https://test.indicwiki.in/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Revathyindicwiki - User contributions [en]2026-10-18T05:30:58ZUser contributionsMediaWiki 1.36.1https://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36270त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:48:24Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36269त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:45:25Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36268त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:42:58Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36267त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:41:56Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36266त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:40:55Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36265त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:37:27Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36264त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:35:56Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36263त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:34:24Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36262त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:31:07Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref><br />
<br />
<br />
<br />
=== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===<br />
<br />
==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====<br />
<br />
दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref><br />
:<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
:<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
<br />
==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====<br />
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 /><br />
:<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
:<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math><br />
:<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math><br />
<br />
==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}<br />
\cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\<br />
{}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\<br />
\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\<br />
\cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\<br />
\cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)<br />
\end{align}</math><br />
:<math><br />
\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}<br />
</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><br />
<br />
==== Chebyshev विधि ====<br />
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ<br />
<br />
:<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।<br />
<br />
यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है<br />
<br />
:<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
:<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।<br />
<br />
इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ<br />
:<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math><br />
यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।<br />
<br />
Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:<br />
<br />
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math><br />
<br />
=== आधा-कोण सूत्र ===<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \csc \theta - \cot \theta<br />
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]<br />
<br />
&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]<br />
<br />
\cot \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}<br />
= \csc \theta + \cot \theta<br />
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref><br />
<br />
भी<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
==बाहरी संबंध==<br />
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]<br />
* [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36261त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:12:05Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref><br />
<br />
== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ==<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"<br />
|-<br />
! {{mvar|T<sub>n</sub>}} is the {{mvar|n}}th [[Chebyshev polynomials|Chebyshev polynomial]]<br />
| <math>\cos (n\theta) = T_n (\cos \theta )</math><ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! [[de Moivre's formula]], {{mvar|i}} is the [[imaginary unit]]<br />
| <math>\cos (n\theta) +i\sin (n\theta)=(\cos \theta +i\sin \theta)^n</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.48</ref><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===<br />
<br />
==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====<br />
<br />
दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref><br />
:<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
:<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
<br />
==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====<br />
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 /><br />
:<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
:<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math><br />
:<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math><br />
<br />
==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}<br />
\cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\<br />
{}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\<br />
\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\<br />
\cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\<br />
\cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)<br />
\end{align}</math><br />
:<math><br />
\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}<br />
</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><br />
<br />
==== Chebyshev विधि ====<br />
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ<br />
<br />
:<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।<br />
<br />
यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है<br />
<br />
:<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
:<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।<br />
<br />
इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ<br />
:<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math><br />
यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।<br />
<br />
Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:<br />
<br />
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math><br />
<br />
=== आधा-कोण सूत्र ===<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \csc \theta - \cot \theta<br />
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]<br />
<br />
&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]<br />
<br />
\cot \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}<br />
= \csc \theta + \cot \theta<br />
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref><br />
<br />
भी<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
==बाहरी संबंध==<br />
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]<br />
* [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]<br />
<br />
[[Category:Pages with broken file links|Trigonometric identities]]<br />
[[Category:Pages with reference errors]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36260त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T05:04:24Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref><br />
<br />
== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ==<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"<br />
|-<br />
! {{mvar|T<sub>n</sub>}} is the {{mvar|n}}th [[Chebyshev polynomials|Chebyshev polynomial]]<br />
| <math>\cos (n\theta) = T_n (\cos \theta )</math><ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! [[de Moivre's formula]], {{mvar|i}} is the [[imaginary unit]]<br />
| <math>\cos (n\theta) +i\sin (n\theta)=(\cos \theta +i\sin \theta)^n</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.48</ref><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===<br />
<br />
==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====<br />
<br />
दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref><br />
:<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
:<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
<br />
==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====<br />
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 /><br />
:<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
:<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math><br />
:<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math><br />
<br />
==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}<br />
\cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\<br />
{}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\<br />
\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\<br />
\cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\<br />
\cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)<br />
\end{align}</math><br />
:<math><br />
\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}<br />
</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><br />
<br />
==== Chebyshev विधि ====<br />
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ<br />
<br />
:<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।<br />
<br />
यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है<br />
<br />
:<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
:<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।<br />
<br />
इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ<br />
:<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math><br />
यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।<br />
<br />
Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:<br />
<br />
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math><br />
<br />
=== आधा-कोण सूत्र ===<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \csc \theta - \cot \theta<br />
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]<br />
<br />
&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]<br />
<br />
\cot \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}<br />
= \csc \theta + \cot \theta<br />
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref><br />
<br />
भी<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} <br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== तालिका ===<br />
<!--डबल-एंगल फॉर्मूला, डबल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, हाफ-एंगल फॉर्मूला, और हाफ-एंगल फॉर्मूला रीडायरेक्ट यहां --><br />
{{see also|Tangent half-angle formula}}<br />
इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"<br />
! !! Sine !! Cosine !! Tangent !! Cotangent<br />
|-<br />
! Double-angle formula<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24–26</ref><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (2\theta) &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\<br />
&= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (2\theta) &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\<br />
&= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ <br />
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\<br />
&= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}</math><br />
|-<br />
! Triple-angle formula<ref name="mathworld_multiple_angle"/><ref name="Stegun p. 72, 4">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27–28</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (3\theta) &= - \sin^3\theta + 3 \cos^2\theta \sin\theta\\<br />
&= - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (3\theta) &= \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\<br />
&= 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}</math><br />
| <math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
|-<br />
! Half-angle formula<ref name="ReferenceA"/><ref name="mathworld_half_angle"/><br />
| <math>\begin{align}<br />
&\sin \frac{\theta}{2} = \sgn(A) \, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\ \\<br />
&\text{where }A = 2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \\ \\<br />
&\left(\text{or }\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। {{citation needed|date=November 2021}}<br />
एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है {{math|1=4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' + ''d'' = 0}}, कहाँ पे <math>x</math> एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और {{mvar|d}} पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।<br />
<br />
== पावर-रिडक्शन फॉर्मूला ==<br />
<br />
कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sine<br />
!Cosine<br />
!Other<br />
|-<br />
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin (2\theta) - \sin (6\theta)}{32}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos (4\theta) + \cos (8\theta)}{128}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin (3\theta) + \sin (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos (3\theta) + \cos (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin (2\theta) - 5\sin (6\theta) + \sin (10\theta)}{512}</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reduction formula for cosine.svg|thumb|350px|ओसिन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।लाल, नारंगी और नीले रंग के त्रिकोण सभी समान हैं, और लाल और नारंगी त्रिकोण बधाई हैं।हाइपोटेनस नीले त्रिभुज की लंबाई के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है।]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
! <br />
!Cosine<br />
!Sine<br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is odd}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is even}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान ==<!--इस खंड के लिए लहर लिंक लिंक -->उत्पाद-टू-सम पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ के पक्षों का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था।<ref>{{Cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |date=1990 |publisher=Saunders College Pub |isbn=0-03-029558-0 |edition=6th |location=Philadelphia |page=309 |oclc=20842510}}</ref> उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Product-to-sum<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31–33</ref><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\tan \theta \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}</math><br />
|-\<br />
| <math>\begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \theta_k & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n) \\[6pt]<br />
& \text{where }e = (e_1,\cdots,e_n) \in S=\{1,-1\}^n<br />
\end{align}<br />
</math><br />
|-\<br />
|<math><br />
\prod_{k=1}^n \sin\theta_k=\frac{(-1)^{\lfloor\frac<br />
{n}{2}\rfloor}}{2^n}\begin{cases}<br />
\sum_{e\in S}\cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is even},\\<br />
\sum_{e\in S}\sin(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is odd}<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sum-to-product<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34–39</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan\theta\pm\tan\varphi=\frac{\sin(\theta\pm \varphi)}{\cos\theta\cos\varphi}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== हरमाइट की कोटेंट पहचान ===<br />
{{main|Hermite's cotangent identity}}<br />
चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया।<ref>{{cite journal|first=Warren P. |last=Johnson |title=Trigonometric Identities à la Hermite |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=117 |issue=4 |date=Apr 2010 |pages=311–327 |doi=10.4169/000298910x480784|s2cid=29690311 }}</ref> मान लीजिए <math>a_1, \ldots, a_n</math> जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;{{pi}}।होने देना<br />
<br />
:<math>A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)</math><br />
(विशेष रूप से, <math>A_{1,1},</math> एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).</math><br />
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;{{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;2}}:<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).</math><br />
<br />
=== त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद ===<br />
<br />
कोपरीट पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, {{mvar|m}}<br />
:<math>\prod_{k=1}^n \left(2a + 2\cos\left(\frac{2 \pi k m}{n} + x\right)\right) = 2\left( T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(n x) \right)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|T<sub>n</sub>}} चेबीशेव बहुपद है।<br />
<br />
निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है<br />
<br />
:<math>\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.</math><br />
आम तौर पर अधिक<ref>{{cite web |title=Product Identity Multiple Angle |url=https://math.stackexchange.com/q/2095330 }}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right).</math><br />
<br />
== रैखिक संयोजन ==<br />
कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में <math>c</math> तथा <math>\varphi</math>।<br />
<br />
=== साइन और कोसाइन ===<br />
साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,<ref>Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.</ref><REF नाम = REFERENTB>{{MathWorld|id=HarmonicAdditionTheorem|title=Harmonic Addition Theorem}}</ref><br />
<br />
:<math>a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> इस के रूप में परिभाषित किया गया है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c &= \sgn(a) \sqrt{a^2 + b^2}, \\<br />
\varphi &= \operatorname{arctan} \left(-\frac{b}{a}\right),<br />
\end{align}</math><br />
मान लें कि <math>a \neq 0.</math><br />
<br />
=== मनमाना चरण शिफ्ट ===<br />
आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है<br />
<br />
:<math>a \sin(x + \theta_a) + b \sin(x + \theta_b)= c \sin(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> संतुष्ट करना:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c^2 &= a^2 + b^2 + 2ab\cos \left(\theta_a - \theta_b \right) , \\<br />
\tan \varphi &= \frac{a \sin \theta_a + b \sin \theta_b}{a \cos \theta_a + b \cos \theta_b}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== दो से अधिक साइनसोइड्स ===<br />
{{See also|phasor (sine waves)#Addition|label1=Phasor addition}}सामान्य मामला पढ़ता है<ref name = संदर्भ /><br />
:<math>\sum_i a_i \sin(x + \theta_i) = a \sin(x + \theta),</math><br />
कहाँ पे<br />
:<math>a^2 = \sum_{i,j}a_i a_j \cos(\theta_i - \theta_j)</math><br />
तथा<br />
:<math>\tan\theta = \frac{\sum_i a_i \sin\theta_i}{\sum_i a_i \cos\theta_i}.</math><br />
<br />
== Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान ==<br />
जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है:<ref name=Muniz>{{cite journal |first=Eddie |last=Ortiz Muñiz |date=Feb 1953 |volume=21 |number=2 |title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities |journal=American Journal of Physics |page=140 | doi=10.1119/1.1933371 | bibcode=1953AmJPh..21..140M }}</ref><ref>{{cite book |title=Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems | edition=illustrated |first1=Ravi P. |last1=Agarwal |first2=Donal |last2=O'Regan |publisher=Springer Science & Business Media |year=2008 |isbn=9780387791463 |page=185 |url=https://books.google.com/books?id=jWvAfcNnphIC}} [https://books.google.com/books?</ref><ref>{{cite book |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |first1=Alan |last1=Jeffrey |first2=Hui-hui |last2=Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=978-0-12-374288-9 |year=2008 |publisher=Academic Press}}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sum_{k=0}^n \sin k\theta & = \frac{\cos \tfrac12\theta - \cos\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}\\[5pt]<br />
\sum_{k=0}^n \cos k\theta & = \frac{\sin \tfrac12\theta + \sin\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}<br />
\end{align}</math><br />
के लिये <math>\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.</math><br />
एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:<br />
<br />
<math display="block">D_n(\theta) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta<br />
= \frac{\sin\left(\left(n + \tfrac12 \right)\theta\right)}{\sin \tfrac12 \theta}.</math><br />
<br />
== कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन ==<br />
यदि <math>f(x)</math> Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन<br />
<math display="block">f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},</math><br />
और इसी तरह<br />
<math display="block">g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},</math><br />
फिर<br />
<math display="block">f\big(g(x)\big) = g\big(f(x)\big)<br />
= \frac{\big(\cos(\alpha+\beta)\big)x - \sin(\alpha+\beta)}{\big(\sin(\alpha+\beta)\big)x + \cos(\alpha+\beta)}.</math><br />
अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए <math>\alpha</math> हम जाने <math>f_{\alpha}</math> जिसे हमने बुलाया <math>f</math> ऊपर, फिर<br />
<math display="block">f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}.</math><br />
यदि <math>x</math> एक पंक्ति का ढलान है, फिर <math>f(x)</math> एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है <math>- \alpha.</math><br />
<br />
== जटिल घातीय कार्य से संबंध ==<br />
{{main|Euler's formula}}<br />
Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.47</ref><br />
<math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math><br />
जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है:<br />
<math display="block">e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.</math><br />
इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से,<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.2</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 71, 4.3.1</ref><br />
<math display="block">\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math><br />
<math display="block">\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}</math><br />
ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह<br />
{{math|1=''e''<sup>''i''(''θ''+''φ'')</sup> = ''e''<sup>''iθ''</sup> ''e''<sup>''iφ''</sup>}} मतलब कि<br />
{{block indent|em=1.5|text={{math|1=cos(''θ'' + ''φ'') + ''i'' sin(''θ'' + ''φ'') = (cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'') (cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'') = (cos ''θ'' cos ''φ'' − sin ''θ'' sin ''φ'') + ''i'' (cos ''θ'' sin ''φ'' + sin ''θ'' cos ''φ'')}}।}}<br />
बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।<br />
<br />
निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"<br />
!Function<br />
!Inverse function<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.26–31</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}</math><br />
|<math>\arcsin x = -i\, \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}</math><br />
|<math>\arccos x = -i\,\ln\left(x+\,\sqrt{x^2-1}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan \theta = -i\, \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccsc x = -i\, \ln \left(\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arcsec x = -i\, \ln \left(\frac{1}{x} +i \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cot \theta = i\, \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right)</math><br />
|-<br />
! colspan="2"|<br />
|-<br />
|[[cis (mathematics)|<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>]]<br />
|<math>\operatorname{arccis} x = -i \ln x</math><br />
|}<br />
<br />
== अनंत उत्पाद सूत्र ==<br />
विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;75, 4.3.89–90</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 85, 4.5.68–69</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cos x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \\<br />
\sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cosh x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
== उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ==<br />
{{main|Inverse trigonometric functions}}<br />
निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 73, 4.3.45}}</ref><br />
<br />
<br />
<br />
प्रत्येक समीकरण के दोनों किनारों के गुणात्मक व्युत्क्रम को ऊपर के परिणामस्वरूप समीकरणों में परिणाम <br />
<br />
ऊपर के सूत्र के दाहिने हाथ की ओर हमेशा फ़्लिप किया जाएगा।<br />
<br />
<br />
निम्नलिखित पहचान प्रतिबिंब पहचान से निहित हैं।वे जब भी पकड़ते हैं <br />
<br />
<br />
भी,<ref name=Wu>Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", ''Mathematics Magazine'' 77(3), June 2004, p. 189.</ref><br />
<math display=block>\begin{align}<br />
\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
- \frac{\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\arccot x + \arccot \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
\frac{3\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\end{align}</math><br />
<math display=block>\arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ and } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x</math><br />
<math display=block>\arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ and } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x</math><br />
<br />
== चर के बिना पहचान ==<br />
<br />
आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन के संदर्भ में हमारे पास है<ref name=Wu/><br />
<math display="block">\arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
<br />
The curious identity known as [[Morrie's law]],<br />
<math display="block">\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ = \frac{1}{8},</math><br />
<br />
is a special case of an identity that contains one variable:<br />
<math display="block">\prod_{j=0}^{k-1}\cos\left(2^j x\right) = \frac{\sin\left(2^k x\right)}{2^k\sin x}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}</math><br />
is a special case of an identity with <math>x = 20^\circ</math>:<br />
<math display="block">\sin x \cdot \sin \left(60^\circ - x\right) \cdot \sin \left(60^\circ + x\right) = \frac{\sin 3x}{4}.</math><br />
<br />
For the case <math>x = 15^\circ</math>,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 45^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
For the case <math>x = 10^\circ</math>,<br />
<math display="block">\sin 10^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 70^\circ = \frac{1}{8}.</math><br />
<br />
The same cosine identity is<br />
<math display="block">\cos x \cdot \cos \left(60^\circ - x\right) \cdot \cos \left(60^\circ + x\right) = \frac{\cos 3x}{4}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\cos 10^\circ\cdot\cos 50^\circ\cdot\cos 70^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 45^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ &= \tan 80^\circ, \\<br />
\tan 40^\circ\cdot\tan 30^\circ\cdot\tan 20^\circ &= \tan 10^\circ.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below):<br />
<math display="block">\cos 24^\circ + \cos 48^\circ + \cos 96^\circ + \cos 168^\circ = \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators:<br />
<math display="block"><br />
\cos \frac{2\pi}{21} +<br />
\cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)<br />
= \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10&nbsp;may start to make the pattern clear: they are those integers less than {{sfrac|21|2}} that are [[Coprime|relatively prime]] to (or have no [[prime factor]]s in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible [[cyclotomic polynomial]]s: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the [[Möbius function]] evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.<br />
<br />
Other cosine identities include:<ref>{{cite journal|last=Humble |first=Steve |title=Grandma's identity |journal=Mathematical Gazette |volume=88 |date=Nov 2004 |pages=524–525 |doi=10.1017/s0025557200176223|s2cid=125105552 }}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
2\cos \frac{\pi}{3} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{5} \times 2\cos \frac{2\pi}{5} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{7} \times 2\cos \frac{2\pi}{7}\times 2\cos \frac{3\pi}{7} &= 1,<br />
\end{align}</math><br />
और सभी विषम संख्याओं के लिए आगे, और इसलिए<br />
<math display="block">\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{7} \times \cos \frac{2\pi}{7} \times \cos \frac{3\pi}{7} + \dots = 1.</math><br />
उन जिज्ञासु पहचानों में से कई निम्नलिखित जैसे सामान्य तथ्यों से उपजी हैं:<ref>{{MathWorld|id=Sine|title=Sine}}</ref><br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math><br />
तथा<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.</math><br />
इनको संयोजन हमें देता है<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \tan\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{\sin\frac{\pi n}{2}}</math><br />
यदि {{mvar|n}} एक विषम संख्या है (<math>n = 2 m + 1</math>) हम प्राप्त करने के लिए समरूपता का उपयोग कर सकते हैं<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{m} \tan\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}</math><br />
बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर के स्थानांतरण फ़ंक्शन को बहुपद और ध्रुवों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।कटऑफ आवृत्ति के रूप में आवृत्ति निर्धारित करके, निम्नलिखित पहचान साबित की जा सकती है:<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^n \sin\frac{\left(2k - 1\right)\pi}{4n} = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} = \frac{\sqrt{2}}{2^n}</math><br />
<br />
<br />
=== कंप्यूटिंग {{pi}} ===<br />
गणना करने का एक कुशल तरीका {{pi}}बड़ी संख्या में अंक माचिन के कारण, चर के बिना निम्नलिखित पहचान पर आधारित है।यह एक मशीन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math><br />
या, वैकल्पिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर की पहचान का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math><br />
या पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\pi = \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{5}{13} + \arccos\frac{16}{65} = \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{12}{13} + \arcsin\frac{63}{65}.</math><br />
दूसरों में शामिल हैं:<ref name=Harris>Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, ''Proofs Without Words'' (1993, Mathematical Association of America), p. 39.</ref><रेफ नाम = वू/><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},</math><br />
<math display="block">\pi = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3,</math><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 2\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
आम तौर पर, संख्याओं के लिए {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub> ∈ (−1, 1)}} जिसके लिए {{math|1=''θ''<sub>''n''</sub> = Σ{{su|b=''k''=1|p=''n''−1}} आर्कन टी<sub>''k''</sub> ∈ (''π''/4, 3''π''/4)}}, let {{math|1=''t''<sub>''n''</sub> = tan(''π''/2 − ''θ''<sub>''n''</sub>) = cot ''θ''<sub>''n''</sub>}}. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} and its value will be in {{math|(−1, 1)}}. In particular, the computed {{math|''t''<sub>''n''</sub>}} will be rational whenever all the {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} मान तर्कसंगत हैं।इन मूल्यों के साथ,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\frac{\pi}{2} & = \sum_{k=1}^n \arctan(t_k) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \sgn(t_k) \arccos\left(\frac{1 - t_k^2}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arcsin\left(\frac{2t_k}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{2t_k}{1 - t_k^2}\right)\,,<br />
\end{align}</math><br />
जहां सभी लेकिन पहली अभिव्यक्ति में, हमने स्पर्शरेखा आधे-कोण के सूत्रों का उपयोग किया है।पहले दो सूत्र काम करते हैं, भले ही एक या एक से अधिक {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} मान भीतर नहीं है {{math|(−1, 1)}}।ध्यान दें कि अगर {{math|1=''t'' = ''p''/''q''}} तर्कसंगत है, तो {{math|(2''t'', 1 − ''t''<sup>2</sup>, 1 + ''t''<sup>2</sup>)}} उपरोक्त सूत्रों में मान पाइथागोरियन ट्रिपल के लिए आनुपातिक हैं {{math|(2''pq'', ''q''<sup>2</sup> − ''p''<sup>2</sup>, ''q''<sup>2</sup> + ''p''<sup>2</sup>)}}।<br />
<br />
उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 3}} शर्तें,<br />
<math display="block">\frac{\pi}{2} = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \arctan\left(\frac{c}{d}\right) + \arctan\left(\frac{bd - ac}{ad + bc}\right)</math><br />
किसी के लिए {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'' > 0}}।<br />
<br />
=== EUCLID की एक पहचान ===<br />
यूक्लिड ने बुक XIII में दिखाया, उसके यूक्लिड के तत्वों के प्रस्ताव 10 | ऐसे तत्व जो एक सर्कल में अंकित एक नियमित पेंटागन के किनारे वर्ग का क्षेत्र नियमित हेक्सागन के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है औरएक ही सर्कल में नियमित रूप से डिकैगन।आधुनिक त्रिकोणमिति की भाषा में, यह कहता है:<br />
<math display="block">\sin^2 18^\circ + \sin^2 30^\circ = \sin^2 36^\circ.</math><br />
टॉलेमी ने इस प्रस्ताव का उपयोग टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्स में कुछ कोणों की गणना करने के लिए किया।<br />
<br />
== त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना ==<br />
इन पहचानों में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है:<ref>[[Abramowitz and Stegun|Milton Abramowitz and Irene Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'']], [[Dover Publications]], New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(t \sin x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \sin x) = 2 \sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(t) \sin\big((2k+1)x\big)</math><br />
:<math>\cos(t \cos x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^kJ_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \cos x) = 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(t) \cos\big((2k+1)x\big)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|J<sub>i</sub>}} बेसेल फ़ंक्शन हैं।<br />
<br />
== केस के लिए आगे की सशर्त पहचान α + γ + = = 180 ° ==<br />
निम्नलिखित सूत्र मनमाने ढंग से विमान त्रिकोणों पर लागू होते हैं और फॉलो करते हैं <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ},</math> जब तक सूत्रों में होने वाले कार्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है (उत्तरार्द्ध केवल उन सूत्रों पर लागू होता है जिसमें स्पर्शरेखा और cotangents होते हैं)।<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\<br />
1 &= \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta \\<br />
\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) &= \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
1 &= \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \\<br />
\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
-\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 \\<br />
-\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) - 1 \\<br />
\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
-\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\<br />
