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<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
<br />
== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
<br />
== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
<br />
== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।<br />
<br />
=== एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण ===<br />
<br />
==== दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( [[wikipedia:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]] में अनुक्रम A005044)<br />
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इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।<br />
<br />
==== दी गई सबसे बड़ी भुजा वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक त्रिक की संख्या है जैसे कि a + b > c और a b ≤ c। यह पूर्णांक मान सीलिंग [<sup>(''c'' + 1)</sup>⁄2] * तल [<sup>(c + 1)</sup>⁄2] है। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरा त्रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)<sup>2</sup> /4 है। इसका यह भी अर्थ है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c - 2 बटा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से अधिक है। c = 1 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी भुजा c वाले गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (OEIS में अनुक्रम A002620)<br />
<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक त्रिगुण (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (a, b, c) जो व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक त्रिगुणों की संख्या है जैसे कि a + b > c , a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> ≤ c<sup>2</sup> और a ≤b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक पक्षीय अधिक या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c= 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS में अनुक्रम A236384)<br />
<br />
नतीजतन, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ न्यून पूर्णांक पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (OEIS में अनुक्रम A247588)<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल ====<br />
हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है तो<br />
<br />
4T = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}<br />
<br />
चूँकि सूत्र के दायीं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T<sup>2</sup> होना चाहिए और T<sup>2</sup> परिमेय होगा।<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज के कोण ====<br />
कोज्या के नियम(law of cosines) के अनुसार, एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण की एक परिमेय कोज्या होती है।<br />
<br />
यदि किसी त्रिभुज के कोण एक समांतर श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए। पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में भी परिमेय कोज्या होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की एक विधि नीचे दी गई है। हालांकि, एक समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, ऐसे कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो एक ज्यामितीय या हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप के परिमेय कोण होने चाहिए।<br />
<br />
(πp)/q तर्कसंगत 0 < p/q<1 के साथ लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोसाइन होने चाहिए और यह तभी होगा जब p/q=1/3:p.2 यानी पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के द्विभाजक का वर्ग परिमेय होता है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+ है c}}}{\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}} जहां s सेमीपरिमीटर है (और इसी तरह अन्य कोणों के द्विभाजक के लिए)।</nowiki><br />
<br />
==== पार्श्व एक ऊंचाई से विभाजित ====<br />
किसी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया कोई भी ऊँचाई या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को परिमेय लंबाई में विभाजित कर देगा।<br />
<br />
==== माध्यिकाओं ====<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका के दोगुने का वर्ग एक पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्य m<sub>a</sub> <sup>2</sup><nowiki> से भुजा a तक का सामान्य सूत्र {\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{ है) 2})}{4}}}{\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}, देना (2ma)</nowiki><sup>2</sup> = 2b<sup>2</sup> + 2c<sup>2</sup> - a<sup>2</sup> ( और इसी तरह अन्य पक्षों के मध्य के लिए)।<br />
<br />
==== वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या ====<br />
चूँकि एक पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसलिए इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंत:त्रिज्या का वर्ग होता है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की परिधि के अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय है, जो अर्धपरिमापी के लिए {\displaystyle {\tfrac {4T^{2}}{sabc}}}{\tfrac {4T^{2}}{sabc}} के बराबर है एस और क्षेत्र टी।</nowiki><br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय होता है, जो {\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.}{\tfrac {abc}{2(a+b) के बराबर होता है +सी)}}।</nowiki><br />
