प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।

Line 180:		Line 180:
	dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x		dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x

	=== भागफल नियम~~:[edit source]~~ ===		=== भागफल नियम ===
	दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.		दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

Mani: /* भागफल नियम:[edit source] */

2022-01-31T09:53:48Z

भागफल नियम:[edit source]

← Older revision		Revision as of 09:53, 31 January 2022
Line 184:		Line 184:

	उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)		उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)
	~~{\| class="wikitable"~~
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	~~!क्रमांक~~
	~~!बीजीय व्यंजक का संघटक~~
	~~!संस्कृत शब्द~~
	~~!प्रतीक/चिह्न~~
	~~!उदाहरण~~
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	~~\|रू~~
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Mani: tabl test

2022-01-31T09:37:59Z

tabl test

← Older revision		Revision as of 09:37, 31 January 2022
Line 184:		Line 184:

	उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)		उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)
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			!क्रमांक
			!बीजीय व्यंजक का संघटक
			!संस्कृत शब्द
			!प्रतीक/चिह्न
			!उदाहरण
			!
			\|-
			\|1
			\|अज्ञात
			\|यावत्तावत्
			कालकः

			नीलकः , ......
			\|या
			का

			नी , ........
			\|या ३
			का ४

			नी ८
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			4y

			8z
			\|-
			\|2
			\|योगफल
			\|योगः
			\|<nowiki>-</nowiki>
			\|या का
			या ३ का ४
			\|x + y
			3x + 4y
			\|-
			\|3
			\|गुणनफल
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			\|भा
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			याकाभा ३
			\|xy
			3xy
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			\|4
			\|वर्ग
			\|वर्गः
			\|व
			\|याव
			\|x<sup>2</sup>
			\|-
			\|5
			\|घनक्षेत्र
			\|घनः
			\|घ
			\|याघ
			\|x<sup>3</sup>
			\|-
			\|6
			\|चौथी शक्ति
			\|वर्ग-वर्गः
			\|वव
			\|यावव
			\|x<sup>4</sup>
			\|-
			\|7
			\|स्थायी अवधि
			\|रूपम्
			\|रू
			\|रू ३
			\|3
			\|-
			\|8
			\|ऋणात्मक
			\|ऋणम्
			\|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)
			\|'''.'''
			रू ४
			\|<nowiki>-4</nowiki>
			\|}
	[[Category:Mathematics1]]		[[Category:Mathematics1]]
	{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}		{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}

Mani at 06:05, 27 January 2022

2022-01-27T06:05:18Z

← Older revision		Revision as of 06:05, 27 January 2022
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	उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)		उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)
			[[Category:Mathematics1]]
			{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}

Mani: /* अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source] */

2022-01-24T05:53:25Z

अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source]

← Older revision		Revision as of 05:53, 24 January 2022
Line 140:		Line 140:
	d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।		d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।

	~~=== ==~~ भेदभाव		भेदभाव
	~~== ===~~
	किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।		किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।

Mani: Replaced the content

2022-01-24T05:52:44Z

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New page

== Differentiation:[edit source] ==

== Constant quantity[edit source] ==

:

If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.

Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,

== Variable quantity:[edit source] ==
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.

Variable quantities are divided into two types
(a) Independent quantity.
(b) Dependent quantity.
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.

== Function:[edit source] ==
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.

== Difference and Differential coefficient:[edit source] ==
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.

The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.

Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y

The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then

we write △y/△x is equal to dy/dx.

In mathematical language, we represent the above statement as:

lim(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx or

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx

In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.

dy/ dx = Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)⁡█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x

The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.

d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.

== Differentiation:[edit source] ==
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.

Basic Theorems on Differentiation:

i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.

Then dy/dx =d/dx(c) =0

Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0

ii) The differential coefficient of xn is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.

If y = xn then dy/dx = nxn-1, where n may be positive or negative.

Example: Differentiate y = 8x8 w.r.t. x.

Solution: dy/dx = d/dx(8x8) = 8d/dx(x8) = 8*8*x8-1 = 64x7

iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.

Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.

Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...

Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.

Solution:

dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10

<big>Rules of differentiation</big>

Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.

Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

Example: Differentiate y = x(x2 – 2x) w.r.t. x.

Solution: Here u = x, v = x2 - 2x

dy/dx = d/dx[x(x2-2x)]=x(d/dx)(x2 – 2x) + (x2–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x2 - 2x)*1= 3x2 - 4x

<big>Quotient Rule:</big>

The differential coefficient of the quotient of two functions = [2nd function * derivati of the 1st function - 1st function * derivative of 2nd function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x2 + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)

== HINDI[edit source] ==

=== भौतिकी के लिए गणित:[edit source] ===

=== विभेदन / विभेदीकरण:[edit source] ===
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।

उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,

=== परिवर्तनीय मात्रा:[edit source] ===
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।

परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है
(ए) स्वतंत्र मात्रा।
(बी) निर्भर मात्रा।
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।

=== फलन[edit source] ===
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।

=== अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source] ===
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।

किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।

x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y

y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब

हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।

गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx or

Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) =dy/dx

इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।

dy/ dx =Lt(∆x→0)⁡█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)⁡█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x

स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।

d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।

=== == भेदभाव
== ===
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।

=== विभेदन पर मूल प्रमेय:[edit source] ===
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।

तब dy/dx =d/dx(c) =0

उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) xn का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

यदि y = xn तो dy/dx = nxn-1, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

उदाहरण: अंतर y = 8x8 w.r.t. एक्स।

समाधान: dy/dx = d/dx(8x8) = 8d/dx(x8) = 8*8*x8-1 = 64x7

दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।

तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...

उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।

समाधान:

dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102

=== भेदभाव के नियम[edit source] ===
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।

माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

उदाहरण: y = x(x2 – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।

हल: यहाँ u = x, v = x2 - 2x

dy/dx = d/dx[x(x2-2x)]=x(d/dx)(x2 - 2x) + (x2 -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x2 - 2x)*1= 3x2 - 4x

=== भागफल नियम:[edit source] ===
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2nd फलन * 1st फलन का व्युत्पन्न - 1st फलन * 2 का व्युत्पन्न nd फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x2 + 1)/(x-1)] w.r.t.x.

उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)