\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 \\<br />
-\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 \\<br />
-\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 \\<br />
-\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2 (2\alpha) + \sin^2 (2\beta) + \sin^2 (2\gamma) &= -2\cos (2\alpha) \cos (2\beta) \cos (2\gamma)+2 \\<br />
\cos^2 (2\alpha) + \cos^2 (2\beta) + \cos^2 (2\gamma) &= 2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) + 1 \\<br />
1 &= \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\beta}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right)<br />
\end{align}</math> 3SINA = 4COS^3 A/2<br />
<br />
== हिस्टोरिकल शॉर्टहैंड्स ==<br />
{{main|Versine|Exsecant}}<br />
नेविगेशन में वर्सिन, कवरिन, हैवरिन और एक्ससेकेंट का उपयोग किया गया था।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए हैवरसिन फॉर्मूला का उपयोग किया गया था।उनका आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।<br />
<br />
== विविध ==<!--इस खंड को उम्मीद है कि यह लेख में वापस किया जाएगा, अगर मैं सामान जाने के लिए एक जगह पर काम कर सकता हूं--><br />
<br />
<br />
=== सभी T-ratios === के बीच संबंध<br />
निम्नलिखित पहचान सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध देती है।<br />
:<math>(\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 -<br />
(\tan\theta + \cot\theta)^2 = 5 </math><br />
<br />
=== डिरिचलेट कर्नेल ===<br />
{{Main|Dirichlet kernel}}<br />
द डिरिचलेट कर्नेल {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'')}} अगली पहचान के दोनों किनारों पर होने वाला कार्य है:<br />
<math display="block">1 + 2\cos x + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)x\right) }{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}.</math><br />
अवधि के किसी भी पूर्ण कार्य का संकल्प <math>2 \pi</math> डिरिचलेट कर्नेल के साथ फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है <math>n</math>Th-degree फूरियर सन्निकटन।किसी भी उपाय या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के लिए समान है।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन ===<br />
{{main|Tangent half-angle substitution}}<br />
अगर हम सेट करते हैं <math display="block">t = \tan\frac x 2,</math> फिर<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.23</ref><br />
<math display="block">\sin x = \frac{2t}{1 + t^2};\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2};\qquad e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math><br />
कहाँ पे <math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math> कभी -कभी & nbsp के लिए संक्षिप्त;{{math|cis ''x''}}।<br />
<br />
<br />
<br />
=== विएटे का अनंत उत्पाद ====<br />
{{See also|Viète's formula|Sinc function}}<br />
<math display="block">\cos\frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{4}<br />
\cdot \cos \frac{\theta}{8} \cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos \frac{\theta}{2^n}<br />
= \frac{\sin \theta}{\theta} = \operatorname{sinc} \theta.</math><br />
<!--\ ऑपरेटरनाम {sinc} का उद्देश्य sinc कहना है, पाप नहीं और साइन नहीं।---><br />
<br />
== यह भी देखें ==<br />
{{div col|colwidth=30em}}<br />
* अरिस्टार्चस की असमानता<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव<br />
* सटीक त्रिकोणमितीय मान (साइन में व्यक्त साइन और कोसाइन के मान)<br />
* Exsecant<br />
* अर्ध-साइड फॉर्मूला<br />
* हाइपरबोलिक फंक्शन<br />
* त्रिकोणों के समाधान के लिए कानून:<br />
** कोसाइन का कानून<br />
*** कोसाइन का गोलाकार कानून<br />
** सिन का नियम<br />
** स्पर्शरेखा का कानून<br />
** कॉटेन्जेंट्स का कानून<br />
** मोलवाइड का सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची<br />
* त्रिकोणमिति में mnemonics<br />
* पेंटाग्रामा मिरिकम<br />
* त्रिकोणमितीय पहचान के प्रमाण<br />
* प्रोस्थैफेरेसिस<br />
* पाइथागोरस प्रमेय<br />
* स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय संख्या<br />
* त्रिकोणमिति<br />
* वास्तविक कट्टरपंथियों में व्यक्त त्रिकोणमितीय स्थिरांक<br />
* त्रिकोणमिति का उपयोग<br />
* वर्सिन और हैवरसिन<br />
{{div col end}}<br />
<br />
==संदर्भ==<br />
{{reflist|30em}}<br />
<br />
==ग्रन्थसूची==<br />
{{Refbegin}}<br />
* {{Cite book|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|year=1972|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra }}<br />
* {{ citation|last1 = Nielsen|first1 = Kaj L.|title = Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places|edition = 2nd|location = New York|publisher = [[Barnes & Noble]]|year = 1966|lccn = 61-9103 }}<br />
* {{citation|editor-first=Samuel M.|editor-last=Selby|title=Standard Mathematical Tables|publisher=The Chemical Rubber Co.|year=1970|edition=18th}}<br />
{{Refend}}<br />
<br />
==बाहरी संबंध==<br />
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]<br />
* [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36259त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T04:57:31Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref><br />
<br />
== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ==<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"<br />
|-<br />
! {{mvar|T<sub>n</sub>}} is the {{mvar|n}}th [[Chebyshev polynomials|Chebyshev polynomial]]<br />
| <math>\cos (n\theta) = T_n (\cos \theta )</math><ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! [[de Moivre's formula]], {{mvar|i}} is the [[imaginary unit]]<br />
| <math>\cos (n\theta) +i\sin (n\theta)=(\cos \theta +i\sin \theta)^n</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.48</ref><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===<br />
<br />
==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====<br />
[[File:Visual demonstration of the double-angle trigonometric identity for sine.svg|thumb|400px|साइन के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला का isual प्रदर्शन।क्षेत्र, {{sfrac | 1 | 2}} × बेस × ऊंचाई, एक समद्वियों में त्रिभुज की गणना की जाती है, पहले जब ईमानदार, और फिर उसके पक्ष में।जब सीधा, क्षेत्र = <गणित> \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।जब इसकी तरफ, क्षेत्र = {{sfrac | 1 | 2}} <Math> \ sin 2 \ theta </math>।त्रिभुज को घुमाने से उसका क्षेत्र नहीं बदलता है, इसलिए ये दो भाव समान हैं।इसलिए, <गणित> \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।]]<br />
दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref><br />
:<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
:<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
<br />
==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====<br />
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 /><br />
:<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
:<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math><br />
:<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math><br />
<br />
==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}<br />
\cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\<br />
{}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\<br />
\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\<br />
\cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\<br />
\cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)<br />
\end{align}</math><br />
:<math><br />
\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}<br />
</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><br />
<br />
==== Chebyshev विधि ====<br />
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ<br />
<br />
:<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।<br />
<br />
यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है<br />
<br />
:<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
:<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।<br />
<br />
इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ<br />
:<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math><br />
यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।<br />
<br />
Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:<br />
<br />
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math><br />
<br />
=== आधा-कोण सूत्र ===<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \csc \theta - \cot \theta<br />
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]<br />
<br />
&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]<br />
<br />
\cot \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}<br />
= \csc \theta + \cot \theta<br />
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref><br />
<br />
भी<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} <br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== तालिका ===<br />
<!--डबल-एंगल फॉर्मूला, डबल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, हाफ-एंगल फॉर्मूला, और हाफ-एंगल फॉर्मूला रीडायरेक्ट यहां --><br />
{{see also|Tangent half-angle formula}}<br />
इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"<br />
! !! Sine !! Cosine !! Tangent !! Cotangent<br />
|-<br />
! Double-angle formula<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24–26</ref><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (2\theta) &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\<br />
&= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (2\theta) &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\<br />
&= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ <br />
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\<br />
&= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}</math><br />
|-<br />
! Triple-angle formula<ref name="mathworld_multiple_angle"/><ref name="Stegun p. 72, 4">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27–28</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (3\theta) &= - \sin^3\theta + 3 \cos^2\theta \sin\theta\\<br />
&= - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (3\theta) &= \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\<br />
&= 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}</math><br />
| <math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
|-<br />
! Half-angle formula<ref name="ReferenceA"/><ref name="mathworld_half_angle"/><br />
| <math>\begin{align}<br />
&\sin \frac{\theta}{2} = \sgn(A) \, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\ \\<br />
&\text{where }A = 2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \\ \\<br />
&\left(\text{or }\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। {{citation needed|date=November 2021}}<br />
एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है {{math|1=4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' + ''d'' = 0}}, कहाँ पे <math>x</math> एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और {{mvar|d}} पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।<br />
<br />
== पावर-रिडक्शन फॉर्मूला ==<br />
<br />
कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sine<br />
!Cosine<br />
!Other<br />
|-<br />
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin (2\theta) - \sin (6\theta)}{32}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos (4\theta) + \cos (8\theta)}{128}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin (3\theta) + \sin (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos (3\theta) + \cos (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin (2\theta) - 5\sin (6\theta) + \sin (10\theta)}{512}</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reduction formula for cosine.svg|thumb|350px|ओसिन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।लाल, नारंगी और नीले रंग के त्रिकोण सभी समान हैं, और लाल और नारंगी त्रिकोण बधाई हैं।हाइपोटेनस नीले त्रिभुज की लंबाई के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है।]]<br />
<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reducing formula for sine.svg|thumb|350px|INE पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक चित्रण आरेख। छायांकित नीले और हरे रंग के त्रिकोण, और लाल-आउटलाइन त्रिभुज <मैथ> ईबीडी </गणित> सभी सही-कोण और समान हैं, और सभी में कोण निम्नलिखित सत्य है, और डी मोइवरे के फॉर्मूला, यूलर के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके कटौती की जा सकती है {{citation needed|date=November 2014}}।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
! <br />
!Cosine<br />
!Sine<br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is odd}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is even}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान ==<!--इस खंड के लिए लहर लिंक लिंक -->उत्पाद-टू-सम पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ के पक्षों का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था।<ref>{{Cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |date=1990 |publisher=Saunders College Pub |isbn=0-03-029558-0 |edition=6th |location=Philadelphia |page=309 |oclc=20842510}}</ref> उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Product-to-sum<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31–33</ref><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\tan \theta \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}</math><br />
|-\<br />
| <math>\begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \theta_k & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n) \\[6pt]<br />
& \text{where }e = (e_1,\cdots,e_n) \in S=\{1,-1\}^n<br />
\end{align}<br />
</math><br />
|-\<br />
|<math><br />
\prod_{k=1}^n \sin\theta_k=\frac{(-1)^{\lfloor\frac<br />
{n}{2}\rfloor}}{2^n}\begin{cases}<br />
\sum_{e\in S}\cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is even},\\<br />
\sum_{e\in S}\sin(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is odd}<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating sum to product identities for sine and cosine.svg|thumb|400px|Iagram साइन और कोसाइन के लिए सम-टू-प्रोडक्ट पहचान को चित्रित करता है। ब्लू राइट-एंगल्ड त्रिभुज में कोण <गणित> \ theta </math> और लाल दाहिने-कोण वाले त्रिभुज में कोण <math> \ varphi </math> है। दोनों की लंबाई का एक हाइपोटेन्यूस है। सहायक कोण, यहां <मैथ> पी </गणित> और <मैथ> क्यू </गणित> कहा जाता है, इस तरह का निर्माण किया जाता है कि <मैथ> पी = (\ theta+\ varphi)/2 <//<//</ गणित> और <गणित> q = (\ theta- \ varphi)/2 </math>। इसलिए, <ath> \ theta = p+q </math> और <math> \ varphi = p-q </math>। यह दो बधाई बैंगनी-आउटलाइन त्रिकोण <गणित> afg </math> और <math> fce </math> का निर्माण करने की अनुमति देता है, प्रत्येक के साथ hypotenuse <math> \ cos q </math> और कोण <math> p <<<p <<<p <<<math> p < /गणित> उनके आधार पर। लाल और नीले त्रिकोणों की ऊंचाइयों का योग <गणित> \ sin \ theta + \ sin \ varphi </math> है, और यह एक बैंगनी त्रिभुज की ऊंचाई से दोगुना है, अर्थात् <गणित> 2 \ sin p \ cos q </math>। लिखना <ath> p </math> और <ath> q </math> उस समीकरण में <math> \ theta </math> और <math> \ varphi </math> के संदर्भ में सम-टू-प्रोडक्ट की पैदावार साइन के लिए पहचान। इसी तरह, लाल और नीले त्रिकोणों की चौड़ाई का योग कोसाइन के लिए संबंधित पहचान पैदा करता है।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sum-to-product<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34–39</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan\theta\pm\tan\varphi=\frac{\sin(\theta\pm \varphi)}{\cos\theta\cos\varphi}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== हरमाइट की कोटेंट पहचान ===<br />
{{main|Hermite's cotangent identity}}<br />
चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया।<ref>{{cite journal|first=Warren P. |last=Johnson |title=Trigonometric Identities à la Hermite |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=117 |issue=4 |date=Apr 2010 |pages=311–327 |doi=10.4169/000298910x480784|s2cid=29690311 }}</ref> मान लीजिए <math>a_1, \ldots, a_n</math> जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;{{pi}}।होने देना<br />
<br />
:<math>A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)</math><br />
(विशेष रूप से, <math>A_{1,1},</math> एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).</math><br />
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;{{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;2}}:<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).</math><br />
<br />
=== त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद ===<br />
<br />
कोपरीट पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, {{mvar|m}}<br />
:<math>\prod_{k=1}^n \left(2a + 2\cos\left(\frac{2 \pi k m}{n} + x\right)\right) = 2\left( T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(n x) \right)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|T<sub>n</sub>}} चेबीशेव बहुपद है।<br />
<br />
निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है<br />
<br />
:<math>\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.</math><br />
आम तौर पर अधिक<ref>{{cite web |title=Product Identity Multiple Angle |url=https://math.stackexchange.com/q/2095330 }}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right).</math><br />
<br />
== रैखिक संयोजन ==<br />
कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में <math>c</math> तथा <math>\varphi</math>।<br />
<br />
=== साइन और कोसाइन ===<br />
साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,<ref>Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.</ref><REF नाम = REFERENTB>{{MathWorld|id=HarmonicAdditionTheorem|title=Harmonic Addition Theorem}}</ref><br />
<br />
:<math>a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> इस के रूप में परिभाषित किया गया है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c &= \sgn(a) \sqrt{a^2 + b^2}, \\<br />
\varphi &= \operatorname{arctan} \left(-\frac{b}{a}\right),<br />
\end{align}</math><br />
मान लें कि <math>a \neq 0.</math><br />
<br />
=== मनमाना चरण शिफ्ट ===<br />
आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है<br />
<br />
:<math>a \sin(x + \theta_a) + b \sin(x + \theta_b)= c \sin(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> संतुष्ट करना:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c^2 &= a^2 + b^2 + 2ab\cos \left(\theta_a - \theta_b \right) , \\<br />
\tan \varphi &= \frac{a \sin \theta_a + b \sin \theta_b}{a \cos \theta_a + b \cos \theta_b}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== दो से अधिक साइनसोइड्स ===<br />
{{See also|phasor (sine waves)#Addition|label1=Phasor addition}}सामान्य मामला पढ़ता है<ref name = संदर्भ /><br />
:<math>\sum_i a_i \sin(x + \theta_i) = a \sin(x + \theta),</math><br />
कहाँ पे<br />
:<math>a^2 = \sum_{i,j}a_i a_j \cos(\theta_i - \theta_j)</math><br />
तथा<br />
:<math>\tan\theta = \frac{\sum_i a_i \sin\theta_i}{\sum_i a_i \cos\theta_i}.</math><br />
<br />
== Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान ==<br />
जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है:<ref name=Muniz>{{cite journal |first=Eddie |last=Ortiz Muñiz |date=Feb 1953 |volume=21 |number=2 |title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities |journal=American Journal of Physics |page=140 | doi=10.1119/1.1933371 | bibcode=1953AmJPh..21..140M }}</ref><ref>{{cite book |title=Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems | edition=illustrated |first1=Ravi P. |last1=Agarwal |first2=Donal |last2=O'Regan |publisher=Springer Science & Business Media |year=2008 |isbn=9780387791463 |page=185 |url=https://books.google.com/books?id=jWvAfcNnphIC}} [https://books.google.com/books?</ref><ref>{{cite book |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |first1=Alan |last1=Jeffrey |first2=Hui-hui |last2=Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=978-0-12-374288-9 |year=2008 |publisher=Academic Press}}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sum_{k=0}^n \sin k\theta & = \frac{\cos \tfrac12\theta - \cos\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}\\[5pt]<br />
\sum_{k=0}^n \cos k\theta & = \frac{\sin \tfrac12\theta + \sin\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}<br />
\end{align}</math><br />
के लिये <math>\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.</math><br />
एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:<br />
<br />
<math display="block">D_n(\theta) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta<br />
= \frac{\sin\left(\left(n + \tfrac12 \right)\theta\right)}{\sin \tfrac12 \theta}.</math><br />
<br />
== कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन ==<br />
यदि <math>f(x)</math> Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन<br />
<math display="block">f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},</math><br />
और इसी तरह<br />
<math display="block">g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},</math><br />
फिर<br />
<math display="block">f\big(g(x)\big) = g\big(f(x)\big)<br />
= \frac{\big(\cos(\alpha+\beta)\big)x - \sin(\alpha+\beta)}{\big(\sin(\alpha+\beta)\big)x + \cos(\alpha+\beta)}.</math><br />
अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए <math>\alpha</math> हम जाने <math>f_{\alpha}</math> जिसे हमने बुलाया <math>f</math> ऊपर, फिर<br />
<math display="block">f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}.</math><br />
यदि <math>x</math> एक पंक्ति का ढलान है, फिर <math>f(x)</math> एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है <math>- \alpha.</math><br />
<br />
== जटिल घातीय कार्य से संबंध ==<br />
{{main|Euler's formula}}<br />
Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.47</ref><br />
<math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math><br />
जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है:<br />
<math display="block">e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.</math><br />
इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से,<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.2</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 71, 4.3.1</ref><br />
<math display="block">\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math><br />
<math display="block">\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}</math><br />
ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह<br />
{{math|1=''e''<sup>''i''(''θ''+''φ'')</sup> = ''e''<sup>''iθ''</sup> ''e''<sup>''iφ''</sup>}} मतलब कि<br />
{{block indent|em=1.5|text={{math|1=cos(''θ'' + ''φ'') + ''i'' sin(''θ'' + ''φ'') = (cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'') (cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'') = (cos ''θ'' cos ''φ'' − sin ''θ'' sin ''φ'') + ''i'' (cos ''θ'' sin ''φ'' + sin ''θ'' cos ''φ'')}}।}}<br />
बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।<br />
<br />
निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"<br />
!Function<br />
!Inverse function<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.26–31</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}</math><br />
|<math>\arcsin x = -i\, \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}</math><br />
|<math>\arccos x = -i\,\ln\left(x+\,\sqrt{x^2-1}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan \theta = -i\, \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccsc x = -i\, \ln \left(\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arcsec x = -i\, \ln \left(\frac{1}{x} +i \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cot \theta = i\, \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right)</math><br />
|-<br />
! colspan="2"|<br />
|-<br />
|[[cis (mathematics)|<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>]]<br />
|<math>\operatorname{arccis} x = -i \ln x</math><br />
|}<br />
<br />
== अनंत उत्पाद सूत्र ==<br />
विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;75, 4.3.89–90</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 85, 4.5.68–69</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cos x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \\<br />
\sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cosh x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
== उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ==<br />
{{main|Inverse trigonometric functions}}<br />
निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 73, 4.3.45}}</ref><br />
<br />
<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक><br />
\ _ शुरू {संरेखित}<br />
\ sin (\ arcsin x) & = x<br />
& \ cos (\ arcsin x) & = \ sqrt {1-x^2}<br />
& \ tan (\ arcsin x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}<br />
\\<br />
\ sin (\ arccos x) & = \ sqrt {1-x^2}<br />
& \ cos (\ arccos x) & = x<br />
& \ tan (\ arccos x) & = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x}<br />
\\<br />
\ sin (\ arctan x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ cos (\ arctan x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ tan (\ arctan x) & = x<br />
\\<br />
\ sin (\ arccsc x) & = \ frac {1} {x}<br />
& \ cos (\ arccsc x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}<br />
& \ tan (\ arccsc x) & = \ frac {1} {\ sqrt {x^2 - 1}}}<br />
\\<br />
\ sin (\ arcsec x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}<br />
& \ cos (\ arcsec x) & = \ frac {1} {x}<br />
& \ tan (\ arcsec x) & = \ sqrt {x^2 - 1}<br />
\\<br />
\ sin (\ arccot x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ cos (\ arccot x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ tan (\ arccot x) & = \ frac {1} {x}<br />
\\<br />
\ अंत {संरेखित}<br />
</गणित><br />
<br />
प्रत्येक समीकरण के दोनों किनारों के गुणात्मक व्युत्क्रम को ऊपर के परिणामस्वरूप समीकरणों में परिणाम <br />
Math> \ csc = \ frac {1} {\ sin}, \;गणित><br />
ऊपर के सूत्र के दाहिने हाथ की ओर हमेशा फ़्लिप किया जाएगा।<br />
उदाहरण के लिए, के लिए समीकरण Math> \ cot (\ arcsin x) </math> है:<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ cot (\ arcsin x) = \ frac {1} {\ tan (\ arcsin x)} = \ frac {1} {\ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}}} = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x} </math><br />
जबकि समीकरणों के लिए <br />
गणित> \ csc (\ arccos x) </math> और गणित> \ sec (\ arccos x) </math> हैं:<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ csc (\ arccos x) = \ frac {1} {\ sin (\ arccos x)} = \ frac {1} {\ sqrt {1-X^2}} \ _ qquad \ _ \ _ {और{<br />
<br />
निम्नलिखित पहचान प्रतिबिंब पहचान से निहित हैं।वे जब भी पकड़ते हैं <br />
गणित> x, r, s, -x, -r, \ text {और} -s </math> प्रासंगिक कार्यों के डोमेन में हैं।<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ {Alignat} {9} शुरू करें<br />
\ frac {\ pi} {2} ~ & = ~ \ rescsin (x) &&+ \ rccos (x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ rccot (r) ~ && = ~ \ _ \ _&&+ \ arccsc (s) \\ [0.4ex]<br />
\ pi ~ & = ~ \ arccos (x) &&+ \ arccos (-x) ~ && = ~ \ arccot (r) &&+ \ rccot (-r) ~ && = ~ \ _ \ _ \ _ \ _ & &&+ \ _-S) \\ [0.4ex]<br />
0 ~ & = ~ \ arcsin (x) &&+ \ arcsin (-x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ arctan (-r) ~ && = ~ \ rccsc (s) &&+ \ rccsc (-s) \\ [1.0EX]<br />
\ अंत {Alignat} </Math><br />
<br />
भी,<ref name=Wu>Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", ''Mathematics Magazine'' 77(3), June 2004, p. 189.</ref><br />
<math display=block>\begin{align}<br />
\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
- \frac{\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\arccot x + \arccot \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
\frac{3\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\end{align}</math><br />
<math display=block>\arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ and } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x</math><br />
<math display=block>\arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ and } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x</math><br />
<br />
== चर के बिना पहचान ==<br />
<br />
आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन के संदर्भ में हमारे पास है<ref name=Wu/><br />
<math display="block">\arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
<br />
The curious identity known as [[Morrie's law]],<br />
<math display="block">\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ = \frac{1}{8},</math><br />
<br />
is a special case of an identity that contains one variable:<br />
<math display="block">\prod_{j=0}^{k-1}\cos\left(2^j x\right) = \frac{\sin\left(2^k x\right)}{2^k\sin x}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}</math><br />
is a special case of an identity with <math>x = 20^\circ</math>:<br />
<math display="block">\sin x \cdot \sin \left(60^\circ - x\right) \cdot \sin \left(60^\circ + x\right) = \frac{\sin 3x}{4}.</math><br />
<br />
For the case <math>x = 15^\circ</math>,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 45^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
For the case <math>x = 10^\circ</math>,<br />
<math display="block">\sin 10^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 70^\circ = \frac{1}{8}.</math><br />
<br />
The same cosine identity is<br />
<math display="block">\cos x \cdot \cos \left(60^\circ - x\right) \cdot \cos \left(60^\circ + x\right) = \frac{\cos 3x}{4}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\cos 10^\circ\cdot\cos 50^\circ\cdot\cos 70^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 45^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ &= \tan 80^\circ, \\<br />
\tan 40^\circ\cdot\tan 30^\circ\cdot\tan 20^\circ &= \tan 10^\circ.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below):<br />
<math display="block">\cos 24^\circ + \cos 48^\circ + \cos 96^\circ + \cos 168^\circ = \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators:<br />
<math display="block"><br />
\cos \frac{2\pi}{21} +<br />
\cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)<br />
= \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10&nbsp;may start to make the pattern clear: they are those integers less than {{sfrac|21|2}} that are [[Coprime|relatively prime]] to (or have no [[prime factor]]s in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible [[cyclotomic polynomial]]s: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the [[Möbius function]] evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.<br />
<br />
Other cosine identities include:<ref>{{cite journal|last=Humble |first=Steve |title=Grandma's identity |journal=Mathematical Gazette |volume=88 |date=Nov 2004 |pages=524–525 |doi=10.1017/s0025557200176223|s2cid=125105552 }}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
2\cos \frac{\pi}{3} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{5} \times 2\cos \frac{2\pi}{5} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{7} \times 2\cos \frac{2\pi}{7}\times 2\cos \frac{3\pi}{7} &= 1,<br />
\end{align}</math><br />
और सभी विषम संख्याओं के लिए आगे, और इसलिए<br />
<math display="block">\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{7} \times \cos \frac{2\pi}{7} \times \cos \frac{3\pi}{7} + \dots = 1.</math><br />
उन जिज्ञासु पहचानों में से कई निम्नलिखित जैसे सामान्य तथ्यों से उपजी हैं:<ref>{{MathWorld|id=Sine|title=Sine}}</ref><br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math><br />
तथा<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.</math><br />
इनको संयोजन हमें देता है<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \tan\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{\sin\frac{\pi n}{2}}</math><br />
यदि {{mvar|n}} एक विषम संख्या है (<math>n = 2 m + 1</math>) हम प्राप्त करने के लिए समरूपता का उपयोग कर सकते हैं<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{m} \tan\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}</math><br />
बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर के स्थानांतरण फ़ंक्शन को बहुपद और ध्रुवों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।कटऑफ आवृत्ति के रूप में आवृत्ति निर्धारित करके, निम्नलिखित पहचान साबित की जा सकती है:<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^n \sin\frac{\left(2k - 1\right)\pi}{4n} = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} = \frac{\sqrt{2}}{2^n}</math><br />
<br />
<br />
=== कंप्यूटिंग {{pi}} ===<br />
गणना करने का एक कुशल तरीका {{pi}}बड़ी संख्या में अंक माचिन के कारण, चर के बिना निम्नलिखित पहचान पर आधारित है।यह एक मशीन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math><br />
या, वैकल्पिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर की पहचान का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math><br />
या पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\pi = \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{5}{13} + \arccos\frac{16}{65} = \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{12}{13} + \arcsin\frac{63}{65}.</math><br />
दूसरों में शामिल हैं:<ref name=Harris>Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, ''Proofs Without Words'' (1993, Mathematical Association of America), p. 39.</ref><रेफ नाम = वू/><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},</math><br />
<math display="block">\pi = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3,</math><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 2\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
आम तौर पर, संख्याओं के लिए {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub> ∈ (−1, 1)}} जिसके लिए {{math|1=''θ''<sub>''n''</sub> = Σ{{su|b=''k''=1|p=''n''−1}} आर्कन टी<sub>''k''</sub> ∈ (''π''/4, 3''π''/4)}}, let {{math|1=''t''<sub>''n''</sub> = tan(''π''/2 − ''θ''<sub>''n''</sub>) = cot ''θ''<sub>''n''</sub>}}. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} and its value will be in {{math|(−1, 1)}}. In particular, the computed {{math|''t''<sub>''n''</sub>}} will be rational whenever all the {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} मान तर्कसंगत हैं।इन मूल्यों के साथ,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\frac{\pi}{2} & = \sum_{k=1}^n \arctan(t_k) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \sgn(t_k) \arccos\left(\frac{1 - t_k^2}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arcsin\left(\frac{2t_k}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{2t_k}{1 - t_k^2}\right)\,,<br />
\end{align}</math><br />
जहां सभी लेकिन पहली अभिव्यक्ति में, हमने स्पर्शरेखा आधे-कोण के सूत्रों का उपयोग किया है।पहले दो सूत्र काम करते हैं, भले ही एक या एक से अधिक {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} मान भीतर नहीं है {{math|(−1, 1)}}।ध्यान दें कि अगर {{math|1=''t'' = ''p''/''q''}} तर्कसंगत है, तो {{math|(2''t'', 1 − ''t''<sup>2</sup>, 1 + ''t''<sup>2</sup>)}} उपरोक्त सूत्रों में मान पाइथागोरियन ट्रिपल के लिए आनुपातिक हैं {{math|(2''pq'', ''q''<sup>2</sup> − ''p''<sup>2</sup>, ''q''<sup>2</sup> + ''p''<sup>2</sup>)}}।<br />
<br />
उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 3}} शर्तें,<br />
<math display="block">\frac{\pi}{2} = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \arctan\left(\frac{c}{d}\right) + \arctan\left(\frac{bd - ac}{ad + bc}\right)</math><br />
किसी के लिए {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'' > 0}}।<br />
<br />
=== EUCLID की एक पहचान ===<br />