<br />
इस प्रकार यूलर के प्रमेय द्वारा R<sup>2</sup> - 2Rr के रूप में दी गई पूर्णांक त्रिभुज के अंतःकेंद्र और परिधि के बीच की वर्ग दूरी परिमेय है।<br />
<br />
== विशेष पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल लगातार पूर्णांक हैं, उसकी भुजाएँ (3, 4, 5) और क्षेत्रफल 6 है।<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसमें एक ऊँचाई और भुजाओं के लिए क्रमागत पूर्णांक होते हैं, भुजाएँ (13, 14, 15) और भुजा 14 से ऊँचाई 12 के बराबर होती है।<br />
* (2, 3, 4) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनकी अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं और जिनमें पूरक बाह्य कोण गुण हैं।यह गुण बताता है कि यदि कोण C अधिक है और यदि एक खंड को B से लंबवत रूप से AC को P पर विस्तारित करके गिराया जाता है, तो ∠CAB=2∠CBP।<br />
* (3, 4, 5) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र पूर्णांक समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।<br />
* (4, 5, 6) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनका एक कोण दूसरे कोण का दुगुना है और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* (3, 5, 7) त्रिभुज और उसके गुणज 120° के कोण वाले एकमात्र त्रिभुज हैं और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* क्षेत्रफल वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज = अर्धपरिमाप जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।<br />
* क्षेत्रफल = परिमाप वाले एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज की भुजाएँ (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), और (9, 10, 17) हैं। . इनमें से पहले दो, लेकिन अंतिम तीन नहीं, समकोण त्रिभुज हैं।<br />
* तीन परिमेय माध्यिकाओं के साथ पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं।: p. 64 सबसे छोटे की भुजाएँ होती हैं (68, 85, 87)। अन्य में (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) और (327, 386, 409) शामिल हैं।<br />
* कोई समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिकोण नहीं हैं।<br />
* एकमात्र आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण जिसके लिए परिधि का वर्ग क्षेत्र के एक पूर्णांक गुणक के बराबर है (3, 4, 5) परिधि 12 और क्षेत्र 6 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 24 है; (5, 12, 13) परिधि 30 और क्षेत्रफल 30 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 30 है; और (9, 40, 41) परिधि 90 और क्षेत्रफल 180 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 45 है।<br />
* एक परिमेय समकोण त्रिभुज और एक परिमेय समद्विबाहु त्रिभुज का एक अद्वितीय (समानता तक) युग्म मौजूद है जिसका परिमाप और क्षेत्रफल समान है। अद्वितीय जोड़ी में (377, 135, 352) त्रिभुज और (366, 366, 132) त्रिभुज शामिल हैं।ऐसे त्रिभुजों का कोई युग्म नहीं है यदि त्रिभुजों को भी आदिम समाकलन त्रिभुज होना आवश्यक है।लेखक हड़ताली तथ्य पर जोर देते हैं कि दूसरा दावा एक प्राथमिक तर्क द्वारा सिद्ध किया जा सकता है (वे अपने परिशिष्ट ए में ऐसा करते हैं), जबकि पहले दावे के लिए आधुनिक अत्यधिक गैर-तुच्छ गणित की आवश्यकता होती है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1402परिमेय त्रिभुज2022-02-21T09:36:10Z<p>Mani: /* विशेष पूर्णांक त्रिभुज */</p>
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<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
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== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
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== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
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== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
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== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
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एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।<br />
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=== एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण ===<br />
<br />
==== दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( [[wikipedia:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]] में अनुक्रम A005044)<br />
<br />
इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।<br />
<br />
==== दी गई सबसे बड़ी भुजा वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक त्रिक की संख्या है जैसे कि a + b > c और a b ≤ c। यह पूर्णांक मान सीलिंग [<sup>(''c'' + 1)</sup>⁄2] * तल [<sup>(c + 1)</sup>⁄2] है। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरा त्रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)<sup>2</sup> /4 है। इसका यह भी अर्थ है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c - 2 बटा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से अधिक है। c = 1 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी भुजा c वाले गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (OEIS में अनुक्रम A002620)<br />
<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक त्रिगुण (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (a, b, c) जो व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक त्रिगुणों की संख्या है जैसे कि a + b > c , a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> ≤ c<sup>2</sup> और a ≤b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक पक्षीय अधिक या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c= 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS में अनुक्रम A236384)<br />
<br />
नतीजतन, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ न्यून पूर्णांक पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (OEIS में अनुक्रम A247588)<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल ====<br />
हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है तो<br />
<br />
4T = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}<br />
<br />
चूँकि सूत्र के दायीं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T<sup>2</sup> होना चाहिए और T<sup>2</sup> परिमेय होगा।<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज के कोण ====<br />
कोज्या के नियम(law of cosines) के अनुसार, एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण की एक परिमेय कोज्या होती है।<br />
<br />
यदि किसी त्रिभुज के कोण एक समांतर श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए। पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में भी परिमेय कोज्या होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की एक विधि नीचे दी गई है। हालांकि, एक समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, ऐसे कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो एक ज्यामितीय या हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप के परिमेय कोण होने चाहिए।<br />
<br />
(πp)/q तर्कसंगत 0 < p/q<1 के साथ लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोसाइन होने चाहिए और यह तभी होगा जब p/q=1/3:p.2 यानी पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के द्विभाजक का वर्ग परिमेय होता है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+ है c}}}{\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}} जहां s सेमीपरिमीटर है (और इसी तरह अन्य कोणों के द्विभाजक के लिए)।</nowiki><br />
<br />
==== पार्श्व एक ऊंचाई से विभाजित ====<br />
किसी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया कोई भी ऊँचाई या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को परिमेय लंबाई में विभाजित कर देगा।<br />
<br />
==== माध्यिकाओं ====<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका के दोगुने का वर्ग एक पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्य m<sub>a</sub> <sup>2</sup><nowiki> से भुजा a तक का सामान्य सूत्र {\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{ है) 2})}{4}}}{\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}, देना (2ma)</nowiki><sup>2</sup> = 2b<sup>2</sup> + 2c<sup>2</sup> - a<sup>2</sup> ( और इसी तरह अन्य पक्षों के मध्य के लिए)।<br />
<br />
==== वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या ====<br />
चूँकि एक पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसलिए इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंत:त्रिज्या का वर्ग होता है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की परिधि के अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय है, जो अर्धपरिमापी के लिए {\displaystyle {\tfrac {4T^{2}}{sabc}}}{\tfrac {4T^{2}}{sabc}} के बराबर है एस और क्षेत्र टी।</nowiki><br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय होता है, जो {\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.}{\tfrac {abc}{2(a+b) के बराबर होता है +सी)}}।</nowiki><br />
<br />
इस प्रकार यूलर के प्रमेय द्वारा R<sup>2</sup> - 2Rr के रूप में दी गई पूर्णांक त्रिभुज के अंतःकेंद्र और परिधि के बीच की वर्ग दूरी परिमेय है।<br />
<br />
== विशेष पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल लगातार पूर्णांक हैं, उसकी भुजाएँ (3, 4, 5) और क्षेत्रफल 6 है।<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसमें एक ऊँचाई और भुजाओं के लिए क्रमागत पूर्णांक होते हैं, भुजाएँ (13, 14, 15) और भुजा 14 से ऊँचाई 12 के बराबर होती है।<br />
* (2, 3, 4) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनकी अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं और जिनमें पूरक बाह्य कोण गुण हैं।यह गुण बताता है कि यदि कोण C अधिक है और यदि एक खंड को B से लंबवत रूप से AC को P पर विस्तारित करके गिराया जाता है, तो ∠CAB=2∠CBP।<br />
* (3, 4, 5) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र पूर्णांक समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।<br />
* (4, 5, 6) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनका एक कोण दूसरे कोण का दुगुना है और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* (3, 5, 7) त्रिभुज और उसके गुणज 120° के कोण वाले एकमात्र त्रिभुज हैं और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* क्षेत्रफल वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज = अर्धपरिमाप जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।<br />