यूक्लिड ने बुक XIII में दिखाया, उसके यूक्लिड के तत्वों के प्रस्ताव 10 | ऐसे तत्व जो एक सर्कल में अंकित एक नियमित पेंटागन के किनारे वर्ग का क्षेत्र नियमित हेक्सागन के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है औरएक ही सर्कल में नियमित रूप से डिकैगन।आधुनिक त्रिकोणमिति की भाषा में, यह कहता है:<br />
<math display="block">\sin^2 18^\circ + \sin^2 30^\circ = \sin^2 36^\circ.</math><br />
टॉलेमी ने इस प्रस्ताव का उपयोग टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्स में कुछ कोणों की गणना करने के लिए किया।<br />
<br />
== त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना ==<br />
इन पहचानों में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है:<ref>[[Abramowitz and Stegun|Milton Abramowitz and Irene Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'']], [[Dover Publications]], New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(t \sin x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \sin x) = 2 \sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(t) \sin\big((2k+1)x\big)</math><br />
:<math>\cos(t \cos x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^kJ_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \cos x) = 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(t) \cos\big((2k+1)x\big)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|J<sub>i</sub>}} बेसेल फ़ंक्शन हैं।<br />
<br />
== केस के लिए आगे की सशर्त पहचान α + γ + = = 180 ° ==<br />
निम्नलिखित सूत्र मनमाने ढंग से विमान त्रिकोणों पर लागू होते हैं और फॉलो करते हैं <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ},</math> जब तक सूत्रों में होने वाले कार्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है (उत्तरार्द्ध केवल उन सूत्रों पर लागू होता है जिसमें स्पर्शरेखा और cotangents होते हैं)।<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\<br />
1 &= \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta \\<br />
\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) &= \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
1 &= \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \\<br />
\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
-\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 \\<br />
-\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) - 1 \\<br />
\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
-\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\<br />
\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 \\<br />
-\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 \\<br />
-\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 \\<br />
-\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2 (2\alpha) + \sin^2 (2\beta) + \sin^2 (2\gamma) &= -2\cos (2\alpha) \cos (2\beta) \cos (2\gamma)+2 \\<br />
\cos^2 (2\alpha) + \cos^2 (2\beta) + \cos^2 (2\gamma) &= 2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) + 1 \\<br />
1 &= \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\beta}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right)<br />
\end{align}</math> 3SINA = 4COS^3 A/2<br />
<br />
== हिस्टोरिकल शॉर्टहैंड्स ==<br />
{{main|Versine|Exsecant}}<br />
नेविगेशन में वर्सिन, कवरिन, हैवरिन और एक्ससेकेंट का उपयोग किया गया था।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए हैवरसिन फॉर्मूला का उपयोग किया गया था।उनका आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।<br />
<br />
== विविध ==<!--इस खंड को उम्मीद है कि यह लेख में वापस किया जाएगा, अगर मैं सामान जाने के लिए एक जगह पर काम कर सकता हूं--><br />
<br />
<br />
=== सभी T-ratios === के बीच संबंध<br />
निम्नलिखित पहचान सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध देती है।<br />
:<math>(\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 -<br />
(\tan\theta + \cot\theta)^2 = 5 </math><br />
<br />
=== डिरिचलेट कर्नेल ===<br />
{{Main|Dirichlet kernel}}<br />
द डिरिचलेट कर्नेल {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'')}} अगली पहचान के दोनों किनारों पर होने वाला कार्य है:<br />
<math display="block">1 + 2\cos x + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)x\right) }{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}.</math><br />
अवधि के किसी भी पूर्ण कार्य का संकल्प <math>2 \pi</math> डिरिचलेट कर्नेल के साथ फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है <math>n</math>Th-degree फूरियर सन्निकटन।किसी भी उपाय या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के लिए समान है।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन ===<br />
{{main|Tangent half-angle substitution}}<br />
अगर हम सेट करते हैं <math display="block">t = \tan\frac x 2,</math> फिर<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.23</ref><br />
<math display="block">\sin x = \frac{2t}{1 + t^2};\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2};\qquad e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math><br />
कहाँ पे <math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math> कभी -कभी & nbsp के लिए संक्षिप्त;{{math|cis ''x''}}।<br />
<br />
जब यह प्रतिस्थापन <math>t</math> के लिये {{math|tan {{sfrac|''x''|2}}}} का उपयोग कैलकुलस में किया जाता है, यह इस प्रकार है <math>\sin x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|2''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}, <math>\cos x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|1 − ''t''<sup>2</sup>|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}} और अंतर {गणित | dx}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {गणित |{{sfrac|2 d''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}।जिससे कोई तर्कसंगत कार्यों को परिवर्तित करता है <math>\sin x</math> तथा <math>\cos x</math> के तर्कसंगत कार्यों के लिए <math>t</math> ताकि उनके एंटिडिवेटिव्स को खोजने के लिए।<br />
<br />
=== विएटे का अनंत उत्पाद ====<br />
{{See also|Viète's formula|Sinc function}}<br />
<math display="block">\cos\frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{4}<br />
\cdot \cos \frac{\theta}{8} \cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos \frac{\theta}{2^n}<br />
= \frac{\sin \theta}{\theta} = \operatorname{sinc} \theta.</math><br />
<!--\ ऑपरेटरनाम {sinc} का उद्देश्य sinc कहना है, पाप नहीं और साइन नहीं।---><br />
<br />
== यह भी देखें ==<br />
{{div col|colwidth=30em}}<br />
* अरिस्टार्चस की असमानता<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव<br />
* सटीक त्रिकोणमितीय मान (साइन में व्यक्त साइन और कोसाइन के मान)<br />
* Exsecant<br />
* अर्ध-साइड फॉर्मूला<br />
* हाइपरबोलिक फंक्शन<br />
* त्रिकोणों के समाधान के लिए कानून:<br />
** कोसाइन का कानून<br />
*** कोसाइन का गोलाकार कानून<br />
** सिन का नियम<br />
** स्पर्शरेखा का कानून<br />
** कॉटेन्जेंट्स का कानून<br />
** मोलवाइड का सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची<br />
* त्रिकोणमिति में mnemonics<br />
* पेंटाग्रामा मिरिकम<br />
* त्रिकोणमितीय पहचान के प्रमाण<br />
* प्रोस्थैफेरेसिस<br />
* पाइथागोरस प्रमेय<br />
* स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय संख्या<br />
* त्रिकोणमिति<br />
* वास्तविक कट्टरपंथियों में व्यक्त त्रिकोणमितीय स्थिरांक<br />
* त्रिकोणमिति का उपयोग<br />
* वर्सिन और हैवरसिन<br />
{{div col end}}<br />
<br />
==संदर्भ==<br />
{{reflist|30em}}<br />
<br />
==ग्रन्थसूची==<br />
{{Refbegin}}<br />
* {{Cite book|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|year=1972|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra }}<br />
* {{ citation|last1 = Nielsen|first1 = Kaj L.|title = Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places|edition = 2nd|location = New York|publisher = [[Barnes & Noble]]|year = 1966|lccn = 61-9103 }}<br />
* {{citation|editor-first=Samuel M.|editor-last=Selby|title=Standard Mathematical Tables|publisher=The Chemical Rubber Co.|year=1970|edition=18th}}<br />
{{Refend}}<br />
<br />
==बाहरी संबंध==<br />
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]<br />
* [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36258त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T04:47:24Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref><br />
<br />
== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ==<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"<br />
|-<br />
! {{mvar|T<sub>n</sub>}} is the {{mvar|n}}th [[Chebyshev polynomials|Chebyshev polynomial]]<br />
| <math>\cos (n\theta) = T_n (\cos \theta )</math><ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! [[de Moivre's formula]], {{mvar|i}} is the [[imaginary unit]]<br />
| <math>\cos (n\theta) +i\sin (n\theta)=(\cos \theta +i\sin \theta)^n</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.48</ref><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===<br />
<br />
==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====<br />
[[File:Visual demonstration of the double-angle trigonometric identity for sine.svg|thumb|400px|साइन के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला का isual प्रदर्शन।क्षेत्र, {{sfrac | 1 | 2}} × बेस × ऊंचाई, एक समद्वियों में त्रिभुज की गणना की जाती है, पहले जब ईमानदार, और फिर उसके पक्ष में।जब सीधा, क्षेत्र = <गणित> \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।जब इसकी तरफ, क्षेत्र = {{sfrac | 1 | 2}} <Math> \ sin 2 \ theta </math>।त्रिभुज को घुमाने से उसका क्षेत्र नहीं बदलता है, इसलिए ये दो भाव समान हैं।इसलिए, <गणित> \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।]]<br />
दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref><br />
:<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
:<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
<br />
==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====<br />
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 /><br />
:<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
:<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math><br />
:<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math><br />
<br />
==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}<br />
\cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\<br />
{}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\<br />
\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\<br />
\cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\<br />
\cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)<br />
\end{align}</math><br />
:<math><br />
\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}<br />
</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><br />
<br />
==== Chebyshev विधि ====<br />
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ<br />
<br />
:<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।<br />
<br />
यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है<br />
<br />
:<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
:<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।<br />
<br />
इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ<br />
:<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math><br />
यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।<br />
<br />
Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:<br />
<br />
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math><br />
<br />
=== आधा-कोण सूत्र ===<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \csc \theta - \cot \theta<br />
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]<br />
<br />
&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]<br />
<br />
\cot \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}<br />
= \csc \theta + \cot \theta<br />
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref><br />
<br />
भी<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} <br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== तालिका ===<br />
<!--डबल-एंगल फॉर्मूला, डबल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, हाफ-एंगल फॉर्मूला, और हाफ-एंगल फॉर्मूला रीडायरेक्ट यहां --><br />
{{see also|Tangent half-angle formula}}<br />
इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"<br />
! !! Sine !! Cosine !! Tangent !! Cotangent<br />
|-<br />
! Double-angle formula<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24–26</ref><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (2\theta) &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\<br />
&= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (2\theta) &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\<br />
&= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ <br />
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\<br />
&= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}</math><br />
|-<br />
! Triple-angle formula<ref name="mathworld_multiple_angle"/><ref name="Stegun p. 72, 4">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27–28</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (3\theta) &= - \sin^3\theta + 3 \cos^2\theta \sin\theta\\<br />
&= - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (3\theta) &= \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\<br />
&= 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}</math><br />
| <math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
|-<br />
! Half-angle formula<ref name="ReferenceA"/><ref name="mathworld_half_angle"/><br />
| <math>\begin{align}<br />
&\sin \frac{\theta}{2} = \sgn(A) \, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\ \\<br />
&\text{where }A = 2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \\ \\<br />
&\left(\text{or }\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। {{citation needed|date=November 2021}}<br />
एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है {{math|1=4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' + ''d'' = 0}}, कहाँ पे <math>x</math> एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और {{mvar|d}} पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।<br />
<br />
== पावर-रिडक्शन फॉर्मूला ==<br />
<br />
कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sine<br />
!Cosine<br />
!Other<br />
|-<br />
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin (2\theta) - \sin (6\theta)}{32}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos (4\theta) + \cos (8\theta)}{128}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin (3\theta) + \sin (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos (3\theta) + \cos (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin (2\theta) - 5\sin (6\theta) + \sin (10\theta)}{512}</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reduction formula for cosine.svg|thumb|350px|ओसिन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।लाल, नारंगी और नीले रंग के त्रिकोण सभी समान हैं, और लाल और नारंगी त्रिकोण बधाई हैं।हाइपोटेनस <गणित> \ _ {विज्ञापन} </गणित> नीले त्रिभुज की लंबाई <गणित> 2 \ cos \ theta </math> है।कोण <मठ> \ कोण dae </math> is <math> \ theta </math> है, इसलिए आधार <math> \ _ \ {ae} </math> की उस त्रिभुज की लंबाई है <गणित> 2 \ cos^2 \ theta </Math>।यह लंबाई <गणित> \ _ ओवरलाइन {bd} </math> और <math> \ _ ओवरलाइन {af} </math>, अर्थात् <math> 1 + \ cos (2 \ theta) <\ _ {\ _} </math> के बराबर है।/गणित>।इसलिए, <गणित> 2 \ cos^2 \ theta = 1 + \ cos (2 \ theta) </math>, जब दोनों पक्षों को <Math> 2 </Math> द्वारा विभाजित किया जाता है, तो शक्ति-घटाने के सूत्र की उपज।Cosine के लिए आधा-कोण सूत्र <Math> \ theta </Math> को <Math> \ theta/2 </Math> के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है।]]<br />
<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reducing formula for sine.svg|thumb|350px|INE पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक चित्रण आरेख। छायांकित नीले और हरे रंग के त्रिकोण, और लाल-आउटलाइन त्रिभुज <मैथ> ईबीडी </गणित> सभी सही-कोण और समान हैं, और सभी में कोण <गणित> \ theta </math> शामिल हैं। हाइपोटेन्यूज़ <मठ> \ _ ओवरलाइन {bd} </math> की लाल-आउटलाइन त्रिभुज की लंबाई <गणित> 2 \ sin \ theta </math> है, इसलिए इसका पक्ष <Math> \ _ {{de} </Math> लंबाई <गणित> 2 \ sin^2 \ theta </math> है। लाइन सेगमेंट <मैथ> \ _ ओवरलाइन {ae} </math> की लंबाई <math> \ cos 2 \ theta </math> और <math> \ _ {ae} </math> और <math की लंबाई का योग है। > \ ओवरलाइन {de} </math> <गणित की लंबाई के बराबर है <गणित> \ overline {ad} </math>, जो 1. इसलिए है, <Math> \ cos 2 \ theta + 2 \ sin^2 \ theta = 1 </गणित>। दोनों पक्षों से <Math> \ cos 2 \ theta </Math> को घटाकर दो से दो से विभाजित करना साइन के लिए पावर-रिडक्शन फॉर्मूला पैदा करता है। साइन के लिए आधा-कोण सूत्र <गणित> \ theta </math> को <th> \ theta/2 </math> के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह आंकड़ा भी दिखाता है, ऊर्ध्वाधर रेखा खंड में <गणित> \ _ {eb} </math>, कि <math> \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।]]<br />
की शक्तियों के सामान्य शब्दों में <math>\sin \theta</math> या <math>\cos \theta</math> निम्नलिखित सत्य है, और डी मोइवरे के फॉर्मूला, यूलर के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके कटौती की जा सकती है {{citation needed|date=November 2014}}।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
! <br />
!Cosine<br />
!Sine<br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is odd}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is even}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान ==<!--इस खंड के लिए लहर लिंक लिंक -->उत्पाद-टू-सम पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ के पक्षों का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था।<ref>{{Cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |date=1990 |publisher=Saunders College Pub |isbn=0-03-029558-0 |edition=6th |location=Philadelphia |page=309 |oclc=20842510}}</ref> उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Product-to-sum<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31–33</ref><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\tan \theta \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}</math><br />
|-\<br />
| <math>\begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \theta_k & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n) \\[6pt]<br />
& \text{where }e = (e_1,\cdots,e_n) \in S=\{1,-1\}^n<br />
\end{align}<br />
</math><br />
|-\<br />
|<math><br />
\prod_{k=1}^n \sin\theta_k=\frac{(-1)^{\lfloor\frac<br />
{n}{2}\rfloor}}{2^n}\begin{cases}<br />
\sum_{e\in S}\cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is even},\\<br />
\sum_{e\in S}\sin(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is odd}<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating sum to product identities for sine and cosine.svg|thumb|400px|Iagram साइन और कोसाइन के लिए सम-टू-प्रोडक्ट पहचान को चित्रित करता है। ब्लू राइट-एंगल्ड त्रिभुज में कोण <गणित> \ theta </math> और लाल दाहिने-कोण वाले त्रिभुज में कोण <math> \ varphi </math> है। दोनों की लंबाई का एक हाइपोटेन्यूस है। सहायक कोण, यहां <मैथ> पी </गणित> और <मैथ> क्यू </गणित> कहा जाता है, इस तरह का निर्माण किया जाता है कि <मैथ> पी = (\ theta+\ varphi)/2 <//<//</ गणित> और <गणित> q = (\ theta- \ varphi)/2 </math>। इसलिए, <ath> \ theta = p+q </math> और <math> \ varphi = p-q </math>। यह दो बधाई बैंगनी-आउटलाइन त्रिकोण <गणित> afg </math> और <math> fce </math> का निर्माण करने की अनुमति देता है, प्रत्येक के साथ hypotenuse <math> \ cos q </math> और कोण <math> p <<<p <<<p <<<math> p < /गणित> उनके आधार पर। लाल और नीले त्रिकोणों की ऊंचाइयों का योग <गणित> \ sin \ theta + \ sin \ varphi </math> है, और यह एक बैंगनी त्रिभुज की ऊंचाई से दोगुना है, अर्थात् <गणित> 2 \ sin p \ cos q </math>। लिखना <ath> p </math> और <ath> q </math> उस समीकरण में <math> \ theta </math> और <math> \ varphi </math> के संदर्भ में सम-टू-प्रोडक्ट की पैदावार साइन के लिए पहचान। इसी तरह, लाल और नीले त्रिकोणों की चौड़ाई का योग कोसाइन के लिए संबंधित पहचान पैदा करता है।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sum-to-product<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34–39</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan\theta\pm\tan\varphi=\frac{\sin(\theta\pm \varphi)}{\cos\theta\cos\varphi}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== हरमाइट की कोटेंट पहचान ===<br />
{{main|Hermite's cotangent identity}}<br />
चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया।<ref>{{cite journal|first=Warren P. |last=Johnson |title=Trigonometric Identities à la Hermite |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=117 |issue=4 |date=Apr 2010 |pages=311–327 |doi=10.4169/000298910x480784|s2cid=29690311 }}</ref> मान लीजिए <math>a_1, \ldots, a_n</math> जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;{{pi}}।होने देना<br />
<br />
:<math>A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)</math><br />
(विशेष रूप से, <math>A_{1,1},</math> एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).</math><br />
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;{{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;2}}:<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).</math><br />
<br />
=== त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद ===<br />
<br />
कोपरीट पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, {{mvar|m}}<br />
:<math>\prod_{k=1}^n \left(2a + 2\cos\left(\frac{2 \pi k m}{n} + x\right)\right) = 2\left( T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(n x) \right)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|T<sub>n</sub>}} चेबीशेव बहुपद है।<br />
<br />
निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है<br />
<br />
:<math>\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.</math><br />
आम तौर पर अधिक<ref>{{cite web |title=Product Identity Multiple Angle |url=https://math.stackexchange.com/q/2095330 }}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right).</math><br />
<br />
== रैखिक संयोजन ==<br />
कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में <math>c</math> तथा <math>\varphi</math>।<br />
<br />
=== साइन और कोसाइन ===<br />
साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,<ref>Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.</ref><REF नाम = REFERENTB>{{MathWorld|id=HarmonicAdditionTheorem|title=Harmonic Addition Theorem}}</ref><br />
<br />
:<math>a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> इस के रूप में परिभाषित किया गया है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c &= \sgn(a) \sqrt{a^2 + b^2}, \\<br />
\varphi &= \operatorname{arctan} \left(-\frac{b}{a}\right),<br />
\end{align}</math><br />
मान लें कि <math>a \neq 0.</math><br />
<br />
=== मनमाना चरण शिफ्ट ===<br />
आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है<br />
<br />
:<math>a \sin(x + \theta_a) + b \sin(x + \theta_b)= c \sin(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> संतुष्ट करना:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c^2 &= a^2 + b^2 + 2ab\cos \left(\theta_a - \theta_b \right) , \\<br />
\tan \varphi &= \frac{a \sin \theta_a + b \sin \theta_b}{a \cos \theta_a + b \cos \theta_b}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== दो से अधिक साइनसोइड्स ===<br />
{{See also|phasor (sine waves)#Addition|label1=Phasor addition}}सामान्य मामला पढ़ता है<ref name = संदर्भ /><br />
:<math>\sum_i a_i \sin(x + \theta_i) = a \sin(x + \theta),</math><br />
कहाँ पे<br />
:<math>a^2 = \sum_{i,j}a_i a_j \cos(\theta_i - \theta_j)</math><br />
तथा<br />
:<math>\tan\theta = \frac{\sum_i a_i \sin\theta_i}{\sum_i a_i \cos\theta_i}.</math><br />
<br />
== Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान ==<br />
जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है:<ref name=Muniz>{{cite journal |first=Eddie |last=Ortiz Muñiz |date=Feb 1953 |volume=21 |number=2 |title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities |journal=American Journal of Physics |page=140 | doi=10.1119/1.1933371 | bibcode=1953AmJPh..21..140M }}</ref><ref>{{cite book |title=Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems | edition=illustrated |first1=Ravi P. |last1=Agarwal |first2=Donal |last2=O'Regan |publisher=Springer Science & Business Media |year=2008 |isbn=9780387791463 |page=185 |url=https://books.google.com/books?id=jWvAfcNnphIC}} [https://books.google.com/books?</ref><ref>{{cite book |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |first1=Alan |last1=Jeffrey |first2=Hui-hui |last2=Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=978-0-12-374288-9 |year=2008 |publisher=Academic Press}}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sum_{k=0}^n \sin k\theta & = \frac{\cos \tfrac12\theta - \cos\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}\\[5pt]<br />
\sum_{k=0}^n \cos k\theta & = \frac{\sin \tfrac12\theta + \sin\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}<br />
\end{align}</math><br />
के लिये <math>\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.</math><br />
एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:<br />
<br />
<math display="block">D_n(\theta) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta<br />
= \frac{\sin\left(\left(n + \tfrac12 \right)\theta\right)}{\sin \tfrac12 \theta}.</math><br />
<br />
== कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन ==<br />
यदि <math>f(x)</math> Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन<br />
<math display="block">f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},</math><br />
और इसी तरह<br />
<math display="block">g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},</math><br />
फिर<br />
<math display="block">f\big(g(x)\big) = g\big(f(x)\big)<br />
= \frac{\big(\cos(\alpha+\beta)\big)x - \sin(\alpha+\beta)}{\big(\sin(\alpha+\beta)\big)x + \cos(\alpha+\beta)}.</math><br />
अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए <math>\alpha</math> हम जाने <math>f_{\alpha}</math> जिसे हमने बुलाया <math>f</math> ऊपर, फिर<br />
<math display="block">f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}.</math><br />
यदि <math>x</math> एक पंक्ति का ढलान है, फिर <math>f(x)</math> एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है <math>- \alpha.</math><br />
<br />
== जटिल घातीय कार्य से संबंध ==<br />
{{main|Euler's formula}}<br />
Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.47</ref><br />
<math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math><br />
जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है:<br />
<math display="block">e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.</math><br />
इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से,<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.2</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 71, 4.3.1</ref><br />
<math display="block">\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math><br />
<math display="block">\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}</math><br />
ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह<br />
{{math|1=''e''<sup>''i''(''θ''+''φ'')</sup> = ''e''<sup>''iθ''</sup> ''e''<sup>''iφ''</sup>}} मतलब कि<br />
{{block indent|em=1.5|text={{math|1=cos(''θ'' + ''φ'') + ''i'' sin(''θ'' + ''φ'') = (cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'') (cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'') = (cos ''θ'' cos ''φ'' − sin ''θ'' sin ''φ'') + ''i'' (cos ''θ'' sin ''φ'' + sin ''θ'' cos ''φ'')}}।}}<br />
बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।<br />
<br />
निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"<br />
!Function<br />
!Inverse function<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.26–31</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}</math><br />
|<math>\arcsin x = -i\, \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}</math><br />
|<math>\arccos x = -i\,\ln\left(x+\,\sqrt{x^2-1}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan \theta = -i\, \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccsc x = -i\, \ln \left(\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arcsec x = -i\, \ln \left(\frac{1}{x} +i \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cot \theta = i\, \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right)</math><br />
|-<br />
! colspan="2"|<br />
|-<br />
|[[cis (mathematics)|<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>]]<br />
|<math>\operatorname{arccis} x = -i \ln x</math><br />
|}<br />
<br />
== अनंत उत्पाद सूत्र ==<br />
विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;75, 4.3.89–90</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 85, 4.5.68–69</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cos x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \\<br />
\sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cosh x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
== उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ==<br />
{{main|Inverse trigonometric functions}}<br />
निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 73, 4.3.45}}</ref><br />
<br />
<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक><br />
\ _ शुरू {संरेखित}<br />
\ sin (\ arcsin x) & = x<br />
& \ cos (\ arcsin x) & = \ sqrt {1-x^2}<br />
& \ tan (\ arcsin x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}<br />
\\<br />
\ sin (\ arccos x) & = \ sqrt {1-x^2}<br />
& \ cos (\ arccos x) & = x<br />
& \ tan (\ arccos x) & = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x}<br />
\\<br />
\ sin (\ arctan x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ cos (\ arctan x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ tan (\ arctan x) & = x<br />
\\<br />
\ sin (\ arccsc x) & = \ frac {1} {x}<br />
& \ cos (\ arccsc x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}<br />
& \ tan (\ arccsc x) & = \ frac {1} {\ sqrt {x^2 - 1}}}<br />
\\<br />
\ sin (\ arcsec x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}<br />
& \ cos (\ arcsec x) & = \ frac {1} {x}<br />
& \ tan (\ arcsec x) & = \ sqrt {x^2 - 1}<br />
\\<br />
\ sin (\ arccot x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ cos (\ arccot x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ tan (\ arccot x) & = \ frac {1} {x}<br />
\\<br />
\ अंत {संरेखित}<br />
</गणित><br />
<br />
प्रत्येक समीकरण के दोनों किनारों के गुणात्मक व्युत्क्रम को ऊपर के परिणामस्वरूप समीकरणों में परिणाम <br />
Math> \ csc = \ frac {1} {\ sin}, \;गणित><br />
ऊपर के सूत्र के दाहिने हाथ की ओर हमेशा फ़्लिप किया जाएगा।<br />
उदाहरण के लिए, के लिए समीकरण Math> \ cot (\ arcsin x) </math> है:<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ cot (\ arcsin x) = \ frac {1} {\ tan (\ arcsin x)} = \ frac {1} {\ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}}} = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x} </math><br />
जबकि समीकरणों के लिए <br />
गणित> \ csc (\ arccos x) </math> और गणित> \ sec (\ arccos x) </math> हैं:<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ csc (\ arccos x) = \ frac {1} {\ sin (\ arccos x)} = \ frac {1} {\ sqrt {1-X^2}} \ _ qquad \ _ \ _ {और{<br />
<br />
निम्नलिखित पहचान प्रतिबिंब पहचान से निहित हैं।वे जब भी पकड़ते हैं <br />
गणित> x, r, s, -x, -r, \ text {और} -s </math> प्रासंगिक कार्यों के डोमेन में हैं।<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ {Alignat} {9} शुरू करें<br />
\ frac {\ pi} {2} ~ & = ~ \ rescsin (x) &&+ \ rccos (x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ rccot (r) ~ && = ~ \ _ \ _&&+ \ arccsc (s) \\ [0.4ex]<br />
\ pi ~ & = ~ \ arccos (x) &&+ \ arccos (-x) ~ && = ~ \ arccot (r) &&+ \ rccot (-r) ~ && = ~ \ _ \ _ \ _ \ _ & &&+ \ _-S) \\ [0.4ex]<br />
0 ~ & = ~ \ arcsin (x) &&+ \ arcsin (-x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ arctan (-r) ~ && = ~ \ rccsc (s) &&+ \ rccsc (-s) \\ [1.0EX]<br />
\ अंत {Alignat} </Math><br />
<br />
भी,<ref name=Wu>Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", ''Mathematics Magazine'' 77(3), June 2004, p. 189.</ref><br />
<math display=block>\begin{align}<br />
\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
- \frac{\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\arccot x + \arccot \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
\frac{3\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\end{align}</math><br />
<math display=block>\arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ and } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x</math><br />
<math display=block>\arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ and } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x</math><br />
<br />
== चर के बिना पहचान ==<br />
<br />
आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन के संदर्भ में हमारे पास है<ref name=Wu/><br />
<math display="block">\arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
<br />
The curious identity known as [[Morrie's law]],<br />
<math display="block">\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ = \frac{1}{8},</math><br />
<br />
is a special case of an identity that contains one variable:<br />
<math display="block">\prod_{j=0}^{k-1}\cos\left(2^j x\right) = \frac{\sin\left(2^k x\right)}{2^k\sin x}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}</math><br />
is a special case of an identity with <math>x = 20^\circ</math>:<br />
<math display="block">\sin x \cdot \sin \left(60^\circ - x\right) \cdot \sin \left(60^\circ + x\right) = \frac{\sin 3x}{4}.</math><br />
<br />
For the case <math>x = 15^\circ</math>,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 45^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
For the case <math>x = 10^\circ</math>,<br />
<math display="block">\sin 10^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 70^\circ = \frac{1}{8}.</math><br />
<br />
The same cosine identity is<br />
<math display="block">\cos x \cdot \cos \left(60^\circ - x\right) \cdot \cos \left(60^\circ + x\right) = \frac{\cos 3x}{4}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\cos 10^\circ\cdot\cos 50^\circ\cdot\cos 70^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 45^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ &= \tan 80^\circ, \\<br />
\tan 40^\circ\cdot\tan 30^\circ\cdot\tan 20^\circ &= \tan 10^\circ.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below):<br />
<math display="block">\cos 24^\circ + \cos 48^\circ + \cos 96^\circ + \cos 168^\circ = \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators:<br />
<math display="block"><br />
\cos \frac{2\pi}{21} +<br />
\cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)<br />
= \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10&nbsp;may start to make the pattern clear: they are those integers less than {{sfrac|21|2}} that are [[Coprime|relatively prime]] to (or have no [[prime factor]]s in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible [[cyclotomic polynomial]]s: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the [[Möbius function]] evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.<br />
<br />
Other cosine identities include:<ref>{{cite journal|last=Humble |first=Steve |title=Grandma's identity |journal=Mathematical Gazette |volume=88 |date=Nov 2004 |pages=524–525 |doi=10.1017/s0025557200176223|s2cid=125105552 }}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