* क्षेत्रफल = परिमाप वाले एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज की भुजाएँ (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), और (9, 10, 17) हैं। . इनमें से पहले दो, लेकिन अंतिम तीन नहीं, समकोण त्रिभुज हैं।<br />
* तीन परिमेय माध्यिकाओं के साथ पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं।: p. 64 सबसे छोटे की भुजाएँ होती हैं (68, 85, 87)। अन्य में (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) और (327, 386, 409) शामिल हैं।<br />
* कोई समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिकोण नहीं हैं।<br />
* एकमात्र आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण जिसके लिए परिधि का वर्ग क्षेत्र के एक पूर्णांक गुणक के बराबर है (3, 4, 5) परिधि 12 और क्षेत्र 6 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 24 है; (5, 12, 13) परिधि 30 और क्षेत्रफल 30 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 30 है; और (9, 40, 41) परिधि 90 और क्षेत्रफल 180 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 45 है।<br />
* एक परिमेय समकोण त्रिभुज और एक परिमेय समद्विबाहु त्रिभुज का एक अद्वितीय (समानता तक) युग्म मौजूद है जिसका परिमाप और क्षेत्रफल समान है। अद्वितीय जोड़ी में (377, 135, 352) त्रिभुज और (366, 366, 132) त्रिभुज शामिल हैं।ऐसे त्रिभुजों का कोई युग्म नहीं है यदि त्रिभुजों को भी आदिम समाकलन त्रिभुज होना आवश्यक है।लेखक हड़ताली तथ्य पर जोर देते हैं कि दूसरा दावा एक प्राथमिक तर्क द्वारा सिद्ध किया जा सकता है (वे अपने परिशिष्ट ए में ऐसा करते हैं), जबकि पहले दावे के लिए आधुनिक अत्यधिक गैर-तुच्छ गणित की आवश्यकता होती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+बीजगणित की तालिका पृष्ट<br />
!<br />
!विषय<br />
!उप-विषय<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|बीजगणित<br />
|परिचय<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|परिभाषा<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|बीजगणित की उत्पत्ति<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|तकनीकी शर्तें<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|प्रतीक<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|संकेतों का नियम<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|नकारात्मक मात्रा<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|मौलिक संचालन<br />
|<br />
|-<br />
|2<br />
|समीकरण<br />
|समीकरण बनाना<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|समीकरणों का वर्गीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|द्विघातीय समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|उच्च डिग्री के समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|एक साथ द्विघात समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|3<br />
|पहली डिग्री के अनिश्चित समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|4<br />
|दो से अधिक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|5<br />
|पहली डिग्री के एक साथ अनिश्चित समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|6<br />
|चक्रीय विधि<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|7<br />
|दूसरी डिग्री के सामान्य अनिश्चित समीकरण: एकल समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|8<br />
|परिमेय त्रिभुज<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|9<br />
|परिमेय चतुर्भुज<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|10<br />
|उच्च डिग्री के एकल अनिश्चित समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|11<br />
|रेखीय फलन से बने वर्ग या घन<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|12<br />
|पहली डिग्री के दोहरे समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|13<br />
|उच्च डिग्री के दोहरे समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|14<br />
|एकाधिक समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1401परिमेय त्रिभुज2022-02-21T09:17:44Z<p>Mani: /* विशेष पूर्णांक त्रिभुज */</p>
<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
<br />
== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
<br />
== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
<br />
== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।<br />
<br />
=== एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण ===<br />
<br />
==== दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( [[wikipedia:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]] में अनुक्रम A005044)<br />
<br />
इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।<br />
<br />
==== दी गई सबसे बड़ी भुजा वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक त्रिक की संख्या है जैसे कि a + b > c और a b ≤ c। यह पूर्णांक मान सीलिंग [<sup>(''c'' + 1)</sup>⁄2] * तल [<sup>(c + 1)</sup>⁄2] है। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरा त्रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)<sup>2</sup> /4 है। इसका यह भी अर्थ है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c - 2 बटा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से अधिक है। c = 1 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी भुजा c वाले गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (OEIS में अनुक्रम A002620)<br />
<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक त्रिगुण (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (a, b, c) जो व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक त्रिगुणों की संख्या है जैसे कि a + b > c , a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> ≤ c<sup>2</sup> और a ≤b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक पक्षीय अधिक या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c= 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS में अनुक्रम A236384)<br />
<br />
नतीजतन, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ न्यून पूर्णांक पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (OEIS में अनुक्रम A247588)<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल ====<br />
हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है तो<br />
<br />
4T = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}<br />
<br />
चूँकि सूत्र के दायीं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T<sup>2</sup> होना चाहिए और T<sup>2</sup> परिमेय होगा।<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज के कोण ====<br />
कोज्या के नियम(law of cosines) के अनुसार, एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण की एक परिमेय कोज्या होती है।<br />
<br />
यदि किसी त्रिभुज के कोण एक समांतर श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए। पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में भी परिमेय कोज्या होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की एक विधि नीचे दी गई है। हालांकि, एक समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, ऐसे कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो एक ज्यामितीय या हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप के परिमेय कोण होने चाहिए।<br />
<br />
(πp)/q तर्कसंगत 0 < p/q<1 के साथ लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोसाइन होने चाहिए और यह तभी होगा जब p/q=1/3:p.2 यानी पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के द्विभाजक का वर्ग परिमेय होता है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+ है c}}}{\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}} जहां s सेमीपरिमीटर है (और इसी तरह अन्य कोणों के द्विभाजक के लिए)।</nowiki><br />
<br />
==== पार्श्व एक ऊंचाई से विभाजित ====<br />
किसी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया कोई भी ऊँचाई या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को परिमेय लंबाई में विभाजित कर देगा।<br />
<br />
==== माध्यिकाओं ====<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका के दोगुने का वर्ग एक पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्य m<sub>a</sub> <sup>2</sup><nowiki> से भुजा a तक का सामान्य सूत्र {\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{ है) 2})}{4}}}{\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}, देना (2ma)</nowiki><sup>2</sup> = 2b<sup>2</sup> + 2c<sup>2</sup> - a<sup>2</sup> ( और इसी तरह अन्य पक्षों के मध्य के लिए)।<br />
<br />
==== वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या ====<br />
चूँकि एक पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसलिए इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंत:त्रिज्या का वर्ग होता है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की परिधि के अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय है, जो अर्धपरिमापी के लिए {\displaystyle {\tfrac {4T^{2}}{sabc}}}{\tfrac {4T^{2}}{sabc}} के बराबर है एस और क्षेत्र टी।</nowiki><br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय होता है, जो {\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.}{\tfrac {abc}{2(a+b) के बराबर होता है +सी)}}।</nowiki><br />
<br />
इस प्रकार यूलर के प्रमेय द्वारा R<sup>2</sup> - 2Rr के रूप में दी गई पूर्णांक त्रिभुज के अंतःकेंद्र और परिधि के बीच की वर्ग दूरी परिमेय है।<br />
<br />
== विशेष पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल लगातार पूर्णांक हैं, उसकी भुजाएँ (3, 4, 5) और क्षेत्रफल 6 है।<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसमें एक ऊँचाई और भुजाओं के लिए क्रमागत पूर्णांक होते हैं, भुजाएँ (13, 14, 15) और भुजा 14 से ऊँचाई 12 के बराबर होती है।<br />
* (2, 3, 4) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनकी अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं और जिनमें पूरक बाह्य कोण गुण हैं।यह गुण बताता है कि यदि कोण C अधिक है और यदि एक खंड को B से लंबवत रूप से AC को P पर विस्तारित करके गिराया जाता है, तो ∠CAB=2∠CBP।<br />
* (3, 4, 5) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र पूर्णांक समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।<br />
* (4, 5, 6) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनका एक कोण दूसरे कोण का दुगुना है और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* (3, 5, 7) त्रिभुज और उसके गुणज 120° के कोण वाले एकमात्र त्रिभुज हैं और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* क्षेत्रफल वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज = अर्धपरिमाप जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।<br />