2\cos \frac{\pi}{3} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{5} \times 2\cos \frac{2\pi}{5} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{7} \times 2\cos \frac{2\pi}{7}\times 2\cos \frac{3\pi}{7} &= 1,<br />
\end{align}</math><br />
और सभी विषम संख्याओं के लिए आगे, और इसलिए<br />
<math display="block">\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{7} \times \cos \frac{2\pi}{7} \times \cos \frac{3\pi}{7} + \dots = 1.</math><br />
उन जिज्ञासु पहचानों में से कई निम्नलिखित जैसे सामान्य तथ्यों से उपजी हैं:<ref>{{MathWorld|id=Sine|title=Sine}}</ref><br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math><br />
तथा<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.</math><br />
इनको संयोजन हमें देता है<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \tan\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{\sin\frac{\pi n}{2}}</math><br />
यदि {{mvar|n}} एक विषम संख्या है (<math>n = 2 m + 1</math>) हम प्राप्त करने के लिए समरूपता का उपयोग कर सकते हैं<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{m} \tan\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}</math><br />
बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर के स्थानांतरण फ़ंक्शन को बहुपद और ध्रुवों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।कटऑफ आवृत्ति के रूप में आवृत्ति निर्धारित करके, निम्नलिखित पहचान साबित की जा सकती है:<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^n \sin\frac{\left(2k - 1\right)\pi}{4n} = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} = \frac{\sqrt{2}}{2^n}</math><br />
<br />
<br />
=== कंप्यूटिंग {{pi}} ===<br />
गणना करने का एक कुशल तरीका {{pi}}बड़ी संख्या में अंक माचिन के कारण, चर के बिना निम्नलिखित पहचान पर आधारित है।यह एक मशीन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math><br />
या, वैकल्पिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर की पहचान का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math><br />
या पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\pi = \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{5}{13} + \arccos\frac{16}{65} = \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{12}{13} + \arcsin\frac{63}{65}.</math><br />
दूसरों में शामिल हैं:<ref name=Harris>Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, ''Proofs Without Words'' (1993, Mathematical Association of America), p. 39.</ref><रेफ नाम = वू/><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},</math><br />
<math display="block">\pi = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3,</math><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 2\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
आम तौर पर, संख्याओं के लिए {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub> ∈ (−1, 1)}} जिसके लिए {{math|1=''θ''<sub>''n''</sub> = Σ{{su|b=''k''=1|p=''n''−1}} आर्कन टी<sub>''k''</sub> ∈ (''π''/4, 3''π''/4)}}, let {{math|1=''t''<sub>''n''</sub> = tan(''π''/2 − ''θ''<sub>''n''</sub>) = cot ''θ''<sub>''n''</sub>}}. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} and its value will be in {{math|(−1, 1)}}. In particular, the computed {{math|''t''<sub>''n''</sub>}} will be rational whenever all the {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} मान तर्कसंगत हैं।इन मूल्यों के साथ,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\frac{\pi}{2} & = \sum_{k=1}^n \arctan(t_k) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \sgn(t_k) \arccos\left(\frac{1 - t_k^2}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arcsin\left(\frac{2t_k}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{2t_k}{1 - t_k^2}\right)\,,<br />
\end{align}</math><br />
जहां सभी लेकिन पहली अभिव्यक्ति में, हमने स्पर्शरेखा आधे-कोण के सूत्रों का उपयोग किया है।पहले दो सूत्र काम करते हैं, भले ही एक या एक से अधिक {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} मान भीतर नहीं है {{math|(−1, 1)}}।ध्यान दें कि अगर {{math|1=''t'' = ''p''/''q''}} तर्कसंगत है, तो {{math|(2''t'', 1 − ''t''<sup>2</sup>, 1 + ''t''<sup>2</sup>)}} उपरोक्त सूत्रों में मान पाइथागोरियन ट्रिपल के लिए आनुपातिक हैं {{math|(2''pq'', ''q''<sup>2</sup> − ''p''<sup>2</sup>, ''q''<sup>2</sup> + ''p''<sup>2</sup>)}}।<br />
<br />
उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 3}} शर्तें,<br />
<math display="block">\frac{\pi}{2} = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \arctan\left(\frac{c}{d}\right) + \arctan\left(\frac{bd - ac}{ad + bc}\right)</math><br />
किसी के लिए {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'' > 0}}।<br />
<br />
=== EUCLID की एक पहचान ===<br />
यूक्लिड ने बुक XIII में दिखाया, उसके यूक्लिड के तत्वों के प्रस्ताव 10 | ऐसे तत्व जो एक सर्कल में अंकित एक नियमित पेंटागन के किनारे वर्ग का क्षेत्र नियमित हेक्सागन के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है औरएक ही सर्कल में नियमित रूप से डिकैगन।आधुनिक त्रिकोणमिति की भाषा में, यह कहता है:<br />
<math display="block">\sin^2 18^\circ + \sin^2 30^\circ = \sin^2 36^\circ.</math><br />
टॉलेमी ने इस प्रस्ताव का उपयोग टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्स में कुछ कोणों की गणना करने के लिए किया।<br />
<br />
== त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना ==<br />
इन पहचानों में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है:<ref>[[Abramowitz and Stegun|Milton Abramowitz and Irene Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'']], [[Dover Publications]], New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(t \sin x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \sin x) = 2 \sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(t) \sin\big((2k+1)x\big)</math><br />
:<math>\cos(t \cos x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^kJ_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \cos x) = 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(t) \cos\big((2k+1)x\big)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|J<sub>i</sub>}} बेसेल फ़ंक्शन हैं।<br />
<br />
== केस के लिए आगे की सशर्त पहचान α + γ + = = 180 ° ==<br />
निम्नलिखित सूत्र मनमाने ढंग से विमान त्रिकोणों पर लागू होते हैं और फॉलो करते हैं <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ},</math> जब तक सूत्रों में होने वाले कार्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है (उत्तरार्द्ध केवल उन सूत्रों पर लागू होता है जिसमें स्पर्शरेखा और cotangents होते हैं)।<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\<br />
1 &= \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta \\<br />
\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) &= \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
1 &= \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \\<br />
\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
-\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 \\<br />
-\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) - 1 \\<br />
\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
-\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\<br />
\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 \\<br />
-\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 \\<br />
-\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 \\<br />
-\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2 (2\alpha) + \sin^2 (2\beta) + \sin^2 (2\gamma) &= -2\cos (2\alpha) \cos (2\beta) \cos (2\gamma)+2 \\<br />
\cos^2 (2\alpha) + \cos^2 (2\beta) + \cos^2 (2\gamma) &= 2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) + 1 \\<br />
1 &= \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\beta}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right)<br />
\end{align}</math> 3SINA = 4COS^3 A/2<br />
<br />
== हिस्टोरिकल शॉर्टहैंड्स ==<br />
{{main|Versine|Exsecant}}<br />
नेविगेशन में वर्सिन, कवरिन, हैवरिन और एक्ससेकेंट का उपयोग किया गया था।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए हैवरसिन फॉर्मूला का उपयोग किया गया था।उनका आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।<br />
<br />
== विविध ==<!--इस खंड को उम्मीद है कि यह लेख में वापस किया जाएगा, अगर मैं सामान जाने के लिए एक जगह पर काम कर सकता हूं--><br />
<br />
<br />
=== सभी T-ratios === के बीच संबंध<br />
निम्नलिखित पहचान सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध देती है।<br />
:<math>(\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 -<br />
(\tan\theta + \cot\theta)^2 = 5 </math><br />
<br />
=== डिरिचलेट कर्नेल ===<br />
{{Main|Dirichlet kernel}}<br />
द डिरिचलेट कर्नेल {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'')}} अगली पहचान के दोनों किनारों पर होने वाला कार्य है:<br />
<math display="block">1 + 2\cos x + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)x\right) }{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}.</math><br />
अवधि के किसी भी पूर्ण कार्य का संकल्प <math>2 \pi</math> डिरिचलेट कर्नेल के साथ फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है <math>n</math>Th-degree फूरियर सन्निकटन।किसी भी उपाय या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के लिए समान है।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन ===<br />
{{main|Tangent half-angle substitution}}<br />
अगर हम सेट करते हैं <math display="block">t = \tan\frac x 2,</math> फिर<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.23</ref><br />
<math display="block">\sin x = \frac{2t}{1 + t^2};\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2};\qquad e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math><br />
कहाँ पे <math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math> कभी -कभी & nbsp के लिए संक्षिप्त;{{math|cis ''x''}}।<br />
<br />
जब यह प्रतिस्थापन <math>t</math> के लिये {{math|tan {{sfrac|''x''|2}}}} का उपयोग कैलकुलस में किया जाता है, यह इस प्रकार है <math>\sin x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|2''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}, <math>\cos x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|1 − ''t''<sup>2</sup>|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}} और अंतर {गणित | dx}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {गणित |{{sfrac|2 d''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}।जिससे कोई तर्कसंगत कार्यों को परिवर्तित करता है <math>\sin x</math> तथा <math>\cos x</math> के तर्कसंगत कार्यों के लिए <math>t</math> ताकि उनके एंटिडिवेटिव्स को खोजने के लिए।<br />
<br />
=== विएटे का अनंत उत्पाद ====<br />
{{See also|Viète's formula|Sinc function}}<br />
<math display="block">\cos\frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{4}<br />
\cdot \cos \frac{\theta}{8} \cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos \frac{\theta}{2^n}<br />
= \frac{\sin \theta}{\theta} = \operatorname{sinc} \theta.</math><br />
<!--\ ऑपरेटरनाम {sinc} का उद्देश्य sinc कहना है, पाप नहीं और साइन नहीं।---><br />
<br />
== यह भी देखें ==<br />
{{div col|colwidth=30em}}<br />
* अरिस्टार्चस की असमानता<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव<br />
* सटीक त्रिकोणमितीय मान (साइन में व्यक्त साइन और कोसाइन के मान)<br />
* Exsecant<br />
* अर्ध-साइड फॉर्मूला<br />
* हाइपरबोलिक फंक्शन<br />
* त्रिकोणों के समाधान के लिए कानून:<br />
** कोसाइन का कानून<br />
*** कोसाइन का गोलाकार कानून<br />
** सिन का नियम<br />
** स्पर्शरेखा का कानून<br />
** कॉटेन्जेंट्स का कानून<br />
** मोलवाइड का सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची<br />
* त्रिकोणमिति में mnemonics<br />
* पेंटाग्रामा मिरिकम<br />
* त्रिकोणमितीय पहचान के प्रमाण<br />
* प्रोस्थैफेरेसिस<br />
* पाइथागोरस प्रमेय<br />
* स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय संख्या<br />
* त्रिकोणमिति<br />
* वास्तविक कट्टरपंथियों में व्यक्त त्रिकोणमितीय स्थिरांक<br />
* त्रिकोणमिति का उपयोग<br />
* वर्सिन और हैवरसिन<br />
{{div col end}}<br />
<br />
==संदर्भ==<br />
{{reflist|30em}}<br />
<br />
==ग्रन्थसूची==<br />
{{Refbegin}}<br />
* {{Cite book|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|year=1972|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra }}<br />
* {{ citation|last1 = Nielsen|first1 = Kaj L.|title = Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places|edition = 2nd|location = New York|publisher = [[Barnes & Noble]]|year = 1966|lccn = 61-9103 }}<br />
* {{citation|editor-first=Samuel M.|editor-last=Selby|title=Standard Mathematical Tables|publisher=The Chemical Rubber Co.|year=1970|edition=18th}}<br />
{{Refend}}<br />
<br />
==बाहरी संबंध==<br />
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]<br />
* [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A4%B9%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A5%82%E0%A4%9A%E0%A5%80&diff=36257त्रिकोणमितीय पहचान की सूची2022-07-06T04:19:19Z<p>Revathy: Created page with "{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}} {{Trigonometry}} त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पह..."</p>
<hr />
<div>{{short description|Equalities that involve trigonometric functions}}<br />
{{Trigonometry}}<br />
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।<br />
<br />
जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।<br />
<br />
== पाइथागोरियन पहचान ==<br />
{{Main|Pythagorean trigonometric identity}}<br />
[[File:Trigonometric functions and their reciprocals on the unit circle.svg|thumb|400px|यूनिट सर्कल पर कठोरतापूर्ण कार्य और उनके पारस्परिक।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है <गणित> 1 + \ cot^2 \ theta = \ csc^2 \ theta </math>, और लाल त्रिभुज से पता चलता है कि <math> \ tan^2 \ theta + 1 = \ sec^2 \ theta </Math>।]]<br />
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:<br />
<br />
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math><br />
कहाँ पे <math>\sin^2 \theta</math> साधन <math>(\sin \theta)^2</math> तथा <math>\cos^2 \theta</math> साधन <math>(\cos \theta)^2.</math><br />
इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है <math>x^2 + y^2 = 1</math> यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\<br />
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.<br />
\end{align}</math><br />
जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है <math>\theta.</math><br />
इस पहचान को विभाजित करना <math>\sin^2 \theta</math>, <math>\cos^2 \theta</math>, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:<br />
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta</math><br />
:<math>\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta</math><br />
:<math>\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta</math><br />
इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"<br />
|+ Each trigonometric function in terms of each of the other five.<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref><br />
! in terms of<br />
! scope="col"|<math>\sin \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\csc \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cos \theta</math><br />
! scope="col" |<math>\sec \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\tan \theta</math><br />
! scope="col"|<math>\cot \theta</math><br />
|-<br />
! <math>\sin \theta =</math><br />
| <math>\sin \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\csc \theta =</math><br />
| <math>\frac{1}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\csc \theta</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cos \theta =</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}</math><br />
| <math>\cos \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\sec \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}</math><br />
|-<br />
! <math>\sec \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center><br />
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\sec \theta</math><br />
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\tan \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\tan \theta</math><br />
| <math>\frac{1}{\cot \theta}</math><br />
|-<br />
! <math>\cot \theta =</math><br />
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}</math><br />
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}</math><br />
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}</math><br />
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}</math><br />
| <math>\frac{1}{\tan \theta}</math><br />
| <math>\cot \theta</math><br />
|}<br />
<br />
== प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता ==<br />
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।<br />
<br />
=== प्रतिबिंब ===<br />
[[File:Unit Circle - symmetry.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि कोण एक-चौथाई PI (45 डिग्री) की वृद्धि में परिलक्षित होता है, इसलिए निर्देशांक रूपांतरित होते हैं।एक -चौथाई पीआई (45 डिग्री, या 90 - थीटा) के परिवर्तन के लिए, निर्देशांक (बी, ए) में बदल जाते हैं।एक-चौथाई PI (90 डिग्री कुल, या 180-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, b) में बदल देती है।एक और एक-चौथाई PI (135 डिग्री कुल, या 270-थीटा) द्वारा प्रतिबिंब के कोण का तीसरा वेतन निर्देशांक को (-b, -a) में बदल देता है।एक-चौथाई पीआई (180 डिग्री कुल, या 360-थीटा) का अंतिम वेतन वृद्धि निर्देशांक को (ए,-बी) में बदल देता है। निर्देशांक का परिवर्तन (ए, बी) जब प्रतिबिंब कोण को शिफ्ट करते हुए <गणित> \ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ अल्फा </ alphaगणित> <गणित> \ frac {\ pi} {4} </math> की वृद्धि में।]]<br />
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है <math>\theta,</math> यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है <math>x</math>-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>x</math>-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) <math>\theta</math> दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है <math>\alpha,</math> फिर दिशा कोण <math>\theta^{\prime}</math> इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है<br />
<math display="block">\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.</math><br />
इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान <math>\theta,\;\theta^{\prime}</math> विशिष्ट कोणों के लिए <math>\alpha</math> सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है {{em|reduction formulae}}.<ref>{{harvnb|Selby|1970|loc=p. 188}}</ref><br />
<br />
<br />
| class = wikitable style = पृष्ठभूमि-रंग: #ffffff<br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = 0</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13–15</ref><br/> <span style = font-weight: सामान्य> विषम/यहाँ तक कि पहचान </span><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \frac{3\pi}{4}</math><br />
तू <math>\theta</math> झलक देना <math>\alpha = \pi</math><br/> <स्पैन स्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: नॉर्मल> तुलना करें <math>\alpha = 0</math></span><br />
---<br />
|<math>\sin(-\theta) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) =\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\pi - \theta) = +\sin \theta</math><br />
|<math>\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) =-\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta) = \sin(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cos(-\theta) =+ \cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(2\pi - \theta) = +\cos(\theta) = \cos(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\tan(-\theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta</math><br />
|<math>\tan\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(2\pi - \theta) = -\tan(\theta) = \tan(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\csc(-\theta) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\pi - \theta) =+ \csc \theta</math><br />
|<math>\csc\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(2\pi - \theta) = -\csc(\theta) = \csc(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\sec(-\theta) = +\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\pi - \theta) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(2\pi - \theta) = +\sec(\theta) = \sec(-\theta)</math><br />
---<br />
|<math>\cot(-\theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta</math><br />
|<math>\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\cot\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = +\tan \theta</math><br />
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math><br />
|}<br />
<br />
=== शिफ्ट और आवधिकता ===<br />
[[File:Unit Circle - shifts.svg|thumb|right|upright=1.5|alt=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates ए, बी)।चूंकि स्वेप्ट एंगल को एक-आधा पीआई (90 डिग्री) द्वारा बढ़ाया जाता है, इसलिए निर्देशांक को (-b, ए) में बदल दिया जाता है।एक-आधा पीआई (180 डिग्री कुल) की एक और वृद्धि निर्देशांक को (-a, -b) में बदल देती है।एक-आधा पीआई (270 डिग्री कुल) की एक अंतिम वृद्धि निर्देशांक को (बी, ए) में बदल देती है।> \ frac {\ pi} {2} </math>।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Shift by one quarter period<br />
!Shift by one half period<br />
!Shift by full periods<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7–9</ref><br />
!Period<br />
|-<br />
|<math>\sin(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\cos \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math><br />
|<math>\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sin \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cos(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\sin \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math><br />
|<math>\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = +\cos \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\csc(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \pm\sec \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math><br />
|<math>\csc(\theta + k\cdot 2\pi) = +\csc \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\sec(\theta \pm \tfrac{\pi}{2}) = \mp\csc \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math><br />
|<math>\sec(\theta + k\cdot 2\pi) = +\sec \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>2\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\tan(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta}</math><br />
|<math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\cot \theta</math><br />
|<math>\tan(\theta + k\cdot \pi) = +\tan \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|-<br />
|<math>\cot(\theta \pm \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta}</math><br />
|<math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\tan\theta</math><br />
|<math>\cot(\theta + k\cdot \pi) = +\cot \theta</math><br />
|style="text-align: center;"|<math>\pi</math><br />
|}<br />
<br />
== कोण योग और अंतर पहचान ==<br />
{{see also|Proofs of trigonometric identities#Angle sum identities|Small-angle approximation#Angle sum and difference}}<br />
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|right|thumb|225px|तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्र का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।]]<br />
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है {{em|angle addition and subtraction theorems}} (या {{em|formulae}})।<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\<br />
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ <br />
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta <br />
\end{align}</math><br />
इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" <br />
! Sine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sin(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! Cosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cos(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref><br />
|-<br />
! Tangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\tan(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref><br />
|-<br />
!Cosecant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\csc(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.milefoot.com/math/trig/22anglesumidentities.htm|title=Angle Sum and Difference Identities|website=www.milefoot.com|access-date=2019-10-12}}</ref><br />
|-<br />
! Secant<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\sec(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta}{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta}</math><ref name=":0" /><br />
|-<br />
! Cotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\cot(\alpha \pm \beta)</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.19</ref><br />
|-<br />
! Arcsine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arcsin x \pm \arcsin y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.32</ref><br />
|-<br />
! Arccosine<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccos x \pm \arccos y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccos\left(xy \mp \sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.33</ref><br />
|-<br />
! Arctangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arctan x \pm \arctan y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arctan\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.34</ref><br />
|-<br />
! Arccotangent<br />
| colspan="3" style='border-style: solid none solid solid; text-align: right;' |<math>\arccot x \pm \arccot y</math><br />
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |<math>=</math><br />
| style='border-style: solid solid solid none; text-align: left;' |<math>\arccot\left(\frac{xy \mp 1}{y \pm x}\right)</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन ===<br />
जब श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> तब बिल्कुल परिवर्तित होता है<br />
:<math>\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)</math><br />
:<math>\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)<br />
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.</math><br />
क्योंकि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty \theta_i</math> बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,</math> <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,</math> तथा <math display="inline">\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.</math> विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।<br />
<br />
जब केवल कई कोणों के कई <math>\theta_i</math> नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा और sums के cotangents ===<br />
होने देना <math>e_k</math> (के लिये <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>) बनो {{mvar|k}}चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद<br />
<math display="block">x_i = \tan \theta_i</math><br />
के लिये <math>i = 0, 1, 2, 3, \ldots,</math> वह है,<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
e_0 & = 1 \\[6pt]<br />
e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt]<br />
e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]<br />
e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\<br />
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots<br />
\end{align}<br />
</math><br />
फिर<br />
:<math>\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}<br />
\\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2}<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} ~~<br />
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}<br />
\prod_{i \in A} \tan\theta_i}<br />
= \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}<br />
\\<br />
\cot\left(\sum_i \theta_i\right)<br />
& = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}<br />
\end{align}</math><br />
ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।<br />
<br />
दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए:<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2) &<br />
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }<br />
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },<br />
\\[8pt]<br />
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &<br />
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &<br />
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },<br />
\end{align}</math><br />
और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।<ref>{{cite conference |last=Bronstein |first=Manuel |title=Simplification of real elementary functions |pages=207–211 |doi=10.1145/74540.74566 |book-title=Proceedings of the ACM-[[SIGSAM]] 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |editor-first= G. H. |editor-last=Gonnet |conference=ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07) |location=New York |publisher=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |year=1989 |isbn=0-89791-325-6}}</ref><br />
<br />
=== Secant और cosecant of sums ===<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]<br />
\csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}<br />
\end{align}</math><br />
कहाँ पे <math>e_k</math> है {{mvar|k}}में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद {{mvar|n}} चर <math>x_i = \tan \theta_i,</math> <math>i = 1, \ldots, n,</math> और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।<ref>{{cite journal|journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 2016|author=Michael Hardy|title=On Tangents and Secants of Infinite Sums|volume=123|issue=7|pages=701–703|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.701|s2cid=126310545|url=https://zenodo.org/record/1000408}}</ref> केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।<br />
<br />
उदाहरण के लिए,<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]<br />
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== टॉलेमी का प्रमेय ===<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating the relation between Ptolemy's theorem and the angle sum trig identity for sin.svg|thumb|400px|आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।]]<br />
<br />
<br />
{{main|Ptolemy's theorem}}<br />
ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में <math>ABCD</math>, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref> संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।<br />
<br />
थेल्स के प्रमेय द्वारा, <math> \angle DAB</math> तथा <math> \angle DCB</math> दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण <math>DAB</math> तथा <math>DCB</math> दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं <math>\overline{BD}</math> लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष <math>\overline{AB} = \sin \alpha</math>, <math>\overline{AD} = \cos \alpha</math>, <math>\overline{BC} = \sin \beta</math> तथा <math>\overline{CD} = \cos \beta</math>।<br />
<br />
उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया <math>\overline{AC}</math> सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है <math> \angle ADC</math>, अर्थात। <math>2(\alpha + \beta)</math>।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है <math>\alpha + \beta</math> केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है <math>\frac{1}{2}</math>, तो की लंबाई <math>\overline{AC}</math> है <math>2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)</math>, यानी बस <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है <math>\sin(\alpha + \beta)</math>।<br />
<br />
जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है <math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|</math>, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: <math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta </math>।के लिए कोण अंतर सूत्र <math> \sin(\alpha - \beta)</math> पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है <math>\overline{CD}</math> के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें <math>\overline{BD}</math>.<ref>{{cite web | url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | title=Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem }}</ref><br />
<br />
== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ==<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"<br />
|-<br />
! {{mvar|T<sub>n</sub>}} is the {{mvar|n}}th [[Chebyshev polynomials|Chebyshev polynomial]]<br />
| <math>\cos (n\theta) = T_n (\cos \theta )</math><ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><br />
|-<br />
! [[de Moivre's formula]], {{mvar|i}} is the [[imaginary unit]]<br />
| <math>\cos (n\theta) +i\sin (n\theta)=(\cos \theta +i\sin \theta)^n</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.48</ref><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला ===<br />
<br />
==== डबल-एंगल फॉर्मूला ====<br />
[[File:Visual demonstration of the double-angle trigonometric identity for sine.svg|thumb|400px|साइन के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला का isual प्रदर्शन।क्षेत्र, {{sfrac | 1 | 2}} × बेस × ऊंचाई, एक समद्वियों में त्रिभुज की गणना की जाती है, पहले जब ईमानदार, और फिर उसके पक्ष में।जब सीधा, क्षेत्र = <गणित> \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।जब इसकी तरफ, क्षेत्र = {{sfrac | 1 | 2}} <Math> \ sin 2 \ theta </math>।त्रिभुज को घुमाने से उसका क्षेत्र नहीं बदलता है, इसलिए ये दो भाव समान हैं।इसलिए, <गणित> \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।]]<br />
दो बार एक कोण के लिए सूत्र।<ref name=STM1>{{harvnb|Selby|1970|loc=pg. 190}}</ref><br />
:<math>\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
:<math>\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
:<math>\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}</math><br />
<br />
==== ट्रिपल-कोण सूत्र ====<br />
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।<ref nAme = stm1 /><br />
:<math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)</math><br />
:<math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
:<math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math><br />
:<math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math><br />
<br />
==== मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र ====<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}<br />
\cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\<br />
{}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\<br />
\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =<br />
\sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\<br />
\cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\<br />
\cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)<br />
\end{align}</math><br />
:<math><br />
\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}<br />
</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-06|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><br />
<br />
==== Chebyshev विधि ====<br />
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है {{mvar|n}}Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला <math>(n-1)</math>वें और <math>(n-2)</math>वें मान।<ref>{{cite web|last=Ward|first=Ken|website=Ken Ward's Mathematics Pages|title=Multiple angles recursive formula|url=http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm}}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\cos((n-1)x)</math>, <math>\cos((n-2)x)</math>, तथा <math>\cos(x)</math> साथ<br />