* क्षेत्रफल = परिमाप वाले एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज की भुजाएँ (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), और (9, 10, 17) हैं। . इनमें से पहले दो, लेकिन अंतिम तीन नहीं, समकोण त्रिभुज हैं।<br />
* तीन परिमेय माध्यिकाओं के साथ पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं।: p. 64 सबसे छोटे की भुजाएँ होती हैं (68, 85, 87)। अन्य में (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) और (327, 386, 409) शामिल हैं।<br />
* कोई समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिकोण नहीं हैं।<br />
* एकमात्र आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण जिसके लिए परिधि का वर्ग क्षेत्र के एक पूर्णांक गुणक के बराबर है (3, 4, 5) परिधि 12 और क्षेत्र 6 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 24 है; (5, 12, 13) परिधि 30 और क्षेत्रफल 30 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 30 है; और (9, 40, 41) परिधि 90 और क्षेत्रफल 180 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 45 है।<br />
* एक परिमेय समकोण त्रिभुज और एक परिमेय समद्विबाहु त्रिभुज का एक अद्वितीय (समानता तक) युग्म मौजूद है जिसका परिमाप और क्षेत्रफल समान है। अद्वितीय जोड़ी में (377, 135, 352) त्रिभुज और (366, 366, 132) त्रिभुज शामिल हैं।ऐसे त्रिभुजों का कोई युग्म नहीं है यदि त्रिभुजों को भी आदिम समाकलन त्रिभुज होना आवश्यक है।लेखक हड़ताली तथ्य पर जोर देते हैं कि दूसरा दावा एक प्राथमिक तर्क द्वारा सिद्ध किया जा सकता है (वे अपने परिशिष्ट ए में ऐसा करते हैं), जबकि पहले दावे के लिए आधुनिक अत्यधिक गैर-तुच्छ गणित की आवश्यकता होती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+बीजगणित की सामग्री<br />
!<br />
!विषय<br />
!उप-विषय<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|बीजगणित<br />
|परिचय<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|परिभाषा<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|बीजगणित की उत्पत्ति<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|तकनीकी शर्तें<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|प्रतीक<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|संकेतों का नियम<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|नकारात्मक मात्रा<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|मौलिक संचालन<br />
|<br />
|-<br />
|2<br />
|समीकरण<br />
|समीकरण बनाना<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|समीकरणों का वर्गीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|द्विघातीय समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|उच्च डिग्री के समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|एक साथ द्विघात समीकरण<br />
|<br />
|-<br />
|3<br />
|पहली डिग्री के अनिश्चित समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|4<br />
|दो से अधिक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|5<br />
|पहली डिग्री के एक साथ अनिश्चित समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|6<br />
|चक्रीय विधि<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|7<br />
|दूसरी डिग्री के सामान्य अनिश्चित समीकरण: एकल समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|8<br />
|परिमेय त्रिभुज<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|9<br />
|परिमेय चतुर्भुज<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|10<br />
|उच्च डिग्री के एकल अनिश्चित समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|11<br />
|रेखीय फलन से बने वर्ग या घन<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|12<br />
|पहली डिग्री के दोहरे समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|13<br />
|उच्च डिग्री के दोहरे समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|-<br />
|14<br />
|एकाधिक समीकरण<br />
|<br />
|<br />
|}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1400परिमेय त्रिभुज2022-02-21T06:07:07Z<p>Mani: /* वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या */</p>
<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
<br />
== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
<br />
== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
<br />
== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।<br />
<br />
=== एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण ===<br />
<br />
==== दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( [[wikipedia:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]] में अनुक्रम A005044)<br />
<br />
इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।<br />
<br />
==== दी गई सबसे बड़ी भुजा वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक त्रिक की संख्या है जैसे कि a + b > c और a b ≤ c। यह पूर्णांक मान सीलिंग [<sup>(''c'' + 1)</sup>⁄2] * तल [<sup>(c + 1)</sup>⁄2] है। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरा त्रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)<sup>2</sup> /4 है। इसका यह भी अर्थ है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c - 2 बटा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से अधिक है। c = 1 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी भुजा c वाले गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (OEIS में अनुक्रम A002620)<br />