<br />
:<math>\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>।<br />
<br />
यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है<br />
<br />
:<math>\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
:<math>\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x</math><br />
यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि <math>\cos(nx)</math> का एक बहुपद है <math>\cos x,</math> पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।<br />
<br />
इसी तरह, <math>\sin(nx)</math> से गणना की जा सकती है <math>\sin((n-1)x)</math>, <math>\sin((n-2)x)</math>, तथा {{math|cos(''x'')}} साथ<br />
:<math>\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)</math><br />
यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है <math>\sin((n-1)x+x)</math> तथा <math>\sin((n-1)x-x)</math>।<br />
<br />
Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:<br />
<br />
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.</math><br />
<br />
=== आधा-कोण सूत्र ===<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]<br />
<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \csc \theta - \cot \theta<br />
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]<br />
<br />
&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}<br />
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]<br />
<br />
\cot \frac{\theta}{2}<br />
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}<br />
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}<br />
= \csc \theta + \cot \theta<br />
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><REF NAME = MATHWORLD_HALF_ANGLE>{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref><br />
<br />
भी<br />
:<math>\begin{align}<br />
\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} <br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== तालिका ===<br />
<!--डबल-एंगल फॉर्मूला, डबल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला, हाफ-एंगल फॉर्मूला, और हाफ-एंगल फॉर्मूला रीडायरेक्ट यहां --><br />
{{see also|Tangent half-angle formula}}<br />
इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"<br />
! !! Sine !! Cosine !! Tangent !! Cotangent<br />
|-<br />
! Double-angle formula<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24–26</ref><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (2\theta) &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\<br />
&= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (2\theta) &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\<br />
&= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ <br />
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\<br />
&= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math><br />
| <math>\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}</math><br />
|-<br />
! Triple-angle formula<ref name="mathworld_multiple_angle"/><ref name="Stegun p. 72, 4">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27–28</ref><br />
| <math>\begin{align}<br />
\sin (3\theta) &= - \sin^3\theta + 3 \cos^2\theta \sin\theta\\<br />
&= - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\cos (3\theta) &= \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\<br />
&= 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}</math><br />
| <math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math><br />
|-<br />
! Half-angle formula<ref name="ReferenceA"/><ref name="mathworld_half_angle"/><br />
| <math>\begin{align}<br />
&\sin \frac{\theta}{2} = \sgn(A) \, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\ \\<br />
&\text{where }A = 2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \\ \\<br />
&\left(\text{or }\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
&\cos \frac{\theta}{2} = \sgn(B)\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\ \\<br />
&\text{where }B = \pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \\ \\<br />
&\left(\text{or } \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
| <math>\begin{align}<br />
\tan \frac{\theta}{2}<br />
&= \csc \theta - \cot \theta \\<br />
&= \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt]<br />
&= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt]<br />
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \\[5pt]<br />
\tan\frac{\eta + \theta}{2} &= \frac{\sin\eta + \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[5pt]<br />
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[5pt]<br />
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}<br />
&= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\ left | 1 + \ tan \ frac {\ theta} {2} \ Right |<br />
\ tan \ frac {\ theta} {2} & = \ frac {\ tan \ theta} {1 + \ sqrt {1 + \ tan^2 \ theta}}} \\<br />
& \ text {}} \ theta \ _ in \ _ लेफ्ट (-\ tfrac {\ pi} {2}, \ tfrac {\ pi} {2} \ _ राइट)<br />
\ अंत {संरेखित} </गणित><br />
| <br />
गणित> \ _ {संरेखित} शुरू करें<br />
\ cot \ frac {\ theta} {2}<br />
& = \ csc \ theta + \ cot \ theta \\<br />
& = \ pm \, \ sqrt \ frac {1 + \ cos \ theta} {1 - \ cos \ theta} \\ [3pt]<br />
& = \ frac {\ sin \ theta} {1 - \ cos \ theta} \\ [4pt]<br />
& = \ frac {1 + \ cos \ theta} {\ sin \ theta}<br />
\ अंत {संरेखित} </गणित><br />
|}<br />
तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। {{citation needed|date=November 2021}}<br />
एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है {{math|1=4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' + ''d'' = 0}}, कहाँ पे <math>x</math> एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और {{mvar|d}} पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।<br />
<br />
== पावर-रिडक्शन फॉर्मूला ==<br />
<br />
कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sine<br />
!Cosine<br />
!Other<br />
|-<br />
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2}</math><br />
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos (3\theta)}{4}</math><br />
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin (2\theta) - \sin (6\theta)}{32}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos (2\theta) + \cos (4\theta)}{8}</math><br />
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos (4\theta) + \cos (8\theta)}{128}</math><br />
|-<br />
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin (3\theta) + \sin (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos (3\theta) + \cos (5\theta)}{16}</math><br />
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin (2\theta) - 5\sin (6\theta) + \sin (10\theta)}{512}</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reduction formula for cosine.svg|thumb|350px|ओसिन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।लाल, नारंगी और नीले रंग के त्रिकोण सभी समान हैं, और लाल और नारंगी त्रिकोण बधाई हैं।हाइपोटेनस <गणित> \ _ {विज्ञापन} </गणित> नीले त्रिभुज की लंबाई <गणित> 2 \ cos \ theta </math> है।कोण <मठ> \ कोण dae </math> is <math> \ theta </math> है, इसलिए आधार <math> \ _ \ {ae} </math> की उस त्रिभुज की लंबाई है <गणित> 2 \ cos^2 \ theta </Math>।यह लंबाई <गणित> \ _ ओवरलाइन {bd} </math> और <math> \ _ ओवरलाइन {af} </math>, अर्थात् <math> 1 + \ cos (2 \ theta) <\ _ {\ _} </math> के बराबर है।/गणित>।इसलिए, <गणित> 2 \ cos^2 \ theta = 1 + \ cos (2 \ theta) </math>, जब दोनों पक्षों को <Math> 2 </Math> द्वारा विभाजित किया जाता है, तो शक्ति-घटाने के सूत्र की उपज।Cosine के लिए आधा-कोण सूत्र <Math> \ theta </Math> को <Math> \ theta/2 </Math> के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है।]]<br />
<br />
<br />
[[File:Diagram showing how to derive the power reducing formula for sine.svg|thumb|350px|INE पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक चित्रण आरेख। छायांकित नीले और हरे रंग के त्रिकोण, और लाल-आउटलाइन त्रिभुज <मैथ> ईबीडी </गणित> सभी सही-कोण और समान हैं, और सभी में कोण <गणित> \ theta </math> शामिल हैं। हाइपोटेन्यूज़ <मठ> \ _ ओवरलाइन {bd} </math> की लाल-आउटलाइन त्रिभुज की लंबाई <गणित> 2 \ sin \ theta </math> है, इसलिए इसका पक्ष <Math> \ _ {{de} </Math> लंबाई <गणित> 2 \ sin^2 \ theta </math> है। लाइन सेगमेंट <मैथ> \ _ ओवरलाइन {ae} </math> की लंबाई <math> \ cos 2 \ theta </math> और <math> \ _ {ae} </math> और <math की लंबाई का योग है। > \ ओवरलाइन {de} </math> <गणित की लंबाई के बराबर है <गणित> \ overline {ad} </math>, जो 1. इसलिए है, <Math> \ cos 2 \ theta + 2 \ sin^2 \ theta = 1 </गणित>। दोनों पक्षों से <Math> \ cos 2 \ theta </Math> को घटाकर दो से दो से विभाजित करना साइन के लिए पावर-रिडक्शन फॉर्मूला पैदा करता है। साइन के लिए आधा-कोण सूत्र <गणित> \ theta </math> को <th> \ theta/2 </math> के साथ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट लेने के साथ प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह आंकड़ा भी दिखाता है, ऊर्ध्वाधर रेखा खंड में <गणित> \ _ {eb} </math>, कि <math> \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta </math>।]]<br />
की शक्तियों के सामान्य शब्दों में <math>\sin \theta</math> या <math>\cos \theta</math> निम्नलिखित सत्य है, और डी मोइवरे के फॉर्मूला, यूलर के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके कटौती की जा सकती है {{citation needed|date=November 2014}}।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
! <br />
!Cosine<br />
!Sine<br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is odd}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
!<math>\text{if }n\text{ is even}</math><br />
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)\theta\big)}</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान ==<!--इस खंड के लिए लहर लिंक लिंक -->उत्पाद-टू-सम पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ के पक्षों का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था।<ref>{{Cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |date=1990 |publisher=Saunders College Pub |isbn=0-03-029558-0 |edition=6th |location=Philadelphia |page=309 |oclc=20842510}}</ref> उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Product-to-sum<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31–33</ref><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math><br />
|-<br />
| <math>\tan \theta \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}</math><br />
|-\<br />
| <math>\begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \theta_k & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n) \\[6pt]<br />
& \text{where }e = (e_1,\cdots,e_n) \in S=\{1,-1\}^n<br />
\end{align}<br />
</math><br />
|-\<br />
|<math><br />
\prod_{k=1}^n \sin\theta_k=\frac{(-1)^{\lfloor\frac<br />
{n}{2}\rfloor}}{2^n}\begin{cases}<br />
\sum_{e\in S}\cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is even},\\<br />
\sum_{e\in S}\sin(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is odd}<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
[[File:Diagram illustrating sum to product identities for sine and cosine.svg|thumb|400px|Iagram साइन और कोसाइन के लिए सम-टू-प्रोडक्ट पहचान को चित्रित करता है। ब्लू राइट-एंगल्ड त्रिभुज में कोण <गणित> \ theta </math> और लाल दाहिने-कोण वाले त्रिभुज में कोण <math> \ varphi </math> है। दोनों की लंबाई का एक हाइपोटेन्यूस है। सहायक कोण, यहां <मैथ> पी </गणित> और <मैथ> क्यू </गणित> कहा जाता है, इस तरह का निर्माण किया जाता है कि <मैथ> पी = (\ theta+\ varphi)/2 <//<//</ गणित> और <गणित> q = (\ theta- \ varphi)/2 </math>। इसलिए, <ath> \ theta = p+q </math> और <math> \ varphi = p-q </math>। यह दो बधाई बैंगनी-आउटलाइन त्रिकोण <गणित> afg </math> और <math> fce </math> का निर्माण करने की अनुमति देता है, प्रत्येक के साथ hypotenuse <math> \ cos q </math> और कोण <math> p <<<p <<<p <<<math> p < /गणित> उनके आधार पर। लाल और नीले त्रिकोणों की ऊंचाइयों का योग <गणित> \ sin \ theta + \ sin \ varphi </math> है, और यह एक बैंगनी त्रिभुज की ऊंचाई से दोगुना है, अर्थात् <गणित> 2 \ sin p \ cos q </math>। लिखना <ath> p </math> और <ath> q </math> उस समीकरण में <math> \ theta </math> और <math> \ varphi </math> के संदर्भ में सम-टू-प्रोडक्ट की पैदावार साइन के लिए पहचान। इसी तरह, लाल और नीले त्रिकोणों की चौड़ाई का योग कोसाइन के लिए संबंधित पहचान पैदा करता है।]]<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"<br />
!Sum-to-product<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34–39</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan\theta\pm\tan\varphi=\frac{\sin(\theta\pm \varphi)}{\cos\theta\cos\varphi}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
=== हरमाइट की कोटेंट पहचान ===<br />
{{main|Hermite's cotangent identity}}<br />
चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया।<ref>{{cite journal|first=Warren P. |last=Johnson |title=Trigonometric Identities à la Hermite |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=117 |issue=4 |date=Apr 2010 |pages=311–327 |doi=10.4169/000298910x480784|s2cid=29690311 }}</ref> मान लीजिए <math>a_1, \ldots, a_n</math> जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;{{pi}}।होने देना<br />
<br />
:<math>A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)</math><br />
(विशेष रूप से, <math>A_{1,1},</math> एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).</math><br />
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;{{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;2}}:<br />
<br />
:<math>\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).</math><br />
<br />
=== त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद ===<br />
<br />
कोपरीट पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, {{mvar|m}}<br />
:<math>\prod_{k=1}^n \left(2a + 2\cos\left(\frac{2 \pi k m}{n} + x\right)\right) = 2\left( T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(n x) \right)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|T<sub>n</sub>}} चेबीशेव बहुपद है।<br />
<br />
निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है<br />
<br />
:<math>\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.</math><br />
आम तौर पर अधिक<ref>{{cite web |title=Product Identity Multiple Angle |url=https://math.stackexchange.com/q/2095330 }}</ref><br />
<br />
<br />
<math>\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right).</math><br />
<br />
== रैखिक संयोजन ==<br />
कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में <math>c</math> तथा <math>\varphi</math>।<br />
<br />
=== साइन और कोसाइन ===<br />
साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,<ref>Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.</ref><REF नाम = REFERENTB>{{MathWorld|id=HarmonicAdditionTheorem|title=Harmonic Addition Theorem}}</ref><br />
<br />
:<math>a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> इस के रूप में परिभाषित किया गया है:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c &= \sgn(a) \sqrt{a^2 + b^2}, \\<br />
\varphi &= \operatorname{arctan} \left(-\frac{b}{a}\right),<br />
\end{align}</math><br />
मान लें कि <math>a \neq 0.</math><br />
<br />
=== मनमाना चरण शिफ्ट ===<br />
आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है<br />
<br />
:<math>a \sin(x + \theta_a) + b \sin(x + \theta_b)= c \sin(x+\varphi)</math><br />
कहाँ पे <math>c</math> तथा <math>\varphi</math> संतुष्ट करना:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
c^2 &= a^2 + b^2 + 2ab\cos \left(\theta_a - \theta_b \right) , \\<br />
\tan \varphi &= \frac{a \sin \theta_a + b \sin \theta_b}{a \cos \theta_a + b \cos \theta_b}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== दो से अधिक साइनसोइड्स ===<br />
{{See also|phasor (sine waves)#Addition|label1=Phasor addition}}सामान्य मामला पढ़ता है<ref name = संदर्भ /><br />
:<math>\sum_i a_i \sin(x + \theta_i) = a \sin(x + \theta),</math><br />
कहाँ पे<br />
:<math>a^2 = \sum_{i,j}a_i a_j \cos(\theta_i - \theta_j)</math><br />
तथा<br />
:<math>\tan\theta = \frac{\sum_i a_i \sin\theta_i}{\sum_i a_i \cos\theta_i}.</math><br />
<br />
== Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान ==<br />
जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है:<ref name=Muniz>{{cite journal |first=Eddie |last=Ortiz Muñiz |date=Feb 1953 |volume=21 |number=2 |title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities |journal=American Journal of Physics |page=140 | doi=10.1119/1.1933371 | bibcode=1953AmJPh..21..140M }}</ref><ref>{{cite book |title=Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems | edition=illustrated |first1=Ravi P. |last1=Agarwal |first2=Donal |last2=O'Regan |publisher=Springer Science & Business Media |year=2008 |isbn=9780387791463 |page=185 |url=https://books.google.com/books?id=jWvAfcNnphIC}} [https://books.google.com/books?</ref><ref>{{cite book |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |first1=Alan |last1=Jeffrey |first2=Hui-hui |last2=Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=978-0-12-374288-9 |year=2008 |publisher=Academic Press}}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sum_{k=0}^n \sin k\theta & = \frac{\cos \tfrac12\theta - \cos\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}\\[5pt]<br />
\sum_{k=0}^n \cos k\theta & = \frac{\sin \tfrac12\theta + \sin\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}<br />
\end{align}</math><br />
के लिये <math>\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.</math><br />
एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:<br />
<br />
<math display="block">D_n(\theta) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta<br />
= \frac{\sin\left(\left(n + \tfrac12 \right)\theta\right)}{\sin \tfrac12 \theta}.</math><br />
<br />
== कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन ==<br />
यदि <math>f(x)</math> Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन<br />
<math display="block">f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},</math><br />
और इसी तरह<br />
<math display="block">g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},</math><br />
फिर<br />
<math display="block">f\big(g(x)\big) = g\big(f(x)\big)<br />
= \frac{\big(\cos(\alpha+\beta)\big)x - \sin(\alpha+\beta)}{\big(\sin(\alpha+\beta)\big)x + \cos(\alpha+\beta)}.</math><br />
अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए <math>\alpha</math> हम जाने <math>f_{\alpha}</math> जिसे हमने बुलाया <math>f</math> ऊपर, फिर<br />
<math display="block">f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}.</math><br />
यदि <math>x</math> एक पंक्ति का ढलान है, फिर <math>f(x)</math> एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है <math>- \alpha.</math><br />
<br />
== जटिल घातीय कार्य से संबंध ==<br />
{{main|Euler's formula}}<br />
Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.47</ref><br />
<math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math><br />
जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है:<br />
<math display="block">e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.</math><br />
इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से,<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.2</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 71, 4.3.1</ref><br />
<math display="block">\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math><br />
<math display="block">\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}</math><br />
ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह<br />
{{math|1=''e''<sup>''i''(''θ''+''φ'')</sup> = ''e''<sup>''iθ''</sup> ''e''<sup>''iφ''</sup>}} मतलब कि<br />
{{block indent|em=1.5|text={{math|1=cos(''θ'' + ''φ'') + ''i'' sin(''θ'' + ''φ'') = (cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'') (cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'') = (cos ''θ'' cos ''φ'' − sin ''θ'' sin ''φ'') + ''i'' (cos ''θ'' sin ''φ'' + sin ''θ'' cos ''φ'')}}।}}<br />
बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।<br />
<br />
निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"<br />
!Function<br />
!Inverse function<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.26–31</ref><br />
|-<br />
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}</math><br />
|<math>\arcsin x = -i\, \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}</math><br />
|<math>\arccos x = -i\,\ln\left(x+\,\sqrt{x^2-1}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\tan \theta = -i\, \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccsc x = -i\, \ln \left(\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arcsec x = -i\, \ln \left(\frac{1}{x} +i \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)</math><br />
|-<br />
|<math>\cot \theta = i\, \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}</math><br />
|<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right)</math><br />
|-<br />
! colspan="2"|<br />
|-<br />
|[[cis (mathematics)|<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>]]<br />
|<math>\operatorname{arccis} x = -i \ln x</math><br />
|}<br />
<br />
== अनंत उत्पाद सूत्र ==<br />
विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;75, 4.3.89–90</ref><Ref> Abramowitz और Stegun, p। & nbsp; 85, 4.5.68–69</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cos x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \\<br />
\sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) &<br />
\cosh x &= \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
== उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ==<br />
{{main|Inverse trigonometric functions}}<br />
निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 73, 4.3.45}}</ref><br />
<br />
<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक><br />
\ _ शुरू {संरेखित}<br />
\ sin (\ arcsin x) & = x<br />
& \ cos (\ arcsin x) & = \ sqrt {1-x^2}<br />
& \ tan (\ arcsin x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}<br />
\\<br />
\ sin (\ arccos x) & = \ sqrt {1-x^2}<br />
& \ cos (\ arccos x) & = x<br />
& \ tan (\ arccos x) & = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x}<br />
\\<br />
\ sin (\ arctan x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ cos (\ arctan x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ tan (\ arctan x) & = x<br />
\\<br />
\ sin (\ arccsc x) & = \ frac {1} {x}<br />
& \ cos (\ arccsc x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}<br />
& \ tan (\ arccsc x) & = \ frac {1} {\ sqrt {x^2 - 1}}}<br />
\\<br />
\ sin (\ arcsec x) & = \ frac {\ sqrt {x^2 - 1}} {x}<br />
& \ cos (\ arcsec x) & = \ frac {1} {x}<br />
& \ tan (\ arcsec x) & = \ sqrt {x^2 - 1}<br />
\\<br />
\ sin (\ arccot x) & = \ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ cos (\ arccot x) & = \ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}}<br />
& \ tan (\ arccot x) & = \ frac {1} {x}<br />
\\<br />
\ अंत {संरेखित}<br />
</गणित><br />
<br />
प्रत्येक समीकरण के दोनों किनारों के गुणात्मक व्युत्क्रम को ऊपर के परिणामस्वरूप समीकरणों में परिणाम <br />
Math> \ csc = \ frac {1} {\ sin}, \;गणित><br />
ऊपर के सूत्र के दाहिने हाथ की ओर हमेशा फ़्लिप किया जाएगा।<br />
उदाहरण के लिए, के लिए समीकरण Math> \ cot (\ arcsin x) </math> है:<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ cot (\ arcsin x) = \ frac {1} {\ tan (\ arcsin x)} = \ frac {1} {\ frac {x} {\ sqrt {1 - x^2}}}} = \ frac {\ sqrt {1 - x^2}} {x} </math><br />
जबकि समीकरणों के लिए <br />
गणित> \ csc (\ arccos x) </math> और गणित> \ sec (\ arccos x) </math> हैं:<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ csc (\ arccos x) = \ frac {1} {\ sin (\ arccos x)} = \ frac {1} {\ sqrt {1-X^2}} \ _ qquad \ _ \ _ {और{<br />
<br />
निम्नलिखित पहचान प्रतिबिंब पहचान से निहित हैं।वे जब भी पकड़ते हैं <br />
गणित> x, r, s, -x, -r, \ text {और} -s </math> प्रासंगिक कार्यों के डोमेन में हैं।<br />
गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ {Alignat} {9} शुरू करें<br />
\ frac {\ pi} {2} ~ & = ~ \ rescsin (x) &&+ \ rccos (x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ rccot (r) ~ && = ~ \ _ \ _&&+ \ arccsc (s) \\ [0.4ex]<br />
\ pi ~ & = ~ \ arccos (x) &&+ \ arccos (-x) ~ && = ~ \ arccot (r) &&+ \ rccot (-r) ~ && = ~ \ _ \ _ \ _ \ _ & &&+ \ _-S) \\ [0.4ex]<br />
0 ~ & = ~ \ arcsin (x) &&+ \ arcsin (-x) ~ && = ~ \ arctan (r) &&+ \ arctan (-r) ~ && = ~ \ rccsc (s) &&+ \ rccsc (-s) \\ [1.0EX]<br />
\ अंत {Alignat} </Math><br />
<br />
भी,<ref name=Wu>Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", ''Mathematics Magazine'' 77(3), June 2004, p. 189.</ref><br />
<math display=block>\begin{align}<br />
\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
- \frac{\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\arccot x + \arccot \dfrac{1}{x} <br />
&= \begin{cases} <br />
\frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\<br />
\frac{3\pi}{2}, & \text{if } x < 0 <br />
\end{cases} \\<br />
\end{align}</math><br />
<math display=block>\arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ and } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x</math><br />
<math display=block>\arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ and } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x</math><br />
<br />
== चर के बिना पहचान ==<br />
<br />
आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन के संदर्भ में हमारे पास है<ref name=Wu/><br />
<math display="block">\arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
<br />
The curious identity known as [[Morrie's law]],<br />
<math display="block">\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ = \frac{1}{8},</math><br />
<br />
is a special case of an identity that contains one variable:<br />
<math display="block">\prod_{j=0}^{k-1}\cos\left(2^j x\right) = \frac{\sin\left(2^k x\right)}{2^k\sin x}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}</math><br />
is a special case of an identity with <math>x = 20^\circ</math>:<br />
<math display="block">\sin x \cdot \sin \left(60^\circ - x\right) \cdot \sin \left(60^\circ + x\right) = \frac{\sin 3x}{4}.</math><br />
<br />
For the case <math>x = 15^\circ</math>,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 45^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\sin 15^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
For the case <math>x = 10^\circ</math>,<br />
<math display="block">\sin 10^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 70^\circ = \frac{1}{8}.</math><br />
<br />
The same cosine identity is<br />
<math display="block">\cos x \cdot \cos \left(60^\circ - x\right) \cdot \cos \left(60^\circ + x\right) = \frac{\cos 3x}{4}.</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\cos 10^\circ\cdot\cos 50^\circ\cdot\cos 70^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 45^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\<br />
\cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{1}{4}.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Similarly,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ &= \tan 80^\circ, \\<br />
\tan 40^\circ\cdot\tan 30^\circ\cdot\tan 20^\circ &= \tan 10^\circ.<br />
\end{align}</math><br />
<br />
The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below):<br />
<math display="block">\cos 24^\circ + \cos 48^\circ + \cos 96^\circ + \cos 168^\circ = \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators:<br />
<math display="block"><br />
\cos \frac{2\pi}{21} +<br />
\cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) +<br />
\cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)<br />
= \frac{1}{2}.</math><br />
<br />
The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10&nbsp;may start to make the pattern clear: they are those integers less than {{sfrac|21|2}} that are [[Coprime|relatively prime]] to (or have no [[prime factor]]s in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible [[cyclotomic polynomial]]s: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the [[Möbius function]] evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.<br />
<br />
Other cosine identities include:<ref>{{cite journal|last=Humble |first=Steve |title=Grandma's identity |journal=Mathematical Gazette |volume=88 |date=Nov 2004 |pages=524–525 |doi=10.1017/s0025557200176223|s2cid=125105552 }}</ref><br />
<math display="block">\begin{align}<br />
2\cos \frac{\pi}{3} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{5} \times 2\cos \frac{2\pi}{5} &= 1, \\<br />
2\cos \frac{\pi}{7} \times 2\cos \frac{2\pi}{7}\times 2\cos \frac{3\pi}{7} &= 1,<br />
\end{align}</math><br />
और सभी विषम संख्याओं के लिए आगे, और इसलिए<br />
<math display="block">\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{7} \times \cos \frac{2\pi}{7} \times \cos \frac{3\pi}{7} + \dots = 1.</math><br />
उन जिज्ञासु पहचानों में से कई निम्नलिखित जैसे सामान्य तथ्यों से उपजी हैं:<ref>{{MathWorld|id=Sine|title=Sine}}</ref><br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math><br />
तथा<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.</math><br />
इनको संयोजन हमें देता है<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{n-1} \tan\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{\sin\frac{\pi n}{2}}</math><br />
यदि {{mvar|n}} एक विषम संख्या है (<math>n = 2 m + 1</math>) हम प्राप्त करने के लिए समरूपता का उपयोग कर सकते हैं<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^{m} \tan\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}</math><br />
बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर के स्थानांतरण फ़ंक्शन को बहुपद और ध्रुवों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।कटऑफ आवृत्ति के रूप में आवृत्ति निर्धारित करके, निम्नलिखित पहचान साबित की जा सकती है:<br />
<math display="block">\prod_{k=1}^n \sin\frac{\left(2k - 1\right)\pi}{4n} = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} = \frac{\sqrt{2}}{2^n}</math><br />
<br />
<br />
=== कंप्यूटिंग {{pi}} ===<br />
गणना करने का एक कुशल तरीका {{pi}}बड़ी संख्या में अंक माचिन के कारण, चर के बिना निम्नलिखित पहचान पर आधारित है।यह एक मशीन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math><br />
या, वैकल्पिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर की पहचान का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math><br />
या पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके:<br />
<math display="block">\pi = \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{5}{13} + \arccos\frac{16}{65} = \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{12}{13} + \arcsin\frac{63}{65}.</math><br />
दूसरों में शामिल हैं:<ref name=Harris>Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, ''Proofs Without Words'' (1993, Mathematical Association of America), p. 39.</ref><रेफ नाम = वू/><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},</math><br />
<math display="block">\pi = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3,</math><br />
<math display="block">\frac{\pi}{4} = 2\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.</math><br />
आम तौर पर, संख्याओं के लिए {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub> ∈ (−1, 1)}} जिसके लिए {{math|1=''θ''<sub>''n''</sub> = Σ{{su|b=''k''=1|p=''n''−1}} आर्कन टी<sub>''k''</sub> ∈ (''π''/4, 3''π''/4)}}, let {{math|1=''t''<sub>''n''</sub> = tan(''π''/2 − ''θ''<sub>''n''</sub>) = cot ''θ''<sub>''n''</sub>}}. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} and its value will be in {{math|(−1, 1)}}. In particular, the computed {{math|''t''<sub>''n''</sub>}} will be rational whenever all the {{math|''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''n''−1</sub>}} मान तर्कसंगत हैं।इन मूल्यों के साथ,<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\frac{\pi}{2} & = \sum_{k=1}^n \arctan(t_k) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \sgn(t_k) \arccos\left(\frac{1 - t_k^2}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arcsin\left(\frac{2t_k}{1 + t_k^2}\right) \\<br />
\pi & = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{2t_k}{1 - t_k^2}\right)\,,<br />
\end{align}</math><br />
जहां सभी लेकिन पहली अभिव्यक्ति में, हमने स्पर्शरेखा आधे-कोण के सूत्रों का उपयोग किया है।पहले दो सूत्र काम करते हैं, भले ही एक या एक से अधिक {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} मान भीतर नहीं है {{math|(−1, 1)}}।ध्यान दें कि अगर {{math|1=''t'' = ''p''/''q''}} तर्कसंगत है, तो {{math|(2''t'', 1 − ''t''<sup>2</sup>, 1 + ''t''<sup>2</sup>)}} उपरोक्त सूत्रों में मान पाइथागोरियन ट्रिपल के लिए आनुपातिक हैं {{math|(2''pq'', ''q''<sup>2</sup> − ''p''<sup>2</sup>, ''q''<sup>2</sup> + ''p''<sup>2</sup>)}}।<br />
<br />
उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 3}} शर्तें,<br />
<math display="block">\frac{\pi}{2} = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \arctan\left(\frac{c}{d}\right) + \arctan\left(\frac{bd - ac}{ad + bc}\right)</math><br />
किसी के लिए {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'' > 0}}।<br />
<br />
=== EUCLID की एक पहचान ===<br />
यूक्लिड ने बुक XIII में दिखाया, उसके यूक्लिड के तत्वों के प्रस्ताव 10 | ऐसे तत्व जो एक सर्कल में अंकित एक नियमित पेंटागन के किनारे वर्ग का क्षेत्र नियमित हेक्सागन के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है औरएक ही सर्कल में नियमित रूप से डिकैगन।आधुनिक त्रिकोणमिति की भाषा में, यह कहता है:<br />
<math display="block">\sin^2 18^\circ + \sin^2 30^\circ = \sin^2 36^\circ.</math><br />
टॉलेमी ने इस प्रस्ताव का उपयोग टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्स में कुछ कोणों की गणना करने के लिए किया।<br />
<br />
== त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना ==<br />
इन पहचानों में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है:<ref>[[Abramowitz and Stegun|Milton Abramowitz and Irene Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'']], [[Dover Publications]], New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45</ref><br />
<br />
<br />
<math>\cos(t \sin x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \sin x) = 2 \sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(t) \sin\big((2k+1)x\big)</math><br />
:<math>\cos(t \cos x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^kJ_{2k}(t) \cos(2kx)</math><br />
:<math>\sin(t \cos x) = 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(t) \cos\big((2k+1)x\big)</math><br />
कहाँ पे {{mvar|J<sub>i</sub>}} बेसेल फ़ंक्शन हैं।<br />
<br />
== केस के लिए आगे की सशर्त पहचान α + γ + = = 180 ° ==<br />
निम्नलिखित सूत्र मनमाने ढंग से विमान त्रिकोणों पर लागू होते हैं और फॉलो करते हैं <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ},</math> जब तक सूत्रों में होने वाले कार्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है (उत्तरार्द्ध केवल उन सूत्रों पर लागू होता है जिसमें स्पर्शरेखा और cotangents होते हैं)।<br />
<math display="block">\begin{align}<br />
\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\<br />
1 &= \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta \\<br />
\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) &= \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
1 &= \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \\<br />
\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
-\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\<br />
\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 \\<br />
-\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) - 1 \\<br />
\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
-\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\<br />
\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 \\<br />
-\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 \\<br />
-\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\<br />
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 \\<br />
-\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\<br />
\sin^2 (2\alpha) + \sin^2 (2\beta) + \sin^2 (2\gamma) &= -2\cos (2\alpha) \cos (2\beta) \cos (2\gamma)+2 \\<br />
\cos^2 (2\alpha) + \cos^2 (2\beta) + \cos^2 (2\gamma) &= 2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) + 1 \\<br />
1 &= \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\beta}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right)<br />
\end{align}</math> 3SINA = 4COS^3 A/2<br />
<br />
== हिस्टोरिकल शॉर्टहैंड्स ==<br />
{{main|Versine|Exsecant}}<br />
नेविगेशन में वर्सिन, कवरिन, हैवरिन और एक्ससेकेंट का उपयोग किया गया था।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए हैवरसिन फॉर्मूला का उपयोग किया गया था।उनका आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।<br />
<br />
== विविध ==<!--इस खंड को उम्मीद है कि यह लेख में वापस किया जाएगा, अगर मैं सामान जाने के लिए एक जगह पर काम कर सकता हूं--><br />
<br />
<br />
=== सभी T-ratios === के बीच संबंध<br />
निम्नलिखित पहचान सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध देती है।<br />
:<math>(\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 -<br />
(\tan\theta + \cot\theta)^2 = 5 </math><br />
<br />
=== डिरिचलेट कर्नेल ===<br />
{{Main|Dirichlet kernel}}<br />
द डिरिचलेट कर्नेल {{math|''D<sub>n</sub>''(''x'')}} अगली पहचान के दोनों किनारों पर होने वाला कार्य है:<br />
<math display="block">1 + 2\cos x + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)x\right) }{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}.</math><br />
अवधि के किसी भी पूर्ण कार्य का संकल्प <math>2 \pi</math> डिरिचलेट कर्नेल के साथ फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है <math>n</math>Th-degree फूरियर सन्निकटन।किसी भी उपाय या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के लिए समान है।<br />
<br />
=== स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन ===<br />
{{main|Tangent half-angle substitution}}<br />
अगर हम सेट करते हैं <math display="block">t = \tan\frac x 2,</math> फिर<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.23</ref><br />
<math display="block">\sin x = \frac{2t}{1 + t^2};\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2};\qquad e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math><br />
कहाँ पे <math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math> कभी -कभी & nbsp के लिए संक्षिप्त;{{math|cis ''x''}}।<br />
<br />
जब यह प्रतिस्थापन <math>t</math> के लिये {{math|tan {{sfrac|''x''|2}}}} का उपयोग कैलकुलस में किया जाता है, यह इस प्रकार है <math>\sin x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|2''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}, <math>\cos x</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|{{sfrac|1 − ''t''<sup>2</sup>|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}} और अंतर {गणित | dx}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {गणित |{{sfrac|2 d''t''|1 + ''t''<sup>2</sup>}}}}।जिससे कोई तर्कसंगत कार्यों को परिवर्तित करता है <math>\sin x</math> तथा <math>\cos x</math> के तर्कसंगत कार्यों के लिए <math>t</math> ताकि उनके एंटिडिवेटिव्स को खोजने के लिए।<br />
<br />
=== विएटे का अनंत उत्पाद ====<br />
{{See also|Viète's formula|Sinc function}}<br />
<math display="block">\cos\frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{4}<br />
\cdot \cos \frac{\theta}{8} \cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos \frac{\theta}{2^n}<br />
= \frac{\sin \theta}{\theta} = \operatorname{sinc} \theta.</math><br />
<!--\ ऑपरेटरनाम {sinc} का उद्देश्य sinc कहना है, पाप नहीं और साइन नहीं।---><br />
<br />
== यह भी देखें ==<br />
{{div col|colwidth=30em}}<br />
* अरिस्टार्चस की असमानता<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव<br />
* सटीक त्रिकोणमितीय मान (साइन में व्यक्त साइन और कोसाइन के मान)<br />
* Exsecant<br />
* अर्ध-साइड फॉर्मूला<br />
* हाइपरबोलिक फंक्शन<br />
* त्रिकोणों के समाधान के लिए कानून:<br />
** कोसाइन का कानून<br />
*** कोसाइन का गोलाकार कानून<br />
** सिन का नियम<br />
** स्पर्शरेखा का कानून<br />
** कॉटेन्जेंट्स का कानून<br />
** मोलवाइड का सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची<br />
* त्रिकोणमिति में mnemonics<br />
* पेंटाग्रामा मिरिकम<br />
* त्रिकोणमितीय पहचान के प्रमाण<br />
* प्रोस्थैफेरेसिस<br />
* पाइथागोरस प्रमेय<br />
* स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र<br />
* त्रिकोणमितीय संख्या<br />
* त्रिकोणमिति<br />
* वास्तविक कट्टरपंथियों में व्यक्त त्रिकोणमितीय स्थिरांक<br />
* त्रिकोणमिति का उपयोग<br />
* वर्सिन और हैवरसिन<br />
{{div col end}}<br />
<br />
==संदर्भ==<br />
{{reflist|30em}}<br />
<br />
==ग्रन्थसूची==<br />
{{Refbegin}}<br />
* {{Cite book|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|year=1972|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra }}<br />
* {{ citation|last1 = Nielsen|first1 = Kaj L.|title = Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places|edition = 2nd|location = New York|publisher = [[Barnes & Noble]]|year = 1966|lccn = 61-9103 }}<br />
* {{citation|editor-first=Samuel M.|editor-last=Selby|title=Standard Mathematical Tables|publisher=The Chemical Rubber Co.|year=1970|edition=18th}}<br />
{{Refend}}<br />
<br />
==बाहरी संबंध==<br />
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of {{sfrac|5|5|8}}°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html csc and sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html tan]<br />
* [https://inspiria.edu.in/trigonometry-formula Complete List of Trigonometric Formulas]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Trigonometric identities}}]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Test3&diff=12972Test32022-06-01T04:46:53Z<p>Revathy: Created page with "{{संक्षिप्त विवरण|भौतिकी शाखा मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं की गति से संब..."</p>
<hr />
<div>{{संक्षिप्त विवरण|भौतिकी शाखा मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं की गति से संबंधित}}{{पाठ्यपुस्तकों के लिए|शास्त्रीय यांत्रिकी (गोल्डस्टीन)|शास्त्रीय यांत्रिकी (किबल और बर्कशायर)}}{{पीपी-पीसी1}}{{शास्त्रीय यांत्रिकी} }[[फ़ाइल:कक्षीय गति.gif|अंगूठे|दाएं|180px|alt=कक्षीय वेग और अभिकेंद्रीय त्वरण का एनिमेशन|पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह की कक्षीय गति का आरेख, जो लंबवत वेग और त्वरण (बल) सदिशों को दर्शाता है, जिसे एक के माध्यम से दर्शाया गया है शास्त्रीय व्याख्या।]]'''शास्त्रीय यांत्रिकी'''{{नोटटैग|शास्त्रीय यांत्रिकी में शास्त्रीय [[शास्त्रीय पुरातनता]] का उल्लेख नहीं करता है, जैसा कि यह कह सकता है, [[शास्त्रीय वास्तुकला]]; वास्तव में, शास्त्रीय यांत्रिकी के (यूरोपीय) विकास में भौतिकी के [[वैज्ञानिक क्रांति | विधियों और दर्शन में पर्याप्त परिवर्तन]] शामिल थे। {{उद्धरण | अंतिम = बेन-चैम | पहला = माइकल | वर्ष = 2004 | प्रकाशन-तिथि = 2004 | शीर्षक = प्रायोगिक दर्शन और अनुभवजन्य विज्ञान का जन्म: बॉयल, लोके और न्यूटन | स्थान = एल्डरशॉट | प्रकाशक = एशगेट | आईएसबीएन =0-7546-4091-4 |oclc=53887772 }}. क्वालीफायर इसके बजाय [[भौतिकी का इतिहास#20वीं सदी: आधुनिक भौतिकी का जन्म|20वीं सदी की शुरुआत की क्रान्ति]] के बाद विकसित भौतिकी से शास्त्रीय यांत्रिकी को अलग करने का प्रयास करता है, जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी का खुलासा किया' [[#वैधता की सीमाएं। वैधता]]। {{उद्धरण |आखिरी=आगर |प्रथम=जॉन |वर्ष=2012 |प्रकाशन-तिथि=2012 |शीर्षक = बीसवीं शताब्दी और उससे आगे का विज्ञान -2}}. }} एक [[सैद्धांतिक भौतिकी|भौतिक सिद्धांत]] [[मोशन]] [[मैक्रोस्कोपिक]] वस्तुओं का वर्णन करता है, [[प्रक्षेप्य]] से [[मशीन (यांत्रिक)|मशीनरी]] के कुछ हिस्सों तक, और [[खगोलीय पिंड]], जैसे [[अंतरिक्ष यान]], [[ग्रह]], [[तारा]] एस, और [[आकाशगंगा]]। शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा शासित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो यह भविष्यवाणी करना संभव है कि यह भविष्य में कैसे आगे बढ़ेगा (नियतत्ववाद), और यह अतीत (प्रतिवर्तीता) में कैसे चला गया है। शास्त्रीय यांत्रिकी का प्रारंभिक विकास अक्सर होता है [[न्यूटोनियन यांत्रिकी]] के रूप में जाना जाता है। इसमें सर [[आइजैक न्यूटन]] के मूलभूत कार्यों और [[गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज]], [[जोसेफ-लुई लैग्रेंज]], [[लियोनहार्ड यूलर]], और अन्य समकालीन, 17वीं शताब्दी में [[बल]] की एक प्रणाली के प्रभाव के तहत [[भौतिक शरीर | निकायों]] की गति का वर्णन करने के लिए। बाद में, और अधिक अमूर्त तरीके विकसित किए गए, जिससे शास्त्रीय यांत्रिकी के सुधारों को [[लग्रैंगियन यांत्रिकी]] और [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के रूप में जाना जाता है। 18वीं और 19वीं शताब्दी में मुख्य रूप से की गई ये प्रगति, पहले के कार्यों से काफी आगे तक फैली हुई है, खासकर [[विश्लेषणात्मक यांत्रिकी]] के उनके उपयोग के माध्यम से। वे, कुछ संशोधनों के साथ, आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी उपयोग किए जाते हैं। शास्त्रीय यांत्रिकी बड़ी वस्तुओं का अध्ययन करते समय बेहद सटीक परिणाम प्रदान करते हैं जो बहुत बड़े पैमाने पर नहीं होती हैं और गति [[प्रकाश की गति]] के करीब नहीं आती हैं। जब जांच की जा रही वस्तुओं में एक परमाणु व्यास के आकार के बारे में होता है, तो [[यांत्रिकी]]: [[क्वांटम यांत्रिकी]] के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्र को पेश करना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं, [[विशेष सापेक्षता]] की आवश्यकता है। ऐसे मामलों में जहां वस्तुएं अत्यधिक विशाल हो जाती हैं, [[सामान्य सापेक्षता]] लागू हो जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोतों में शास्त्रीय भौतिकी में [[सापेक्ष यांत्रिकी]] शामिल है, जो उनके विचार में अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में शास्त्रीय यांत्रिकी का प्रतिनिधित्व करता है।"</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Infobox_website/doc&diff=12969Template:Infobox website/doc2022-05-23T11:09:15Z<p>Revathy: </p>
<hr />
<div>{{documentation subpage}}<br />
{{Lua|Module:Infobox|Module:InfoboxImage|Module:Check for clobbered parameters|Module:Check for unknown parameters}}<br />
<br />
== Usage ==<br />
{{Parameter names example<br />
| name<br />
| logo<br />
| logo_size<br />
| logo_alt<br />
| logo_caption<br />
| screenshot<br />
| screenshot_size<br />
| screenshot_alt<br />
| collapsible<br />
| collapsetext<br />
| background<br />
| caption<br />
| company_type<br />
| type<br />
| language<br />
| language_count<br />
| language_footnote<br />
| traded_as<br />
| founded<br />
| dissolved<br />
| predecessor<br />
| successor<br />
| headquarters<br />
| location_city<br />
| location_country<br />
| country_of_origin<br />
| locations<br />
| area_served<br />
| owner<br />
| author<br />
| founder<br />
| editor<br />
| chairman<br />
| chairperson<br />
| president<br />
| CEO<br />
| MD<br />
| GM<br />
| key_people<br />
| industry<br />
| products<br />
| services<br />
| revenue<br />
| operating_income<br />
| international<br />
| net_income<br />
| assets<br />
| equity<br />
| employees<br />
| parent<br />
| divisions<br />
| subsidiaries<br />
| url = {{URL|example.com}}<br />
| ipv6<br />
| advertising<br />
| commercial<br />
| registration<br />
| num_users<br />
| launch_date = {{longitem|<nowiki>{{Start date and age</nowiki><br /><nowiki>|df=yes/no|YYYY|MM|DD}}</nowiki>}}<br />
| current_status<br />
| native_clients<br />
| content_license<br />
| programming_language<br />
| issn<br />
| eissn<br />
| oclc<br />
| footnotes<br />
}}<br />
<br />
=== Full version ===<br />
Please remove any unused parameters when copying to an article page.<br />
<br />
<syntaxhighlight lang="html" style="overflow: hidden; background: unset;"><br />
{{Infobox website<br />
| name = <br />
| logo = <br />
| logo_size = <br />
| logo_alt = <br />
| logo_caption = <br />
| screenshot = <br />
| screenshot_size = <br />
| screenshot_alt = <br />
| collapsible = <!-- set as "on", "y", etc, otherwise omit/leave blank. Does nothing for mobile users. --><br />
| collapsetext = <!-- collapsible area's heading (default "Screenshot"); omit/leave blank if collapsible not set --><br />
| background = <!-- for collapsetext heading; default grey (gainsboro) --><br />
| caption = <br />
| company_type = <br />
| type = <!-- or: | website_type = --><br />
| language = <br />
| language_count = <br />
| language_footnote = <br />
| traded_as = <br />
| founded = <!-- or: | foundation = --><br />
| dissolved = <br />
| predecessor = <br />
| successor = <br />
| headquarters = <!-- or: | location = --><br />
| location_city = <br />
| location_country = <!-- or: | country = --><br />
| country_of_origin = <br />
| locations = <br />
| area_served = <br />
| owner = <!-- or: | owners = --><br />
| author = <!-- or: | authors / creator / creators --><br />
| founder = <br />
| editor = <!-- or: | editors = --><br />
| chairman = <br />
| chairperson = <br />
| president = <br />
| CEO = <br />
| MD = <br />
| GM = <br />
| key_people = <br />
| industry = <br />
| products = <br />
| services = <br />
| revenue = <!-- or: | rev = --><br />
| operating_income = <br />
| international = <!-- or: | intl = --><br />
| net_income = <br />
| assets = <br />
| equity = <br />
| employees = <!-- or: | num_employees = --><br />
| parent = <br />
| divisions = <br />
| subsidiaries = <!-- or: | subsid = --><br />
| url = <!-- {{URL|example.com}} --><br />
| ipv6 = <br />
| advertising = <br />
| commercial = <!-- "Yes", "No" or leave blank --><br />
| registration = <!-- or: | reg = --><br />
| num_users = <!-- or: | users = --><br />
| launch_date = <!-- {{Start date and age|df=yes/no|YYYY|MM|DD}} --><br />
| current_status = <br />
| native_clients = <br />
| content_license = <!-- or: | content_licence = --><br />
| programming_language = <br />
| issn = <!-- ISSN, e.g. 1085-6706 (automatically linked to https://www.WorldCat.org) --><br />
| eissn = <!-- eISSN, e.g. 1085-6706 (automatically linked to https://www.WorldCat.org) --><br />
| oclc = <!-- OCLC number, useful where an ISSN has not been allocated (automatically linked to https://www.WorldCat.org) --><br />
| footnotes = <br />
}}<br />
</syntaxhighlight><br />
{{Clear}}<br />
<br />
==Parameters==<br />
All parameters are optional. Avoid linking to an article more than once within the infobox.<br />
{{TemplateData header}}<br />
<templatedata><br />
{<br />
"description": "An infobox for articles about company",<br />
"params": {<br />
"logo": {<br />
"description": "The website logo",<br />
"label": "Logo",<br />
"aliases": [<br />
"websitelogo"<br />
],<br />
"type": "wiki-file-name"<br />
},<br />
"logo_caption": {<br />
"description": "Caption for the logo. Most logos need none. But this field can be used to insert mandatory deletion notices.",<br />
"label": "Logo's caption",<br />
"aliases": [<br />
"logocaption"<br />
]<br />
},<br />
"screenshot": {<br />
"description": "A screen photo of the homepage; see: [[:File:EnglishWikipediaMainPage3rdAugust2007.PNG|Example 1]].",<br />
"label": "Screenshot",<br />
"example": "EnglishWikipediaMainPage3rdAugust2007.PNG",<br />
"type": "wiki-file-name"<br />
},<br />
"collapsible": {<br />
"description": "Whether the screenshot should be collapsed or visible at page load. (Yes / No). Does nothing for mobile users (see [[phab:T111565]]).",<br />
"label": "Is screenshot collapsible?",<br />
"example": "yes",<br />
"type": "boolean",<br />
"default": "No"<br />
},<br />
"collapsetext": {<br />
"description": "Text for the header of the collapsed section, defaults to ''Screenshot''.",<br />
"label": "Collapsed screenshot header",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"caption": {<br />
"description": "A caption for the screenshot. Should contain the date the screenshot was taken.",<br />
"label": "Screenshot's caption",<br />
"example": "Screenshot of Wikipedia on 11 September 2014.",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"url": {<br />
"description": "The canonical URL of the website's home page meeting [[WP:ELOFFICIAL]]. If the website is primarily accessed through its IP address, the IP address may be listed instead.",<br />
"label": "Website",<br />
"type": "string",<br />
"aliases": [<br />
"website",<br />
"homepage"<br />
]<br />
},<br />
"commercial": {<br />
"description": "Is the site commercially run / owned? (Yes / No)",<br />
"label": "Is commercial?",<br />
"type": "boolean"<br />
},<br />
"type": {<br />
"description": "The type of website",<br />
"label": "Type",<br />
"type": "string",<br />
"aliases": [<br />
"website_type"<br />
],<br />
"example": "Digital advertising, mobile video advertising"<br />
},<br />
"registration": {<br />
"description": "Is there registration? (None / Optional / Required)",<br />
"label": "Registration",<br />
"aliases": [<br />
"reg"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"language": {<br />
"description": "The language(s) in which the website is available",<br />
"label": "Language",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"content_license": {<br />
"description": "The license of the content of the site. Use \"Content licence\" for British English spelling.",<br />
"label": "Content license",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"content_licence": {<br />
"description": "The license of the content of the site. Use \"Content license\" for American English spelling.",<br />
"label": "Content licence",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"programming_language": {<br />
"description": "The programming language(s) by which the website is developed",<br />
"label": "Programming language",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"owner": {<br />
"description": "The current owner(s); should be a company name, persons name, alias, etc.",<br />
"label": "Owner(s)",<br />
"aliases": [<br />
"owners"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"author": {<br />
"description": "The person or entity that writes for the website.",<br />
"label": "Author(s)",<br />
"aliases": [<br />
"creator",<br />
"authors",<br />
"creators"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"editor": {<br />
"description": "The person or entity that serves as the website's editor",<br />
"label": "Editor(s)",<br />
"aliases": [<br />
"editors"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"launch_date": {<br />
"description": "When the website was launched; check the Whois database, if needed",<br />
"label": "Launch date",<br />
"aliases": [<br />
"date_of_launch"<br />
],<br />
"type": "date"<br />
},<br />
"revenue": {<br />
"description": "The approximate revenue of the site",<br />
"label": "Revenue",<br />
"aliases": [<br />
"rev"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"issn": {<br />
"description": "The website's ISSN, e.g. 1085-6706 (automatically linked to https://www.WorldCat.org)",<br />
"label": "ISSN",<br />
"aliases": [<br />
"ISSN"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"eissn": {<br />
"description": "The website's eISSN, e.g. 1085-6706 (automatically linked to https://www.WorldCat.org)",<br />
"label": "eISSN",<br />
"aliases": [<br />
"eISSN"<br />
],<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"oclc": {<br />
"description": "The website's OCLC number",<br />
"label": "OCLC",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"current_status": {<br />
"description": "The website's current status",<br />
"label": "Current status",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"footnotes": {<br />
"description": "Footnotes displayed at the bottom of infobox",<br />
"label": "Footnotes",<br />
"type": "unbalanced-wikitext"<br />
},<br />
"name": {<br />
"label": "Name",<br />
"description": "Title of the website. Sometimes, it is the same as the domain name.",<br />
"example": "Ars Technica",<br />
"type": "string",<br />
"default": "{{PAGENAMEBASE}}",<br />
"required": true,<br />
"aliases": [<br />
"websitename"<br />
]<br />
},<br />
"logo_size": {<br />
"label": "Logo size",<br />
"description": "Size of the logo. See Wikipedia image tutorial to find out about valid size values. The default is 250px.",<br />
"type": "string",<br />
"default": "250px"<br />
},<br />
"logo_alt": {<br />
"label": "Logo's alternative text",<br />
"description": "Alternative text for the logo. Alternative text is displayed when the logo itself cannot be displayed or when a screen reader reads the article for the blind people.",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"screenshot_size": {<br />
"label": "Screenshot's size",<br />
"description": "Screenshot size. The default is 300px. Usually, changing the default is unnecessary.",<br />
"example": "300px",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"screenshot_alt": {<br />
"label": "Screenshot's alternative text",<br />
"description": "Alternative text for the screenshot. Alternative text is displayed when the screenshot itself cannot be displayed or when a screen reader reads the article for the blind people.",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"language_count": {<br />
"label": "Language count",<br />
"description": "The number of languages in which the website is available",<br />
"type": "number"<br />
},<br />
"language_footnote": {<br />
"label": "Language footnote",<br />
"description": "The footnote text containing citation for the source that says what languages are available",<br />
"type": "unbalanced-wikitext"<br />
},<br />
"company_type": {<br />
"label": "Types of business entity",<br />
"type": "line"<br />
},<br />
"traded_as": {<br />
"label": "Traded as",<br />
"type": "line"<br />
},<br />
"founded": {<br />
"aliases": [<br />
"foundation"<br />
],<br />
"label": "Founded",<br />
"type": "date"<br />
},<br />
"dissolved": {<br />
"label": "Dissolved",<br />
"type": "date"<br />
},<br />
"predecessor": {<br />
"label": "Predecessor",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"successor": {<br />
"label": "Successor",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"country_of_origin": {<br />
"label": "Country of origin",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"locations": {<br />
"label": "No. of locations",<br />
"type": "number"<br />
},<br />
"area_served": {<br />
"label": "Area served",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"founder": {<br />
"label": "Founder(s)",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"chairman": {<br />
"label": "Chairman",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"chairperson": {<br />
"label": "Chairperson ",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"president": {<br />
"label": "President",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"CEO": {<br />
"label": "CEO",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"MD": {<br />
"label": "Managing director",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"GM": {<br />
"label": "General manager",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"key_people": {<br />
"label": "Key people",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"industry": {<br />
"label": "Industry",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"products": {<br />
"label": "Products",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"services": {<br />
"label": "Services",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"operating_income": {<br />
"label": "Operating income",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"net_income": {<br />
"label": "Net income",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"assets": {<br />
"label": "Total assets",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"equity": {<br />
"label": "Total equity",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"employees": {<br />
"aliases": [<br />
"num_employees"<br />
],<br />
"label": "Total employees",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"parent": {<br />
"label": "Holding company",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"divisions": {<br />
"label": "Divisions",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"subsidiaries": {<br />
"aliases": [<br />
"subsid"<br />
],<br />
"label": "Subsidiaries",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"ipv6": {<br />
"label": "IPv6 support",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"advertising": {<br />
"label": "Advertising",<br />
"type": "string"<br />
},<br />
"users": {<br />
"aliases": [<br />
"num_users"<br />
],<br />
"label": "Users",<br />
"description": "The number of registered users the website has",<br />
"type": "number"<br />
},<br />
"native_clients": {<br />
"label": "Native clients",<br />
"type": "string"<br />
}<br />
},<br />
"format": "block",<br />
"paramOrder": [<br />
"name",<br />
"logo",<br />
"logo_size",<br />
"logo_caption",<br />
"logo_alt",<br />
"screenshot",<br />
"screenshot_size",<br />
"caption",<br />
"screenshot_alt",<br />
"collapsible",<br />
"collapsetext",<br />
"type",<br />
"company_type",<br />
"language",<br />
"language_count",<br />
"language_footnote",<br />
"traded_as",<br />
"founded",<br />
"dissolved",<br />
"predecessor",<br />
"successor",<br />
"country_of_origin",<br />
"locations",<br />
"area_served",<br />
"owner",<br />
"author",<br />
"founder",<br />
"editor",<br />
"chairman",<br />
"chairperson",<br />
"president",<br />
"CEO",<br />
"MD",<br />
"GM",<br />
"key_people",<br />
"industry",<br />
"products",<br />
"services",<br />
"revenue",<br />
"operating_income",<br />
"net_income",<br />
"assets",<br />
"equity",<br />
"employees",<br />
"parent",<br />
"divisions",<br />
"subsidiaries",<br />
"url",<br />
"ipv6",<br />
"advertising",<br />
"commercial",<br />
"registration",<br />
"users",<br />
"launch_date",<br />
"current_status",<br />
"native_clients",<br />
"content_license",<br />
"content_licence",<br />
"programming_language",<br />
"issn",<br />
"eissn",<br />
"oclc",<br />
"footnotes"<br />
]<br />
}<br />
</templatedata><br />
<br />
== Example ==<br />
{{Infobox website<br />
| name = Wikipedia<br />
| logo = [[File:Wikipedia-v2-logo.svg|150px|frameless|An incomplete sphere made of large, white, jigsaw puzzle pieces. Each puzzle piece contains one glyph from a different writing system, with each glyph written in black.]]<br />[[File:Wikipedia wordmark.svg|200px|The Wikipedia wordmark which displays the name Wikipedia, written in all caps. The{{nbsp}}''W'' and the{{nbsp}}''A'' are the same height and both are taller than the other letters which are also all the same height.]]<br />
| logo_caption = The [[Wikipedia logo|logo of Wikipedia]], a globe featuring [[glyph]]s from various [[writing system]]s<br />
| screenshot = Wikipedia Main Page.png{{!}}border<br />
| screenshot_alt = Main page of the English Wikipedia<br />
| caption = [[Main Page]] of the English Wikipedia on July 19, 2020<br />
| collapsible = yes<br />
| url = {{URL|https://www.wikipedia.org/|wikipedia.org}}<br />
| commercial = No<br />
| type = [[Online encyclopedia]]<br />
| registration = {{nowrap|Optional but required for certain}} tasks, such as editing protected pages, creating pages on the English Wikipedia, and uploading files<br />
| language = 285 languages<br />
| num_users = 90.6&nbsp;million{{padlsup|a}}<br />
| country_of_origin = United States<br />
| owner = [[Wikimedia Foundation]]<br />
| author = {{Unbulleted list|[[Jimmy Wales]]|[[Larry Sanger]]<ref name="Sidener">{{Cite news |url=http://www.signonsandiego.com/uniontrib/20041206/news_mz1b6encyclo.html |title=Everyone's Encyclopedia |last=Sidener |first=Jonathan |work=[[The San Diego Union-Tribune]] |date=6 December 2004 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160114101809/http://www.sandiegouniontribune.com/uniontrib/20041206/news_mz1b6encyclo.html |archive-date=14 January 2016 |access-date=22 July 2020}}</ref>}}<br />
| launch_date = {{Start date and age|mf=yes|2001|1|15}}<br />
| oclc = 52075003<br />
| current_status = Active<br />
| programming_language = [[LAMP (software bundle)|LAMP]] platform<br />
| content_license = {{Nowrap|[[Creative Commons licenses|CC Attribution / Share-Alike]] 3.0}}<br />Most text is also dual-licensed under [[GFDL]]; media licensing varies<br />
| footnotes = <div class="plainlist" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.3em;text-align:left;"><br />
* {{nowrap |{{sup|a}} Total registration across all editions (July 2020).<ref>[[meta:List of Wikipedias#Grand Total|Grand Total]]. Wikimedia. 22 July 2020. Retrieved 22 July 2020.</ref>}}<br />
</div><br />
}}<br />
<br />
<syntaxhighlight lang="html" style="overflow: hidden; background: unset;"><br />
{{Infobox website<br />
| name = Wikipedia<br />
| logo = [[File:Wikipedia-v2-logo.svg|150px|frameless|An incomplete sphere made of large, white, jigsaw puzzle pieces. Each puzzle piece contains one glyph from a different writing system, with each glyph written in black.]]<br />[[File:Wikipedia wordmark.svg|200px|The Wikipedia wordmark which displays the name Wikipedia, written in all caps. The{{nbsp}}''W'' and the{{nbsp}}''A'' are the same height and both are taller than the other letters which are also all the same height.]]<br />
| logo_caption = The [[Wikipedia logo|logo of Wikipedia]], a globe featuring [[glyph]]s from various [[writing system]]s<br />
| screenshot = Wikipedia Main Page.png{{!}}border<br />
| screenshot_alt = Main page of the English Wikipedia<br />
| caption = [[Main Page]] of the English Wikipedia on July 19, 2020<br />
| collapsible = yes<br />
| url = {{URL|https://www.wikipedia.org/|wikipedia.org}}<br />
| commercial = No<br />
| type = [[Online encyclopedia]]<br />
| registration = {{nowrap|Optional but required for certain}} tasks, such as editing protected pages, creating pages on the English Wikipedia, and uploading files<br />
| language = 285 languages<br />
| num_users = 90.6&nbsp;million{{padlsup|a}}<br />
| country_of_origin = United States<br />
| owner = [[Wikimedia Foundation]]<br />
| author = {{Unbulleted list|[[Jimmy Wales]]|[[Larry Sanger]]<ref name="Sidener">{{Cite news |url=http://www.signonsandiego.com/uniontrib/20041206/news_mz1b6encyclo.html |title=Everyone's Encyclopedia |last=Sidener |first=Jonathan |work=[[The San Diego Union-Tribune]] |date=6 December 2004 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160114101809/http://www.sandiegouniontribune.com/uniontrib/20041206/news_mz1b6encyclo.html |archive-date=14 January 2016 |access-date=22 July 2020}}</ref>}}<br />
| launch_date = {{Start date and age|mf=yes|2001|1|15}}<br />
| oclc = 52075003<br />
| current_status = Active<br />
| programming_language = [[LAMP (software bundle)|LAMP]] platform<br />
| content_license = {{Nowrap|[[Creative Commons licenses|CC Attribution / Share-Alike]] 3.0}}<br />Most text is also dual-licensed under [[GFDL]]; media licensing varies<br />
| footnotes = <div class="plainlist" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.3em;text-align:left;"><br />
* {{nowrap |{{sup|a}} Total registration across all editions (July 2020).<ref>[[meta:List of Wikipedias#Grand Total|Grand Total]]. Wikimedia. 22 July 2020. Retrieved 22 July 2020.</ref>}}<br />
</div><br />
}}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
=== References ===<br />
{{Reflist}}<br />
{{Clear}}<br />
<br />
== Tracking categories ==<br />
Invalid, and requires correction<br />
* {{clc|Pages using infobox website with unknown parameters}}<br />
* {{clc|Pages using infobox website with redundant parameters}}&nbsp;– only one is visible in the infobox output<br />
<br />
== See also ==<br />
* [[Wikipedia:Notability (web)]]<br />
* [[Wikipedia:WikiProject Websites]]<br />
<br />
{{Organization infoboxes}}<br />
<br />
<includeonly>{{Sandbox other|<br />
| <!--Categories below this line, please; interwikis at Wikidata--><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
}}</includeonly></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Module:Text&diff=12947Module:Text2022-05-23T11:07:32Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>local Text = { serial = "2017-11-01",<br />
suite = "Text" }<br />
--[=[<br />
Text utilities<br />
]=]<br />
<br />
<br />
<br />
-- local globals<br />
local PatternCJK = false<br />
local PatternCombined = false<br />
local PatternLatin = false<br />
local PatternTerminated = false<br />
local QuoteLang = false<br />
local QuoteType = false<br />
local RangesLatin = false<br />
local SeekQuote = false<br />
<br />
<br />
<br />
local function factoryQuote()<br />
-- Create quote definitions<br />
QuoteLang = { af = "bd",<br />
ar = "la",<br />
be = "labd",<br />
bg = "bd",<br />
ca = "la",<br />
cs = "bd",<br />
da = "bd",<br />
de = "bd",<br />
dsb = "bd",<br />
et = "bd",<br />
el = "lald",<br />
en = "ld",<br />
es = "la",<br />
eu = "la",<br />
-- fa = "la",<br />
fi = "rd",<br />
fr = "laSPC",<br />
ga = "ld",<br />
he = "ldla",<br />
hr = "bd",<br />
hsb = "bd",<br />
hu = "bd",<br />
hy = "labd",<br />
id = "rd",<br />
is = "bd",<br />
it = "ld",<br />
ja = "x300C",<br />
ka = "bd",<br />
ko = "ld",<br />
lt = "bd",<br />
lv = "bd",<br />
nl = "ld",<br />
nn = "la",<br />
no = "la",<br />
pl = "bdla",<br />
pt = "lald",<br />
ro = "bdla",<br />
ru = "labd",<br />
sk = "bd",<br />
sl = "bd",<br />
sq = "la",<br />
sr = "bx",<br />
sv = "rd",<br />
th = "ld",<br />
tr = "ld",<br />
uk = "la",<br />
zh = "ld",<br />
["de-ch"] = "la",<br />
["en-gb"] = "lsld",<br />
["en-us"] = "ld",<br />
["fr-ch"] = "la",<br />
["it-ch"] = "la",<br />
["pt-br"] = "ldla",<br />
["zh-tw"] = "x300C",<br />
["zh-cn"] = "ld" }<br />
QuoteType = { bd = { { 8222, 8220 }, { 8218, 8217 } },<br />
bdla = { { 8222, 8220 }, { 171, 187 } },<br />
bx = { { 8222, 8221 }, { 8218, 8217 } },<br />
la = { { 171, 187 }, { 8249, 8250 } },<br />
laSPC = { { 171, 187 }, { 8249, 8250 }, true },<br />
labd = { { 171, 187 }, { 8222, 8220 } },<br />
lald = { { 171, 187 }, { 8220, 8221 } },<br />
ld = { { 8220, 8221 }, { 8216, 8217 } },<br />
ldla = { { 8220, 8221 }, { 171, 187 } },<br />
lsld = { { 8216, 8217 }, { 8220, 8221 } },<br />
rd = { { 8221, 8221 }, { 8217, 8217 } },<br />
x300C = { { 0x300C, 0x300D },<br />
{ 0x300E, 0x300F } } }<br />
return r<br />
end -- factoryQuote()<br />
<br />
<br />
<br />
local function fiatQuote( apply, alien, advance )<br />
-- Quote text<br />
-- Parameter:<br />
-- apply -- string, with text<br />
-- alien -- string, with language code<br />
-- advance -- number, with level 1 or 2<br />
local r = apply<br />
local suite<br />
if not QuoteLang then<br />
factoryQuote()<br />
end<br />
suite = QuoteLang[ alien ]<br />
if not suite then<br />
local slang = alien:match( "^(%l+)-" )<br />
if slang then<br />
suite = QuoteLang[ slang ]<br />
end<br />
if not suite then<br />
suite = QuoteLang[ "en" ]<br />
end<br />
end<br />
if suite then<br />
local quotes = QuoteType[ suite ]<br />
if quotes then<br />
local space<br />
if quotes[ 3 ] then<br />
space = "&#160;"<br />
else<br />
space = ""<br />
end<br />
quotes = quotes[ advance ]<br />
if quotes then<br />
r = mw.ustring.format( "%s%s%s%s%s",<br />
mw.ustring.char( quotes[ 1 ] ),<br />
space,<br />
apply,<br />
space,<br />
mw.ustring.char( quotes[ 2 ] ) )<br />
end<br />
else<br />
mw.log( "fiatQuote() " .. suite )<br />
end<br />
end<br />
return r<br />
end -- fiatQuote()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.char = function ( apply, again, accept )<br />
-- Create string from codepoints<br />
-- Parameter:<br />
-- apply -- table (sequence) with numerical codepoints, or nil<br />
-- again -- number of repetitions, or nil<br />
-- accept -- true, if no error messages to be appended<br />
-- Returns: string<br />
local r<br />
if type( apply ) == "table" then<br />
local bad = { }<br />
local codes = { }<br />
local s<br />
for k, v in pairs( apply ) do<br />
s = type( v )<br />
if s == "number" then<br />
if v < 32 and v ~= 9 and v ~= 10 then<br />
v = tostring( v )<br />
else<br />
v = math.floor( v )<br />
s = false<br />
end<br />
elseif s ~= "string" then<br />
v = tostring( v )<br />
end<br />
if s then<br />
table.insert( bad, v )<br />
else<br />
table.insert( codes, v )<br />
end<br />
end -- for k, v<br />
if #bad == 0 then<br />
if #codes > 0 then<br />
r = mw.ustring.char( unpack( codes ) )<br />
if again then<br />
if type( again ) == "number" then<br />
local n = math.floor( again )<br />
if n > 1 then<br />
r = r:rep( n )<br />
elseif n < 1 then<br />
r = ""<br />
end<br />
else<br />
s = "bad repetitions: " .. tostring( again )<br />
end<br />
end<br />
end<br />
else<br />
s = "bad codepoints: " .. table.concat( bad, " " )<br />
end<br />
if s and not accept then<br />
r = tostring( mw.html.create( "span" )<br />
:addClass( "error" )<br />
:wikitext( s ) )<br />
end<br />
end<br />
return r or ""<br />
end -- Text.char()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.concatParams = function ( args, apply, adapt )<br />
-- Concat list items into one string<br />
-- Parameter:<br />
-- args -- table (sequence) with numKey=string<br />
-- apply -- string (optional); separator (default: "|")<br />
-- adapt -- string (optional); format including "%s"<br />
-- Returns: string<br />
local collect = { }<br />
args = type(args) == 'table' and args or {} -- ensure args is table<br />
for k, v in pairs( args ) do<br />
if type( k ) == "number" then<br />
v = mw.text.trim( v )<br />
if v ~= "" then<br />
if adapt then<br />
v = mw.ustring.format( adapt, v )<br />
end<br />
table.insert( collect, v )<br />
end<br />
end<br />
end -- for k, v<br />
return table.concat( collect, apply or "|" )<br />
end -- Text.concatParams()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.containsCJK = function ( analyse )<br />
-- Is any CJK code within?<br />
-- Parameter:<br />
-- analyse -- string<br />
-- Returns: true, if CJK detected<br />
analyse = analyse or ""<br />
if not patternCJK then<br />
patternCJK = mw.ustring.char( 91,<br />
4352, 45, 4607,<br />
11904, 45, 42191,<br />
43072, 45, 43135,<br />
44032, 45, 55215,<br />
63744, 45, 64255,<br />
65072, 45, 65103,<br />
65381, 45, 65500,<br />
131072, 45, 196607,<br />
93 )<br />
end<br />
if mw.ustring.find( analyse, patternCJK ) then<br />
return true<br />
end<br />
return false<br />
end -- Text.containsCJK()<br />
<br />
Text.removeDelimited = function (s, prefix, suffix)<br />
-- Remove all text in s delimited by prefix and suffix (inclusive)<br />
-- Arguments:<br />
-- s = string to process<br />
-- prefix = initial delimiter<br />
-- suffix = ending delimiter<br />
-- Returns: stripped string<br />
local prefixLen = mw.ustring.len(prefix)<br />
local suffixLen = mw.ustring.len(suffix)<br />
local i = s:find(prefix, 1, true)<br />
local r = s<br />
local j<br />
while i do<br />
j = r:find(suffix, i + prefixLen)<br />
if j then<br />
r = r:sub(1, i - 1)..r:sub(j+suffixLen)<br />
else<br />
r = r:sub(1, i - 1)<br />
end<br />
i = r:find(prefix, 1, true)<br />
end<br />
return r<br />
end<br />
<br />
Text.getPlain = function ( adjust )<br />
-- Remove wikisyntax from string, except templates<br />
-- Parameter:<br />
-- adjust -- string<br />
-- Returns: string<br />
local r = Text.removeDelimited(adjust,"<!--","-->")<br />
r = r:gsub( "(</?%l[^>]*>)", "" )<br />
:gsub( "'''", "" )<br />
:gsub( "''", "" )<br />
:gsub( "&nbsp;", " " )<br />
return r<br />
end -- Text.getPlain()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.isLatinRange = function ( adjust )<br />
-- Are characters expected to be latin or symbols within latin texts?<br />
-- Precondition:<br />
-- adjust -- string, or nil for initialization<br />
-- Returns: true, if valid for latin only<br />
local r<br />
if not RangesLatin then<br />
RangesLatin = { { 7, 687 },<br />
{ 7531, 7578 },<br />
{ 7680, 7935 },<br />
{ 8194, 8250 } }<br />
end<br />
if not PatternLatin then<br />
local range<br />
PatternLatin = "^["<br />
for i = 1, #RangesLatin do<br />
range = RangesLatin[ i ]<br />
PatternLatin = PatternLatin ..<br />
mw.ustring.char( range[ 1 ], 45, range[ 2 ] )<br />
end -- for i<br />
PatternLatin = PatternLatin .. "]*$"<br />
end<br />
if adjust then<br />
if mw.ustring.match( adjust, PatternLatin ) then<br />
r = true<br />
else<br />
r = false<br />
end<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.isLatinRange()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.isQuote = function ( ask )<br />
-- Is this character any quotation mark?<br />
-- Parameter:<br />
-- ask -- string, with single character<br />
-- Returns: true, if ask is quotation mark<br />
local r<br />
if not SeekQuote then<br />
SeekQuote = mw.ustring.char( 34, -- "<br />
39, -- '<br />
171, -- laquo<br />
187, -- raquo<br />
8216, -- lsquo<br />
8217, -- rsquo<br />
8218, -- sbquo<br />
8220, -- ldquo<br />
8221, -- rdquo<br />
8222, -- bdquo<br />
8249, -- lsaquo<br />
8250, -- rsaquo<br />
0x300C, -- CJK<br />
0x300D, -- CJK<br />
0x300E, -- CJK<br />
0x300F ) -- CJK<br />
end<br />
if ask == "" then<br />
r = false<br />
elseif mw.ustring.find( SeekQuote, ask, 1, true ) then<br />
r = true<br />
else<br />
r = false<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.isQuote()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.listToText = function ( args, adapt )<br />
-- Format list items similar to mw.text.listToText()<br />
-- Parameter:<br />
-- args -- table (sequence) with numKey=string<br />
-- adapt -- string (optional); format including "%s"<br />
-- Returns: string<br />
local collect = { }<br />
for k, v in pairs( args ) do<br />
if type( k ) == "number" then<br />
v = mw.text.trim( v )<br />
if v ~= "" then<br />
if adapt then<br />
v = mw.ustring.format( adapt, v )<br />
end<br />
table.insert( collect, v )<br />
end<br />
end<br />
end -- for k, v<br />
return mw.text.listToText( collect )<br />
end -- Text.listToText()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.quote = function ( apply, alien, advance )<br />
-- Quote text<br />
-- Parameter:<br />
-- apply -- string, with text<br />
-- alien -- string, with language code, or nil<br />
-- advance -- number, with level 1 or 2, or nil<br />
-- Returns: quoted string<br />
local mode, slang<br />
if type( alien ) == "string" then<br />
slang = mw.text.trim( alien ):lower()<br />
else<br />
slang = mw.title.getCurrentTitle().pageLanguage<br />
if not slang then<br />
-- TODO FIXME: Introduction expected 2017-04<br />
slang = mw.language.getContentLanguage():getCode()<br />
end<br />
end<br />
if advance == 2 then<br />
mode = 2<br />
else<br />
mode = 1<br />
end<br />
return fiatQuote( mw.text.trim( apply ), slang, mode )<br />
end -- Text.quote()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.quoteUnquoted = function ( apply, alien, advance )<br />
-- Quote text, if not yet quoted and not empty<br />
-- Parameter:<br />
-- apply -- string, with text<br />
-- alien -- string, with language code, or nil<br />
-- advance -- number, with level 1 or 2, or nil<br />
-- Returns: string; possibly quoted<br />
local r = mw.text.trim( apply )<br />
local s = mw.ustring.sub( r, 1, 1 )<br />
if s ~= "" and not Text.isQuote( s, advance ) then<br />
s = mw.ustring.sub( r, -1, 1 )<br />
if not Text.isQuote( s ) then<br />
r = Text.quote( r, alien, advance )<br />
end<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.quoteUnquoted()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.removeDiacritics = function ( adjust )<br />
-- Remove all diacritics<br />
-- Parameter:<br />
-- adjust -- string<br />
-- Returns: string; all latin letters should be ASCII<br />
-- or basic greek or cyrillic or symbols etc.<br />
local cleanup, decomposed<br />
if not PatternCombined then<br />
PatternCombined = mw.ustring.char( 91,<br />
0x0300, 45, 0x036F,<br />
0x1AB0, 45, 0x1AFF,<br />
0x1DC0, 45, 0x1DFF,<br />
0xFE20, 45, 0xFE2F,<br />
93 )<br />
end<br />
decomposed = mw.ustring.toNFD( adjust )<br />
cleanup = mw.ustring.gsub( decomposed, PatternCombined, "" )<br />
return mw.ustring.toNFC( cleanup )<br />
end -- Text.removeDiacritics()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.sentenceTerminated = function ( analyse )<br />
-- Is string terminated by dot, question or exclamation mark?<br />
-- Quotation, link termination and so on granted<br />
-- Parameter:<br />
-- analyse -- string<br />
-- Returns: true, if sentence terminated<br />
local r<br />
if not PatternTerminated then<br />
PatternTerminated = mw.ustring.char( 91,<br />
12290,<br />
65281,<br />
65294,<br />
65311 )<br />
.. "!%.%?…][\"'%]‹›«»‘’“”]*$"<br />
end<br />
if mw.ustring.find( analyse, PatternTerminated ) then<br />
r = true<br />
else<br />
r = false<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.sentenceTerminated()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.ucfirstAll = function ( adjust )<br />
-- Capitalize all words<br />
-- Precondition:<br />
-- adjust -- string<br />
-- Returns: string with all first letters in upper case<br />
local r = " " .. adjust<br />
local i = 1<br />
local c, j, m<br />
if adjust:find( "&" ) then<br />
r = r:gsub( "&amp;", "&#38;" )<br />
:gsub( "&lt;", "&#60;" )<br />
:gsub( "&gt;", "&#62;" )<br />
:gsub( "&nbsp;", "&#160;" )<br />
:gsub( "&thinsp;", "&#8201;" )<br />
:gsub( "&zwnj;", "&#8204;" )<br />
:gsub( "&zwj;", "&#8205;" )<br />
:gsub( "&lrm;", "&#8206;" )<br />
:gsub( "&rlm;", "&#8207;" )<br />
m = true<br />
end<br />
while i do<br />
i = mw.ustring.find( r, "%W%l", i )<br />
if i then<br />
j = i + 1<br />
c = mw.ustring.upper( mw.ustring.sub( r, j, j ) )<br />
r = string.format( "%s%s%s",<br />
mw.ustring.sub( r, 1, i ),<br />
c,<br />
mw.ustring.sub( r, i + 2 ) )<br />
i = j<br />
end<br />
end -- while i<br />
r = r:sub( 2 )<br />
if m then<br />
r = r:gsub( "&#38;", "&amp;" )<br />
:gsub( "&#60;", "&lt;" )<br />
:gsub( "&#62;", "&gt;" )<br />
:gsub( "&#160;", "&nbsp;" )<br />
:gsub( "&#8201;", "&thinsp;" )<br />
:gsub( "&#8204;", "&zwnj;" )<br />
:gsub( "&#8205;", "&zwj;" )<br />
:gsub( "&#8206;", "&lrm;" )<br />
:gsub( "&#8207;", "&rlm;" )<br />
:gsub( "&#X(%x+);", "&#x%1;" )<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.ucfirstAll()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.uprightNonlatin = function ( adjust )<br />
-- Ensure non-italics for non-latin text parts<br />
-- One single greek letter might be granted<br />
-- Precondition:<br />
-- adjust -- string<br />
-- Returns: string with non-latin parts enclosed in <span><br />
local r<br />
Text.isLatinRange()<br />
if mw.ustring.match( adjust, PatternLatin ) then<br />
-- latin only, horizontal dashes, quotes<br />
r = adjust<br />
else<br />
local c<br />
local j = false<br />
local k = 1<br />
local m = false<br />
local n = mw.ustring.len( adjust )<br />
local span = "%s%s<span dir='auto' style='font-style:normal'>%s</span>"<br />
local flat = function ( a )<br />
-- isLatin<br />
local range<br />
for i = 1, #RangesLatin do<br />
range = RangesLatin[ i ]<br />
if a >= range[ 1 ] and a <= range[ 2 ] then<br />
return true<br />
end<br />
end -- for i<br />
end -- flat()<br />
local focus = function ( a )<br />
-- char is not ambivalent<br />
local r = ( a > 64 )<br />
if r then<br />
r = ( a < 8192 or a > 8212 )<br />
else<br />
r = ( a == 38 or a == 60 ) -- '&' '<'<br />
end<br />
return r<br />
end -- focus()<br />
local form = function ( a )<br />
return string.format( span,<br />
r,<br />
mw.ustring.sub( adjust, k, j - 1 ),<br />
mw.ustring.sub( adjust, j, a ) )<br />
end -- form()<br />
r = ""<br />
for i = 1, n do<br />
c = mw.ustring.codepoint( adjust, i, i )<br />
if focus( c ) then<br />
if flat( c ) then<br />
if j then<br />
if m then<br />
if i == m then<br />
-- single greek letter.<br />
j = false<br />
end<br />
m = false<br />
end<br />
if j then<br />
local nx = i - 1<br />
local s = ""<br />
for ix = nx, 1, -1 do<br />
c = mw.ustring.sub( adjust, ix, ix )<br />
if c == " " or c == "(" then<br />
nx = nx - 1<br />
s = c .. s<br />
else<br />
break -- for ix<br />
end<br />
end -- for ix<br />
r = form( nx ) .. s<br />
j = false<br />
k = i<br />
end<br />
end<br />
elseif not j then<br />
j = i<br />
if c >= 880 and c <= 1023 then<br />
-- single greek letter?<br />
m = i + 1<br />
else<br />
m = false<br />
end<br />
end<br />
elseif m then<br />
m = m + 1<br />
end<br />
end -- for i<br />
if j and ( not m or m < n ) then<br />
r = form( n )<br />
else<br />
r = r .. mw.ustring.sub( adjust, k )<br />
end<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.uprightNonlatin()<br />
<br />
<br />
<br />
Text.test = function ( about )<br />
local r<br />
if about == "quote" then<br />
factoryQuote()<br />
r = { }<br />
r.QuoteLang = QuoteLang<br />
r.QuoteType = QuoteType<br />
end<br />
return r<br />
end -- Text.test()<br />
<br />
<br />
<br />
-- Export<br />
local p = { }<br />
<br />
function p.char( frame )<br />
local params = frame:getParent().args<br />
local story = params[ 1 ]<br />
local codes, lenient, multiple<br />
if not story then<br />
params = frame.args<br />
story = params[ 1 ]<br />
end<br />
if story then<br />
local items = mw.text.split( story, "%s+" )<br />
if #items > 0 then<br />
local j<br />
lenient = ( params.errors == "0" )<br />
codes = { }<br />
multiple = tonumber( params[ "*" ] )<br />
for k, v in pairs( items ) do<br />
if v:sub( 1, 1 ) == "x" then<br />
j = tonumber( "0" .. v )<br />
elseif v == "" then<br />
v = false<br />
else<br />
j = tonumber( v )<br />
end<br />
if v then<br />
table.insert( codes, j or v )<br />
end<br />
end -- for k, v<br />
end<br />
end<br />
return Text.char( codes, multiple, lenient )<br />
end<br />
<br />
function p.concatParams( frame )<br />
local args<br />
local template = frame.args.template<br />
if type( template ) == "string" then<br />
template = mw.text.trim( template )<br />
template = ( template == "1" )<br />
end<br />
if template then<br />
args = frame:getParent().args<br />
else<br />
args = frame.args<br />
end<br />
return Text.concatParams( args,<br />
frame.args.separator,<br />
frame.args.format )<br />
end<br />
<br />
function p.containsCJK( frame )<br />
return Text.containsCJK( frame.args[ 1 ] or "" ) and "1" or ""<br />
end<br />
<br />
function p.getPlain( frame )<br />
return Text.getPlain( frame.args[ 1 ] or "" )<br />
end<br />
<br />
function p.isLatinRange( frame )<br />
return Text.isLatinRange( frame.args[ 1 ] or "" ) and "1" or ""<br />
end<br />
<br />
function p.isQuote( frame )<br />
return Text.isQuote( frame.args[ 1 ] or "" ) and "1" or ""<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.listToFormat(frame)<br />
local lists = {}<br />
local pformat = frame.args["format"]<br />
local sep = frame.args["sep"] or ";"<br />
<br />
-- Parameter parsen: Listen<br />
for k, v in pairs(frame.args) do<br />
local knum = tonumber(k)<br />
if knum then lists[knum] = v end<br />
end<br />
<br />
-- Listen splitten<br />
local maxListLen = 0<br />
for i = 1, #lists do<br />
lists[i] = mw.text.split(lists[i], sep)<br />
if #lists[i] > maxListLen then maxListLen = #lists[i] end<br />
end<br />
<br />
-- Ergebnisstring generieren<br />
local result = ""<br />
local result_line = ""<br />
for i = 1, maxListLen do<br />
result_line = pformat<br />
for j = 1, #lists do<br />
result_line = mw.ustring.gsub(result_line, "%%s", lists[j][i], 1)<br />
end<br />
result = result .. result_line<br />
end<br />
<br />
return result<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.listToText( frame )<br />
local args<br />
local template = frame.args.template<br />
if type( template ) == "string" then<br />
template = mw.text.trim( template )<br />
template = ( template == "1" )<br />
end<br />
if template then<br />
args = frame:getParent().args<br />
else<br />
args = frame.args<br />
end<br />
return Text.listToText( args, frame.args.format )<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.quote( frame )<br />
local slang = frame.args[2]<br />
if type( slang ) == "string" then<br />
slang = mw.text.trim( slang )<br />
if slang == "" then<br />
slang = false<br />
end<br />
end<br />
return Text.quote( frame.args[ 1 ] or "",<br />
slang,<br />
tonumber( frame.args[3] ) )<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.quoteUnquoted( frame )<br />
local slang = frame.args[2]<br />
if type( slang ) == "string" then<br />
slang = mw.text.trim( slang )<br />
if slang == "" then<br />
slang = false<br />
end<br />
end<br />
return Text.quoteUnquoted( frame.args[ 1 ] or "",<br />
slang,<br />
tonumber( frame.args[3] ) )<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.removeDiacritics( frame )<br />
return Text.removeDiacritics( frame.args[ 1 ] or "" )<br />
end<br />
<br />
function p.sentenceTerminated( frame )<br />
return Text.sentenceTerminated( frame.args[ 1 ] or "" ) and "1" or ""<br />
end<br />
<br />
function p.ucfirstAll( frame )<br />
return Text.ucfirstAll( frame.args[ 1 ] or "" )<br />
end<br />
<br />
function p.uprightNonlatin( frame )<br />
return Text.uprightNonlatin( frame.args[ 1 ] or "" )<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.zip(frame)<br />
local lists = {}<br />
local seps = {}<br />
local defaultsep = frame.args["sep"] or ""<br />
local innersep = frame.args["isep"] or ""<br />
local outersep = frame.args["osep"] or ""<br />
<br />
-- Parameter parsen<br />
for k, v in pairs(frame.args) do<br />
local knum = tonumber(k)<br />
if knum then lists[knum] = v else<br />
if string.sub(k, 1, 3) == "sep" then<br />
local sepnum = tonumber(string.sub(k, 4))<br />
if sepnum then seps[sepnum] = v end<br />
end<br />
end<br />
end<br />
-- sofern keine expliziten Separatoren angegeben sind, den Standardseparator verwenden<br />
for i = 1, math.max(#seps, #lists) do<br />
if not seps[i] then seps[i] = defaultsep end<br />
end<br />
<br />
-- Listen splitten<br />
local maxListLen = 0<br />
for i = 1, #lists do<br />
lists[i] = mw.text.split(lists[i], seps[i])<br />
if #lists[i] > maxListLen then maxListLen = #lists[i] end<br />
end<br />
<br />
local result = ""<br />
for i = 1, maxListLen do<br />
if i ~= 1 then result = result .. outersep end<br />
for j = 1, #lists do<br />
if j ~= 1 then result = result .. innersep end<br />
result = result .. (lists[j][i] or "")<br />
end<br />
end<br />
return result<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
function p.failsafe()<br />
return Text.serial<br />
end<br />
<br />
<br />
<br />
p.Text = function ()<br />
return Text<br />
end -- p.Text<br />
<br />
return p</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Module:OutputBuffer&diff=12945Module:OutputBuffer2022-05-23T11:07:32Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>return function()<br />
local buffer = {}<br />
return function(sep)<br />
local b = buffer<br />
buffer = {}<br />
return table.concat(b, sep)<br />
end,<br />
function(text)<br />
buffer[#buffer + 1] = text<br />
end,<br />
function(...)<br />
buffer[#buffer + 1] = string.format(...)<br />
end<br />
end</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Module:DemoTemplate&diff=12943Module:DemoTemplate2022-05-23T11:07:32Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>require('Module:No globals')<br />
<br />
local newBuffer = require('Module:OutputBuffer')<br />
local mt = {}<br />
<br />
function mt.__index(t, title)<br />
return function(frame)<br />
local getBuffer, print, printf = newBuffer()<br />
printf('{{%s', title)<br />
local ipairsArgs = {}<br />
for k,v in ipairs(frame.args) do<br />
if string.find(v, '=', 1, true) then<br />
break<br />
end<br />
ipairsArgs[k] = true<br />
printf('|%s', v)<br />
end<br />
for k,v in pairs(frame.args) do<br />
if not ipairsArgs[k] then<br />
printf('|%s=%s', string.gsub(k, '=', '{{=}}'), v)<br />
end<br />
end<br />
print('}}')<br />
local buffer = getBuffer()<br />
-- rather than calling expandTemplate with the title and args we have, call preprocess, so that our code example will always match our output, even in the cases of pipes or other things we should have escaped but didn't<br />
return string.format('<code>%s</code> &rarr; %s', mw.text.nowiki(buffer), frame:preprocess(buffer))<br />
end<br />
end<br />
<br />
return setmetatable({}, mt)</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Terminate_sentence/doc&diff=12941Template:Terminate sentence/doc2022-05-23T11:07:32Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{Documentation subpage}}<br />
{{Lua|Module:Text}}<br />
This template returns its first argument, after adding a full stop (or its second argument) if the sentence was not finished.<br />
== Usage ==<br />
* {{#invoke:DemoTemplate|{{BASEPAGENAME}}|The rain in Spain}}<br />
* {{#invoke:DemoTemplate|{{BASEPAGENAME}}|falls mainly on the plain.}}<br />
* {{#invoke:DemoTemplate|{{BASEPAGENAME}}|BANG|!}}<br />
<br />
<includeonly>{{sandbox other||<br />
<!-- Categories below this line --><br />
<br />
}}</includeonly></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Module:Key&diff=12937Module:Key2022-05-23T11:07:19Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>-- This module implements {{key press}}.<br />
<br />
local kbdPrefix = '<kbd class="keyboard-key nowrap">'<br />
<br />
local kbdSuffix = '</kbd>'<br />
<br />
local keyText = {<br />
['caps lock'] = '⇪ Caps Lock',<br />
['[[caps lock]]'] = '⇪ [[Caps Lock]]',<br />
['shift'] = '⇧ Shift',<br />
['[[shift key|shift]]'] = '⇧ [[Shift key|Shift]]',<br />
['enter'] = '↵ Enter',<br />
['[[enter key|enter]]'] = '↵ [[Enter key|Enter]]',<br />
['cmd'] = '⌘ Cmd',<br />
['[[command key|cmd]]'] = '⌘ [[Command key|Cmd]]',<br />
['command'] = '⌘ Command',<br />
['[[command key|command]]'] = '⌘ [[Command key|Command]]',<br />
['opt'] = '⌥ Opt',<br />
['[[option key|opt]]'] = '⌥ [[Option key|Opt]]',<br />
['option'] = '⌥ Option',<br />
['[[option key|option]]'] = '⌥ [[Option key|Option]]',<br />
['tab'] = 'Tab ↹',<br />
['[[tab key|tab]]'] = '[[Tab key|Tab]] ↹',<br />
['backspace'] = '← Backspace',<br />
['[[backspace]]'] = '← [[Backspace]]',<br />
['win'] = '⊞ Win',<br />
['[[windows key|win]]'] = '⊞ [[Windows key|Win]]',<br />
['menu'] = '≣ Menu',<br />
['[[menu key|menu]]'] = '≣ [[Menu key|Menu]]',<br />
['up'] = '↑',<br />
['[[arrow keys|up]]'] = '[[Arrow keys|↑]]',<br />
['down'] = '↓',<br />
['[[arrow keys|down]]'] = '[[Arrow keys|↓]]',<br />
['left'] = '←',<br />
['[[arrow keys|left]]'] = '[[Arrow keys|←]]',<br />
['right'] = '→',<br />
['[[arrow keys|right]]'] = '[[Arrow keys|→]]',<br />
['asterisk'] = '&#42;',<br />
['hash'] = '&#35;',<br />
['[[#]]'] = '[[Number sign|#]]',<br />
['colon'] = '&#58;',<br />
['[[:]]'] = '[[Colon (punctuation)|:]]',<br />
['pipe'] = '&#124;',<br />
['[[|]]'] = '[[Pipe symbol|&#124;]]',<br />
['semicolon'] = '&#59;',<br />
['[[;]]'] = '[[Semi-colon|&#59;]]',<br />
['equals'] = '&#61;',<br />
<br />
-- Left & right analog sticks.<br />
['l up'] = 'L↑',<br />
['l down'] = 'L↓',<br />
['l left'] = 'L←',<br />
['l right'] = 'L→',<br />
['l ne'] = 'L↗',<br />
['l se'] = 'L↘',<br />
['l nw'] = 'L↖',<br />
['l sw'] = 'L↙',<br />
<br />
['r up'] = 'R↑',<br />
['r down'] = 'R↓',<br />
['r left'] = 'R←',<br />
['r right'] = 'R→',<br />
['r ne'] = 'R↗',<br />
['r se'] = 'R↘',<br />
['r nw'] = 'R↖',<br />
['r sw'] = 'R↙',<br />
<br />
-- PlayStation.<br />
['ex'] = '×',<br />
['circle'] = '○',<br />
['square'] = '□',<br />
['triangle'] = '△',<br />
<br />
-- Nintendo 64 and GameCube.<br />
['c up'] = 'C↑',<br />
['c down'] = 'C↓',<br />
['c left'] = 'C←',<br />
['c right'] = 'C→',<br />
['c ne'] = 'C↗',<br />
['c se'] = 'C↘',<br />
['c nw'] = 'C↖',<br />
['c sw'] = 'C↙',<br />
}<br />
<br />
local keyAlias = {<br />
-- ['alternate name for key (alias)'] = 'name for key used in key table'<br />
['[[cmd key|cmd]]'] = '[[command key|cmd]]',<br />
['[[cmd key|command]]'] = '[[command key|command]]',<br />
['[[opt key|opt]]'] = '[[option key|opt]]',<br />
['[[option key]]'] = '[[option key|option]]',<br />
['[[opt key|option]]'] = '[[option key|option]]',<br />
['[[win key|win]]'] = '[[windows key|win]]',<br />
['*'] = 'asterisk',<br />
['#'] = 'hash',<br />
[':'] = 'colon',<br />
[';'] = 'semicolon',<br />
['l-up'] = 'l up',<br />
['l-down'] = 'l down',<br />
['l-left'] = 'l left',<br />
['l-right'] = 'l right',<br />
['l-ne'] = 'l ne',<br />
['l-se'] = 'l se',<br />
['l-nw'] = 'l nw',<br />
['l-sw'] = 'l sw',<br />
['r-up'] = 'r up',<br />
['r-down'] = 'r down',<br />
['r-left'] = 'r left',<br />
['r-right'] = 'r right',<br />
['r-ne'] = 'r ne',<br />
['r-se'] = 'r se',<br />
['r-nw'] = 'r nw',<br />
['r-sw'] = 'r sw',<br />
['ps x'] = 'ex',<br />
['ps c'] = 'circle',<br />
['ps s'] = 'square',<br />
['ps t'] = 'triangle',<br />
['c-up'] = 'c up',<br />
['c-down'] = 'c down',<br />
['c-left'] = 'c left',<br />
['c-right'] = 'c right',<br />
['c-ne'] = 'c ne',<br />
['c-se'] = 'c se',<br />
['c-nw'] = 'c nw',<br />
['c-sw'] = 'c sw',<br />
}<br />
<br />
local Collection = {}<br />
Collection.__index = Collection<br />
do<br />
function Collection:add(item)<br />
if item ~= nil then<br />
self.n = self.n + 1<br />
self[self.n] = item<br />
end<br />
end<br />
function Collection:join(sep)<br />
return table.concat(self, sep)<br />
end<br />
function Collection:sort(comp)<br />
table.sort(self, comp)<br />
end<br />
function Collection.new()<br />
return setmetatable({n = 0}, Collection)<br />
end<br />
end<br />
<br />
local function keyPress(args)<br />
local chainNames = {<br />
'chain first',<br />
'chain second',<br />
'chain third',<br />
'chain fourth',<br />
'chain fifth',<br />
'chain sixth',<br />
'chain seventh',<br />
'chain eighth',<br />
'chain ninth',<br />
}<br />
local result = Collection.new()<br />
local chainDefault = args.chain or '+'<br />
for i, id in ipairs(args) do<br />
if i > 1 then<br />
result:add(args[chainNames[i - 1]] or chainDefault)<br />
end<br />
local lc = id:lower()<br />
local text = keyText[lc] or keyText[keyAlias[lc]] or id<br />
result:add(kbdPrefix .. text .. kbdSuffix)<br />
end<br />
return mw.getCurrentFrame():extensionTag{<br />
name = 'templatestyles', args = { src = 'Template:Key press/styles.css'} <br />
} .. result:join()<br />
end<br />
<br />
local function keypress(frame)<br />
-- Called by "{{key press|...}}".<br />
-- Using the template doubles the post‐expand include size.<br />
return keyPress(frame:getParent().args)<br />
end<br />
<br />
local function press(frame)<br />
-- Called by "{{#invoke:key|press|...}}".<br />
return keyPress(frame.args)<br />
end<br />
<br />
return {<br />
keypress = keypress,<br />
press = press,<br />
}</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Module:Aligned_table&diff=12935Module:Aligned table2022-05-23T11:07:18Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>-- This module implements {{aligned table}}<br />
local p = {}<br />
<br />
local function isnotempty(s)<br />
return s and s:match( '^%s*(.-)%s*$' ) ~= ''<br />
end<br />
<br />
function p.table(frame)<br />
local args = (frame.args[3] ~= nil) and frame.args or frame:getParent().args<br />
local entries = {}<br />
local colclass = {}<br />
local colstyle = {}<br />
local cols = tonumber(args['cols']) or 2<br />
<br />
-- create the root table<br />
local root = mw.html.create('table')<br />
<br />
-- add table style for fullwidth<br />
if isnotempty(args['fullwidth']) then<br />
root<br />
:css('width', '100%')<br />
:css('border-collapse', 'collapse')<br />
:css('border-spacing', '0px 0px')<br />
:css('border', 'none')<br />
end<br />
<br />
-- add table classes<br />
if isnotempty(args['class']) then<br />
root:addClass(args['class'])<br />
end<br />
<br />
-- add table style<br />
if isnotempty(args['style']) then<br />
root:cssText(args['style'])<br />
end<br />
<br />
-- build arrays with the column styles and classes<br />
if isnotempty(args['leftright']) then<br />
colstyle[1] = 'text-align:left;'<br />
colstyle[2] = 'text-align:right;'<br />
end<br />
if isnotempty(args['rightleft']) then<br />
colstyle[1] = 'text-align:right;'<br />
colstyle[2] = 'text-align:left;'<br />
end<br />
for i = 1,cols do<br />
colclass[ i ] = colclass[ i ] or ''<br />
colstyle[ i ] = colstyle[ i ] or ''<br />
if isnotempty(args['colstyle']) then<br />
colstyle[ i ] = args['colstyle'] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
end<br />
if isnotempty(args['colalign' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = 'text-align:' .. args['colalign' .. tostring(i)] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
elseif isnotempty(args['col' .. tostring(i) .. 'align']) then<br />
colstyle[ i ] = 'text-align:' .. args['col' .. tostring(i) .. 'align'] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
elseif isnotempty(args['align' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = 'text-align:' .. args['align' .. tostring(i)] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
end<br />
if isnotempty(args['colnowrap' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = 'white-space:nowrap;' .. colstyle[ i ]<br />
elseif isnotempty(args['col' .. tostring(i) .. 'nowrap']) then<br />
colstyle[ i ] = 'white-space:nowrap;' .. colstyle[ i ]<br />
elseif isnotempty(args['nowrap' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = 'white-space:nowrap;' .. colstyle[ i ]<br />
end<br />
if isnotempty(args['colwidth' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = 'width:' .. args['colwidth' .. tostring(i)] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
elseif isnotempty(args['col' .. tostring(i) .. 'width']) then<br />
colstyle[ i ] = 'width:' .. args['col' .. tostring(i) .. 'width'] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
elseif isnotempty(args['colwidth']) then<br />
colstyle[ i ] = 'width:' .. args['colwidth'] .. ';' .. colstyle[ i ]<br />
end<br />
if isnotempty(args['colstyle' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = colstyle[ i ] .. args['colstyle' .. tostring(i)]<br />
elseif isnotempty(args['col' .. tostring(i) .. 'style']) then<br />
colstyle[ i ] = colstyle[ i ] .. args['col' .. tostring(i) .. 'style']<br />
elseif isnotempty(args['style' .. tostring(i)]) then<br />
colstyle[ i ] = colstyle[ i ] .. args['style' .. tostring(i)]<br />
end<br />
if isnotempty(args['colclass' .. tostring(i)]) then<br />
colclass[ i ] = args['colclass' .. tostring(i)]<br />
elseif isnotempty(args['col' .. tostring(i) .. 'class']) then<br />
colclass[ i ] = args['col' .. tostring(i) .. 'class']<br />
elseif isnotempty(args['class' .. tostring(i)]) then<br />
colclass[ i ] = args['class' .. tostring(i)]<br />
end<br />
end<br />
-- compute the maximum cell index<br />
local cellcount = 0<br />
for k, v in pairs( args ) do<br />
if type( k ) == 'number' then<br />
cellcount = math.max(cellcount, k)<br />
end<br />
end<br />
-- compute the number of rows<br />
local rows = math.ceil(cellcount / cols)<br />
<br />
-- build the table content<br />
if isnotempty(args['title']) then<br />
local caption = root:tag('caption')<br />
caption:cssText(args['titlestyle'])<br />
caption:wikitext(args['title'])<br />
end<br />
if isnotempty(args['above']) then<br />
local row = root:tag('tr')<br />
local cell = row:tag('th')<br />
cell:attr('colspan', cols)<br />
cell:cssText(args['abovestyle'])<br />
cell:wikitext(args['above'])<br />
end<br />
for j=1,rows do<br />
-- start a new row<br />
local row = root:tag('tr')<br />
if isnotempty(args['rowstyle']) then<br />
row:cssText(args['rowstyle'])<br />
else<br />
row:css('vertical-align', 'top')<br />
end<br />
if isnotempty(args['rowclass']) then<br />
row:addClass(args['rowclass'])<br />
end<br />
-- loop over the cells in the row<br />
for i=1,cols do<br />
local cell<br />
if isnotempty(args['row' .. tostring(j) .. 'header']) then<br />
cell = row:tag('th'):attr('scope','col')<br />
elseif isnotempty(args['col' .. tostring(i) .. 'header']) then<br />
cell = row:tag('th'):attr('scope','row')<br />
else<br />
cell = row:tag('td')<br />
end<br />
if args['class' .. tostring(j) .. '.' .. tostring(i)] then<br />
cell:addClass(args['class' .. tostring(j) .. '.' .. tostring(i)])<br />
else<br />
if args['rowclass' .. tostring(j)] then<br />
cell:addClass(args['rowclass' .. tostring(j)])<br />
elseif args['row' .. tostring(j) .. 'class'] then<br />
cell:addClass(args['row' .. tostring(j) .. 'class'])<br />
elseif args['rowevenclass'] and math.fmod(j,2) == 0 then<br />
cell:addClass(args['rowevenclass'])<br />
elseif args['rowoddclass'] and math.fmod(j,2) == 1 then <br />
cell:addClass(args['rowoddclass'])<br />
end<br />
if colclass[i] ~= '' then<br />
cell:addClass(colclass[i])<br />
end<br />
end<br />
if args['style' .. tostring(j) .. '.' .. tostring(i)] then<br />
cell:cssText(args['style' .. tostring(j) .. '.' .. tostring(i)])<br />
else<br />
if args['rowstyle' .. tostring(j)] then<br />
cell:cssText(args['rowstyle' .. tostring(j)])<br />
elseif args['rowevenstyle'] and math.fmod(j,2) == 0 then<br />
cell:cssText(args['rowevenstyle'])<br />
elseif args['rowoddstyle'] and math.fmod(j,2) == 1 then <br />
cell:cssText(args['rowoddstyle'])<br />
elseif args['row' .. tostring(j) .. 'style'] then<br />
cell:cssText(args['row' .. tostring(j) .. 'style'])<br />
end<br />
if isnotempty(colstyle[i]) then<br />
cell:cssText(colstyle[i])<br />
end<br />
end<br />
cell:wikitext(mw.ustring.gsub(args[cols*(j - 1) + i] or '', '^(.-)%s*$', '%1') or '')<br />
end<br />
end<br />
-- return the root table<br />
return tostring(root)<br />
end<br />
<br />
return p</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Var_serif/styles.css&diff=12933Template:Var serif/styles.css2022-05-23T11:07:18Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>.var-serif {<br />
font-family: "Nimbus Roman No9 L", "Times New Roman", Times, serif;<br />
font-size: 118%;<br />
line-height: 1;<br />
}</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Var_serif&diff=12931Template:Var serif2022-05-23T11:07:18Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{<includeonly>safesubst:</includeonly>ifsubst|1=|2=<templatestyles src="Var serif/styles.css" />}}<var class="var-serif {{#if:{{{class|}}}|{{{class}}}}}" {{#if:{{{id|}}}|id="{{{id}}}"}} {{#if:{{{style|}}}|style="{{{style}}}"}} {{#if:{{{lang|}}}|lang="{{{lang}}}"}} {{#if:{{{title|}}}|title="{{{title}}}"}}>{{{1}}}</var><noinclude><br />
<!--Categories and interwikis go near the bottom of the /doc page.--><br />
{{Documentation}}<br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Var&diff=12929Template:Var2022-05-23T11:07:18Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><var {{#if:{{{class|}}}|class="{{{class}}}"}} {{#if:{{{id|}}}|id="{{{id}}}"}} style="padding-right: 1px;{{{style|}}}" {{#if:{{{lang|}}}|lang="{{{lang}}}"}} {{#if:{{{title|}}}|title="{{{title}}}"}}>{{{1}}}</var><noinclude><br />
<!--Categories and interwikis go near the bottom of the /doc page.--><br />
{{Documentation}}<br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Tnull&diff=12927Template:Tnull2022-05-23T11:07:18Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Template link null]]<br />
<br />
{{Redirect category shell|<br />
{{R from move}}<br />
}}</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Tls&diff=12925Template:Tls2022-05-23T11:07:18Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Template link with subst]]<br />
<br />
{{Redirect category shell|<br />
{{R from move}}<br />
}}</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Tlnull&diff=12923Template:Tlnull2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Template link null]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Tld&diff=12921Template:Tld2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Template link code]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Tlb&diff=12919Template:Tlb2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Template link with bold]]<br />
<br />
{{Redirect category shell|<br />
{{R from move}}<br />
}}</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Thin_space&diff=12917Template:Thin space2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><span style="white-space: nowrap;">{{#if:{{{1|}}}|{{#if:{{{2|}}}||&thinsp;}}}}{{{1|}}}&thinsp;<!--<br />
-->{{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}}}{{#if:{{{3|}}}|&thinsp;{{{3}}}}}<!--<br />
-->{{#if:{{{4|}}}|&thinsp;{{{4}}}}}{{#if:{{{5|}}}|&thinsp;{{{5}}}}}<!--<br />
-->{{#if:{{{6|}}}|&thinsp;{{{6}}}}}{{#if:{{{7|}}}|&thinsp;{{{7}}}}}<!--<br />
-->{{#if:{{{8|}}}|&thinsp;{{{8}}}}}{{#if:{{{9|}}}|&thinsp;{{{9}}}}}<!--<br />
-->{{#if:{{{10|}}}|&thinsp;{{{10}}}}}</span><noinclude><br />
<br />
{{Documentation}}<br />
<!-- Please add categories to the /doc subpage; interwikis go to Wikidata, thank you! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Template_link_with_subst&diff=12915Template:Template link with subst2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{#Invoke:Template link general|main|subst=yes}}<noinclude><br />
{{Documentation|1=Template:Tlg/doc<br />
|content = {{tlg/doc|tls|tlsp}}<br />
}}<br />
<!-- Add categories to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Template_link_with_bold&diff=12913Template:Template link with bold2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{#Invoke:Template link general|main|bold=on}}<noinclude><br />
{{Documentation|1=Template:Tlg/doc<br />
|content = {{tlg/doc|tlb}}<br />
}}<br />
<!-- Add categories to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Template_link_null&diff=12911Template:Template link null2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><includeonly>{{#Invoke:Template link general|main|nolink=yes|code=yes}}</includeonly><noinclude><br />
{{Documentation|1=Template:Tlg/doc<br />
|content = {{tlg/doc|tnull}}<br />
}}<br />
<!-- Add categories to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Template_link_code&diff=12909Template:Template link code2022-05-23T11:07:17Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><includeonly>{{#Invoke:Template link general|main|nolink=yes|code=yes|nowrap=yes}}</includeonly><noinclude><br />
{{Documentation|1=Template:Tlg/doc<br />
|content = {{tlg/doc|tlc}}<br />
}}<br />
<!-- Add categories to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Stronggood&diff=12907Template:Stronggood2022-05-23T11:07:16Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:0}}|{{FormattingError|Template:Stronggood is only for use in template documentation, guidelines and other Wikipedia-internal purposes. Do not use it in actual articles.}}|{{strong|1={{{1}}}|style=color:green;{{{style|}}} |role={{{role|}}} |class={{{class|}}} |id={{{id|}}} |title={{{title|}}} }} }}<noinclude><br />
{{documentation}}<br />
<!-- Add cats and interwikis to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Strongbad&diff=12905Template:Strongbad2022-05-23T11:07:16Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{main other|{{FormattingError|Template:Strongbad is only for use in template documentation, guidelines and other Wikipedia-internal purposes. Do not use it in actual articles.}}|{{strong|1={{{1}}}|style=color: red; {{{style|}}} |role={{{role|}}} |class={{{class|}}} |id={{{id|}}} |title={{{title|}}} }}}}<noinclude><br />
{{documentation}}<br />
<!-- Add cats and interwikis to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Strong/doc&diff=12903Template:Strong/doc2022-05-23T11:07:14Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{Documentation subpage}}<br />
<!-- PLEASE ADD CATEGORIES WHERE INDICATED AT THE BOTTOM OF THIS PAGE --><br />
<br />
== Purpose ==<br />
<br />
This template makes it faster and easier to apply the {{tag|strong}} {{strong|importance, seriousness, or urgency}} [[HTML element]] to text, and more importantly to indicate to human and bot editors they should not use <code><nowiki>'''...'''</nowiki></code> or {{tag|b}} typographic boldfacing to replace the intentional and semantically meaningful {{tag|strong|open}}. The {{tag|strong}} element is usually rendered visually in a bold (heavy) typeface by default on graphical browsers, but can be parsed and acted upon in customizable ways with style sheets, apps and text-to-speech screen readers. It is said to be [[semantic markup]], i.e. markup that conveys meaning or context, not just visual appearance. Simple boldfacing is purely typographic and is semantically meaningless. It is most often used for headings, but has a few other uses (such as for book or film titles and the like, which are usually italicized, when they appear in an already-italicized passage). The average reader, and average editor, do not and need not care about this distinction most of the time, but it can be important and editors who understand it can use this template as a baseline insurance against accidental or careless replacement by bots and human editors.<br />
<br />
== Usage ==<br />
<br />
:{{tlnull|strong|<var>important text</var>}}<br />
<br />
or, if the important text contains an equals sign:<br />
:{{tlnull|strong|'''1{{=}}'''<var>important text</var>}}<br />
<br />
These both render as:<br />
:{{strong|important text}}<br />
<br />
This template puts intentional and explicit {{tag|strong}} (importance, seriousness, or urgency) HTML markup around the text provided as the first parameter. It is safest to always use the {{para|1}} syntax.<br />
<br />
===Optional parameters===<br />
Advanced HTML values can be passed through the template to the HTML code:<br />
* {{para|role}} takes a WAI-ARIA role; adds <code>role="<var>rolename</var>"</code> to the HTML code<br />
* {{para|class}} takes a class name (or multiple class names, separated by spaces); adds <code>class="<var>classname[s]</var>"</code> to the HTML code<br />
* {{para|style}} takes inline CSS input; adds <code>style="<var>CSS directive[s]</var>"</code> to the HTML code<br />
* {{para|id}} takes a valid, unique HTML id (must begin with an alphabetic letter); adds <code>id="<var>name</var>"</code> to the HTML code<br />
* {{para|title}} takes text, which cannot be marked up in any way, and displays it as a pop-up "tooltip" when the cursor hovers over the {{tnull|strong}} span<br />
<br />
===Use cases===<br />
{{more|Wikipedia:WikiProject Usability/Scannability}}<br />
This template is made to mark important words or phrases in a text, in a way that is (unlike simply boldfacing it) [[Semantic markup|semantically meaningful markup]]. With this technique, the important text strongly stands out from the rest in most if not all visual browsers and some text-to-speech screen readers (which usually ignore purely typographic boldfacing), and can also be parsed by user agents and other software as definitively indicating importance, not just some typographic boldface effect for appearance's sake. It should therefore only be used very sparingly in articles to highlight the most important words or phrases in the entire article (and, rarely in encyclopedic writing, to represent relative importance). Use of this template has a strong effect on scannability, drawing the eye from elsewhere on the page to words marked up with the template.<br />
<br />
Typical uses on Wikipedia:<br />
* In the [[WP:LEAD|lead section of an article]], the article's title and its synonyms {{em|should}} be marked with {{tnull|strong}}. Example: "The {{strong|soma}}, or {{strong|perikaryon}}, or {{strong|cyton}}, is the bulbous end of a neuron." {{As of|July 2021}}, this is not yet common, but users should not revert it (nor criticize anyone for not using it).<br />
* After the lead, it {{em|can}} be used to highlight crucial terms of importance only slightly secondary to that of the article title and its synonyms. For example, the article on a viral infection might use {{tnull|strong}} to highlight the names of two identified strains of the disease in a "Varieties" section, as an aid to scannability.<br />
* In unusual cases (most often direct quotations) it is used to represent contextually important text, if the passage were spoken rather than written (e.g., because it indicates shouting).<br />
* Outside articles, it {{em|should}} be used (but {{as of|July 2021|lc=y}} isn't yet common) in polls, XfD processes, RfX votes, and similar comments and debates where users indicate that they approve of or disagree with a view or proposal. Example: "{{strong|Support}}, because of this and that reasons [...]" or "{{strong|Oppose}}, because of this and that reasons [...]".<br />
<br />
== When this template should not be used ==<br />
<br />
Because {{tnull|strong}} is strictly for semantic (meaningful) importance, it should not be used for layout, typography conventions and such. In these different cases, bold <code><nowiki>'''...'''</nowiki></code> (which resolves to {{tag|b}} in the browser or other user agent) should be used instead. It should also not be used when the text to which it is applied is already boldfaced for some other reason (e.g., it is part of a heading); in such cases use {{tlx|em}} instead. Avoid using {{tnull|strong}} in non-quoted sentences that end in an exclamation point. And it is usually excessive to use it on terms that are already wikilinked, since the link markup acts to indicate importance itself.<br />
<br />
==See also==<br />
* {{tlx|strongbad}} – same but red<br />
* {{tlx|stronggood}} – same but green<br />
* {{tlx|em}} – for italic rather than bold semantic emphasis<br />&nbsp;<br />
<br />
{{Semantic markup templates}}<br />
<br />
<includeonly>{{Sandbox other||<br />
<!-- CATEGORIES BELOW THIS LINE, PLEASE: --><br />
[[Category:Semantic markup templates]]<br />
[[Category:Wikipedia XHTML tag-replacing templates]]<br />
}}</includeonly></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Semantic_markup_templates&diff=12901Template:Semantic markup templates2022-05-23T11:07:12Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{Navbox<br />
| name = Semantic markup templates<br />
| state = {{{state|{{{1|<includeonly>collapsed</includeonly>}}}}}}<br />
| title = {{c|Semantic markup templates}}<br />
| liststyle = font-size:110%;<br />
| tracking = no <!-- keep the documented templates out of the hlist tracking category --><br />
<br />
| list1 =<br />
{{Aligned table<br />
|cols=3 |class=sortable |style=line-height:1.35em;text-align:left;<br />
|colstyle=<!--vertical-align:middle;-->padding-right:1.0em;<br />
|col2style=white-space:nowrap; |col3style=white-space:normal;<br />
|row1style=line-height:1.6em;<br />
|row1header=on<br />
| Template&nbsp; | Example output&nbsp; | Use&nbsp;<br />
<br />
| {{tlb|strong}} | {{strong|Important!}} | To indicate [[HTML element#strong|<nowiki><strong></nowiki>]] importance, seriousness, or urgency instead of just simple typographical boldfacing<br />
| {{tlb|strongbad}} | "{{strongbad|Never}} use&thinsp;..." | Same as {{braces|strong}} but in red<br />
| {{tlb|stronggood}} | "{{stronggood|Only}} use&thinsp;..." | Same as {{braces|strong}} but in green<br />
| {{tlb|em}} | "An {{em|emphatic phrase}}" | To indicate [[HTML element#em|<nowiki><em></nowiki>]] stress emphasis (not just purely typographical italicization like for book titles or foreign terms)<br />
| {{tlb|var}} | {{var|strPrefix}} | To indicate text is a variable name. Use for any variable names except those including "I" (uppercase&nbsp;i) and/or "l" (lowercase&nbsp;L); for these, {{braces|var serif}} should be used to ensure a noticeable distinction<br />
| {{tlb|var serif}} | {{var serif|strIllustratePrefix}} | (see {{braces|var}} above)<br />
| {{tlb|tld}} | {{tld|DEFAULTSORT:Y, X}} | To display wikicode variables and [[Help:Magic words|magic words]] as they would appear in code<br />
| {{tlb|para}} | {{para|year|2008}} | To display template parameters with or without values<br />
| {{tlb|param}} | {{param|title|alt}} | To display parameters as used in code (i.e. with triple braces), especially to indicate relationships between them. May be combined with {{braces|para}} above<br />
| {{tlb|param value}}| {{pvalue| 2 blanks fore and aft |space=·}} | To display parameter values lightly bordered; replaces &lt;code>...&lt;/code>, especially when value contains embedded or leading/trailing blanks; visualized here with [[middot]] (&middot;) but can use ␠, ▯, or any character.<br />
| {{tlb|tlx}} etc. | {{tlx|Template|{{var|1}}|{{var|2}}|...|{{var|10}}}} | To display a template call (with or without parameters and values) as code<br />
| {{tlb|tag}} | {{resize|95%|"The {{tag|img}} tags&thinsp;..."}} | To render [[HTML element]]s ("tags") in prose<br />
| {{tlb|code}}/{{tlb|codett}} | {{nowrap|{{resize|95%|"Ensure the {{code|1=alt=}} parameter&thinsp;..."}}}} | To indicate text is source code. To nest other templates within {{braces|code}}, use {{tag|code}}. {{tl|codett}} differs only in styling: {{code|someMethod}} becomes {{codett|someMethod}}<br />
| {{tls|codenowiki}} | <code><nowiki>{{small|small text}}</nowiki></code> | To wrap example code in {{code|<code><<nowiki>nowiki</nowiki>>...<<nowiki>/nowiki</nowiki>></code>}}<br />
| {{tls|kbdnowiki}} | <kbd><nowiki>{{big|big text}}</nowiki></kbd> | To wrap example code in {{code|<kbd><<nowiki>nowiki</nowiki>>...<<nowiki>/nowiki</nowiki>></kbd>}}<br />
<br />
| {{tlb|syntaxhighlight}} | &nbsp; &nbsp; <sub>[this is a block template]</sub> | ({{thin space|or {{tlx|sxhl}}}})&nbsp; Wrapper for {{tag|syntaxhighlight}}, but will wrap overflowing text<br />
| {{tlb|deprecated code}} | "Do not use {{tag|{{deprecated code|blink}}|o}}." | ({{thin space|or {{tlx|dc}}}})&nbsp; To indicate [[Deprecation|deprecated]] source code in template documentation, articles on HTML specs, etc. The {{tlx|dc2}} variant uses {{nowrap|strike-through}} ({{tag|{{dc2|blink}}|o}}) while {{tlx|dcr}} uses red ({{tag|{{dcr|blink}}|o}}).<br />
| {{tlb|pre}} | &nbsp; &nbsp; <sub>[this is a block template]</sub> | For larger blocks of source code and other pre-formatted text<br />
| {{tlb|quote}} | &nbsp; &nbsp; <sub>[this is a block template]</sub> | For block quotations (only – never for non-quotations)<br />
| {{tlb|block indent}} | &nbsp; &nbsp; <sub>[this is a block template]</sub> | For indented blocks of material; visually identical to {{tlx|quote}} but without quote markup<br />
| {{tlb|kbd}} | {{kbd|user input}} | To indicate user input<br />
| {{tlb|key press}} | {{key press|Ctrl|x}} | To indicate specific-keystroke input, including combinations<br />
| {{tlb|key top}} | {{key top|Left shift}} | Similar; includes more symbols, but does not directly support combinations<br />
| {{tlb|PlayStation key press}} | {{lower|0.17em|{{PlayStation key press|square}}}} | To indicate PlayStation-style gamepad key presses<span style{{=}}"display: inline-block; padding-top: 0.3em; padding-bottom: 0.1em;">&nbsp;</span><br />
| {{tlb|button}} | {{button|Don't save}} | To indicate a button in a user interface<br />
| {{tlb|samp}} | {{samp|example output}} | To indicate sample or example output<br />
}}<br />
<br />
}}<noinclude>{{Documentation}}</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Samp&diff=12899Template:Samp2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><samp {{#if:{{{class|}}}|class="{{{class}}}"}} {{#if:{{{id|}}}|id="{{{id}}}"}} style="padding-left:0.4em; padding-right:0.4em; color:{{{color|#666666}}}; {{{style|}}}" {{#if:{{{lang|}}}|lang="{{{lang}}}"}} {{#if:{{{title|}}}|title="{{{title}}}"}}>{{{1}}}</samp><noinclude><br />
<!--Categories and interwikis go near the bottom of the /doc page.--><br />
{{Documentation}}<br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Resize&diff=12897Template:Resize2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{safesubst<noinclude />:#if:{{{2|}}}<br />
|<{{#ifeq:{{{div|}}}|yes|div|span}} style="font-size:{{{1|}}};">{{{2|}}}</{{#ifeq:{{{div|}}}|yes|div|span}}><br />
|<{{#ifeq:{{{div|}}}|yes|div|span}} style="font-size:90%;">{{{1}}}</{{#ifeq:{{{div|}}}|yes|div|span}}><br />
}}<noinclude><br />
{{Documentation}}<br />
<!-- Add categories to the /doc subpage and interwikis in Wikidata, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Replace&diff=12895Template:Replace2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{<includeonly>safesubst:</includeonly>#invoke:String|replace|source={{{1}}}|{{{2}}}|{{{3}}}|plain={{{plain|true}}}|count={{{count|}}}}}<noinclude><br />
{{documentation}}<br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Pvalue&diff=12893Template:Pvalue2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Param value]]</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:PlayStation_key_press&diff=12891Template:PlayStation key press2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{#switch:{{lc:{{{1|x}}}}}<br />
|o|0|circle = <kbd class="playstation-key nowrap" style="border:1px solid #aaa; border-radius:1.5em; box-shadow: 0px 0px 3.5px grey; background-image:radial-gradient(#4C4C4C, black); padding:0.1em 0.4em; font-size:1.25em; font-weight:bold; font-family:inherit; color: tomato">'''⭕'''</kbd><br />
|x = <kbd class="playstation-key nowrap" style="border:1px solid #aaa; border-radius:1.5em; box-shadow: 0px 0px 3.5px grey; background-image:radial-gradient(#4C4C4C, black); padding:0.1em 0.4em; font-size:1.25em; font-weight:bold; font-family:inherit; color: lightblue">'''✕'''</kbd><br />
|a|t|tr|triangle|∆|△ = <kbd class="playstation-key nowrap" style="border:1px solid #aaa; border-radius:1.5em; box-shadow: 0px 0px 3.5px grey; background-image:radial-gradient(#4C4C4C, black); padding:0.1em 0.4em; font-size:1.25em; font-weight:bold; font-family:inherit; color: lightgreen">'''△'''</kbd><br />
|s|sq|square|□ = <kbd class="playstation-key nowrap" style="border:1px solid #aaa; border-radius:1.5em; box-shadow: 0px 0px 3.5px grey; background-image:radial-gradient(#4C4C4C, black); padding:0.1em 0.4em; font-size:1.25em; font-weight:bold; font-family:inherit; color: pink">'''☐'''</kbd><br />
}}<noinclude><br />
{{documentation}}<br />
<!-- Please add this template's categories to the /doc subpage - thanks! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Param_value&diff=12889Template:Param value2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><code style="border:{{{border|{{{b|thin solid #caa}}}}}};background-color:{{{bg-color|{{{bg|white}}}}}};padding:1px 2px 0 1px;margin:0 2px 0 1px;white-space:nowrap;{{{style|}}}">{{replace|{{replace|{{replace|{{replace|{{replace|<includeonly>⊗ϑ{{{1|}}}⊗ϑ</includeonly><noinclude>value</noinclude>| |{{{space|{{{sp|&nbsp;}}}}}}}}|#|&#35;}}|*|&#42;}}|:|&#58;}}|⊗ϑ|}}</code><noinclude><br />
{{Documentation}}<br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Param&diff=12887Template:Param2022-05-23T11:07:11Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>{{SAFESUBST:<noinclude />#ifeq:{{SAFESUBST:<noinclude />Yesno|{{{nested|no}}}}}|yes||<{{{tag|code}}}>}}&#123;&#123;&#123;{{{1<noinclude>|foo</noinclude>}}}{{SAFESUBST:<noinclude />#ifeq:{{{2}}}|{{{2|}}} |&#124;}}{{{2|}}}&#125;&#125;&#125;{{SAFESUBST:<noinclude />#ifeq:{{SAFESUBST:<noinclude />Yesno|{{{nested|no}}}}}|yes||</{{{tag|code}}}>}}<noinclude><br />
{{Documentation}}<br />
<!--<br />
PLEASE ADD CATEGORIES AND INTERWIKIS<br />
TO THE /doc SUBPAGE, THANKS<br />
--><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:More&diff=12885Template:More2022-05-23T11:07:10Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[Template:Further]]<br />
<br />
{{Redirect category shell|{{R from template shortcut}}}}</div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Lower&diff=12883Template:Lower2022-05-23T11:07:10Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><span style="position: relative; top: {{safesubst<noinclude />:#if:{{{2|}}}|{{{1}}}|0.6em}};">{{{2|{{{1}}}}}}</span><noinclude><br />
{{documentation}}<br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Key_top&diff=12881Template:Key top2022-05-23T11:07:10Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div><onlyinclude><kbd class="keyboard-key nowrap" style="border: 0.1em solid #AAA; border-radius:0.2em; box-shadow: 0.1em 0.2em 0.2em #DDD; background-color: #F9F9F9; background-image: linear-gradient(to bottom, #EEE, #F9F9F9, #EEE); padding: 0.1em 0.3em; font-family: inherit; font-size: 0.85em;">{{#switch:{{lc:{{{1}}}}}<br />
| shift lock = [[Shift Lock|⇪ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| second level lock | 2nd level lock | l2 lock<br />
| level 2 lock = ⇫ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| capitals lock<br />
| caps lock = [[Caps Lock|⇬ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| numeric lock = ⇭ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| num | num lock = {{{2|{{{1}}}}}} ⇩<br />
| third level lock | 3rd level lock | l3 lock<br />
| level 3 lock = ⇯ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| generalized lock | generalised lock<br />
| lock | general lock = ⇩ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| group lock = ⇰ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| scrolling<br />
| scrolling lock = ⇳ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| scroll | scroll lock = {{{2|{{{1}}}}}} ⇩<br />
| pause = ⎉ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| break = ⎊ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!--<br />
sleep ☾, hibernate, power ⌽, suspend<br />
| sysrq | sysreq<br />
| system request = {{{2|{{{1}}}}}}<br />
--><br />
<!-- level and group switching, modifiers --><br />
| second level | 2nd level<br />
| level 2 select | level 2 selector <br />
| level 2 | shift = [[Shift key|⇧ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| alternate graphic | alt graph | alt graphic | alt grill <br />
| alt car | alt char | right alt | ralt<br />
| alt group | alternate group | altgroup<br />
| altgr | alt gr<br />
| third level | 3rd level<br />
| level 3 select | level 3 selector<br />
| level 3 = [[AltGr key|⇮ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| group select | group selector<br />
| group = ⇨ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!-- Enter and Return --><br />
| enter = [[Enter key|⌅ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| return = [[Return key|{{#switch:{{{3|}}}|thin|narrow=↵|thick|hollow=⏎|bend||#default=↩}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| submit | send = ⎆ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!-- Option and Alt --><br />
| opt | option = [[Option key|⌥ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| alternate | left alt | lalt<br />
| alt = [[Alt key|⎇ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- Pre-IBM keys --><br />
| greek = [[Space-cadet keyboard|{{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| top = [[Space-cadet keyboard|{{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| front = [[Space-cadet keyboard|{{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| super = [[Super key (keyboard button)|❖ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| hyper = [[Space-cadet keyboard|✦ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| repeat = [[Space-cadet keyboard|{{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| code = [[MSX|⌃ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| graph = [[MSX|⎇ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| meta = [[Meta key|◆ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- Laptop keys --><br />
| function | fn = [[Fn key|{{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- deleting and erasing --><br />
| backwards erase | erase<br />
| backspace = [[Backspace|{{#if:{{{3|}}}|⟵|⌫}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| del | delete = [[Delete|⌦ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| ins | insert = {{#if:{{{3|}}}|⎀|⌤}} {{{2|{{{1}}}}}} <!-- ! --><br />
| clear input = ⌧ {{{2|Clear}}} <!-- ! --><br />
<!-- Escape --><br />
| esc | escape = [[Escape key|⎋ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- Control (symbol either ISO ⎈ or Apple ⌃) --><br />
| ctrl | control | helm = [[Control key|{{#if:{{{3|}}}|⎈|⌃}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- Vendor keys, Command (⊞ resembles the Windows logo) --><br />
| os | vendor<br />
| cmd | command = [[Command key|⌘ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| windows | win = [[Windows key|{{#if:{{{3|}}}|⊞|⌘}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| apple = [[Command key|⌘ {{{2|}}}]]<br />
<!--▤--><br />
| menu = [[Menu key|≣ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- Compose --><br />
| cmp | compose = [[Compose key|⎄ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
<!-- arrow cursor movement --><br />
| /\ = ⇡ {{{2|Up}}}<br />
| up | up arrow | move up = [[Arrow keys|{{#if:{{{3|}}}|🔼|↑}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| \/ = ⇣ {{{2|Down}}}<br />
| down | down arrow | move down = [[Arrow keys|{{#if:{{{3|}}}|🔽|↓}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| <- = ⇠ {{{2|Left}}}<br />
| left | left arrow | move left = [[Arrow keys|{{#if:{{{3|}}}|◀|←}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| -> = ⇢ {{{2|Right}}}<br />
| right | right arrow | move right = [[Arrow keys|{{#if:{{{3|}}}|▶|→}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| north west | north-west | nw | <\<br />
| top-left | top left = ↖<br />
| south east | south-east | se | \><br />
| bottom-right | bottom right = ↘<br />
| north east | north-east | ne | /><br />
| top-right | top right = ↗<br />
| south west | south-west | sw | </<br />
| bottom-left | bottom left = ↙<br />
<!-- tab --><br />
| tabulator | htab | horizontal tab | horizontal tabulator<br />
| tab = [[Tab key|{{{2|{{{1}}}}}} ↹]]<br />
| right tab = [[Tab key|{{{2|Tab}}} ⇥]] <!-- ! --><br />
| shift tab | left tab = [[Tab key|⇤ {{{2|Tab}}}]] <!-- ! --><br />
| vertical tab | vertical tabulator = ↨ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!--Home/End--><br />
| pos1 | start<br />
| home = [[Home key|{{#if:{{{3|}}}|↖|⇱}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| end = [[End key|{{#if:{{{3|}}}|↘|⇲}} {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| line start = ⇤ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| line end = ⇥ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| page start | top = ⤒ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| page end | bottom = ⤓ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!-- paged media --><br />
| page up | pgup | pg up = [[Page Up and Page Down keys|⇞ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| page down<br />
| pgdn | pgdown | pg down = [[Page Up and Page Down keys|⇟ {{{2|{{{1}}}}}}]]<br />
| left page | prev page | prev. page = ⎗ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| previous page = ⎗ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| right page | next page = ⎘ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!-- screen, note “clear input” ⌧ --><br />
| prtscr | prt scr | prtsc | prt sc<br />
| print, print screen = ⎙ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| clrscr | clr scr | cls | clr sc<br />
| clear | clear screen = ⎚ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!-- multimedia control; possible inconsistencies --><br />
| play | playback | start playback<br />
| scroll right = ▶ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| play reverse | reverse<br />
| scroll left = ◀ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| play/pause | play pause = ⏯ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| pause | pause playback = ‖ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| stop = {{#if:{{{3|}}}|◼|■}} {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| eject = ⏏ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| record = {{#if:{{{3|}}}|🔴|●}} {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| fwd | forward = ⏭ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| skip | skip forward = ⏭ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| skip back | skip backward = ⏮ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| backward | backwards<br />
| rewind = ⏪ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| ffad | fast forward = ⏩ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| downward | downwards = ⏬ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| skip down | scroll down = 🔽 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| upward | upwards = ⏫ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| skip up | scroll up = 🔼 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| random | randomize | rnd | rand = 🔀 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| repeat | rpt = 🔁 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| repeat once | rpt1 = 🔂 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| reload | refresh = 🔄 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| reception = 📶 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| mute = 🔇 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| volume down | quieter = 🔉 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| volume up | louder = 🔊 {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| home | house = ⌂ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<br />
<!-- telephones and other telematic devices, also numpad --><br />
| initiator | phone star = ✲ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| terminator | phone hash = ⌗ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| times | multiply | num star = × {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| divide | num slash = ÷ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<!-- spaces →<br />
| space | sp | space bar = ␣ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
| nbsp | non-breaking space = ⍽ {{{2|{{{1}}}}}}<br />
<br />
<!-- problematic characters --><br />
| asterisk | star<br />
| * = <nowiki>*</nowiki><br />
| hash | hash sign | pound | pound sign<br />
| # = [[Number sign|#]]<br />
| colon<br />
| : = [[Colon (punctuation)|:]]<br />
| pipe symbol | vertical bar<br />
| pipe = [[Pipe symbol|{{!}}]]<br />
| semicolon = <nowiki>;</nowiki><br />
| equals = <nowiki>=</nowiki><br />
<!-- PlayStation --><br />
| ex = ×<br />
| circle = ○<br />
| square = □<br />
| triangle = △<br />
<!-- default --><br />
| #default = {{{1}}}<br />
}}</kbd></onlyinclude><noinclude><br />
{{Documentation}}<!-- Add categories and interwikis links to the /doc subpage, not here! --><br />
</noinclude></div>Revathyhttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Template:Key_press/styles.css&diff=12879Template:Key press/styles.css2022-05-23T11:07:10Z<p>Revathy: 1 revision imported</p>
<hr />
<div>/* {{pp-template}} */<br />
.keyboard-key {<br />
border: 1px solid #aaa;<br />
border-radius: 0.2em;<br />
box-shadow: 0.1em 0.1em 0.2em rgba(0, 0, 0, 0.1);<br />
background-color: #f9f9f9;<br />
background-image: linear-gradient(to bottom, #eee, #f9f9f9, #eee);<br />
color: #000; /* Force black color to fix [[phab:T200258]] */<br />
padding: 0.1em 0.3em;<br />
font-family: inherit;<br />
font-size: 0.85em;<br />
}</div>Revathy