<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक त्रिगुण (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (a, b, c) जो व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक त्रिगुणों की संख्या है जैसे कि a + b > c , a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> ≤ c<sup>2</sup> और a ≤b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक पक्षीय अधिक या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c= 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS में अनुक्रम A236384)<br />
<br />
नतीजतन, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ न्यून पूर्णांक पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (OEIS में अनुक्रम A247588)<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल ====<br />
हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है तो<br />
<br />
4T = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}<br />
<br />
चूँकि सूत्र के दायीं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T<sup>2</sup> होना चाहिए और T<sup>2</sup> परिमेय होगा।<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज के कोण ====<br />
कोज्या के नियम(law of cosines) के अनुसार, एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण की एक परिमेय कोज्या होती है।<br />
<br />
यदि किसी त्रिभुज के कोण एक समांतर श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए। पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में भी परिमेय कोज्या होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की एक विधि नीचे दी गई है। हालांकि, एक समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, ऐसे कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो एक ज्यामितीय या हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप के परिमेय कोण होने चाहिए।<br />
<br />
(πp)/q तर्कसंगत 0 < p/q<1 के साथ लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोसाइन होने चाहिए और यह तभी होगा जब p/q=1/3:p.2 यानी पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।<br />
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<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के द्विभाजक का वर्ग परिमेय होता है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+ है c}}}{\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}} जहां s सेमीपरिमीटर है (और इसी तरह अन्य कोणों के द्विभाजक के लिए)।</nowiki><br />
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==== पार्श्व एक ऊंचाई से विभाजित ====<br />
किसी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया कोई भी ऊँचाई या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को परिमेय लंबाई में विभाजित कर देगा।<br />
<br />
==== माध्यिकाओं ====<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका के दोगुने का वर्ग एक पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्य m<sub>a</sub> <sup>2</sup><nowiki> से भुजा a तक का सामान्य सूत्र {\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{ है) 2})}{4}}}{\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}, देना (2ma)</nowiki><sup>2</sup> = 2b<sup>2</sup> + 2c<sup>2</sup> - a<sup>2</sup> ( और इसी तरह अन्य पक्षों के मध्य के लिए)।<br />
<br />
==== वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या ====<br />
चूँकि एक पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसलिए इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंत:त्रिज्या का वर्ग होता है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की परिधि के अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय है, जो अर्धपरिमापी के लिए {\displaystyle {\tfrac {4T^{2}}{sabc}}}{\tfrac {4T^{2}}{sabc}} के बराबर है एस और क्षेत्र टी।</nowiki><br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय होता है, जो {\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.}{\tfrac {abc}{2(a+b) के बराबर होता है +सी)}}।</nowiki><br />
<br />
इस प्रकार यूलर के प्रमेय द्वारा R<sup>2</sup> - 2Rr के रूप में दी गई पूर्णांक त्रिभुज के अंतःकेंद्र और परिधि के बीच की वर्ग दूरी परिमेय है।<br />
<br />
== विशेष पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल लगातार पूर्णांक हैं, उसकी भुजाएँ (3, 4, 5) और क्षेत्रफल 6 है।<br />
* एकमात्र त्रिभुज जिसमें एक ऊँचाई और भुजाओं के लिए क्रमागत पूर्णांक होते हैं, भुजाएँ (13, 14, 15) और भुजा 14 से ऊँचाई 12 के बराबर होती है।<br />
* (2, 3, 4) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनकी अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं और जिनमें पूरक बाह्य कोण गुण हैं।यह गुण बताता है कि यदि कोण C अधिक है और यदि एक खंड को B से लंबवत रूप से AC को P पर विस्तारित करके गिराया जाता है, तो ∠CAB=2∠CBP।<br />
* (3, 4, 5) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र पूर्णांक समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।<br />
* (4, 5, 6) त्रिभुज और उसके गुणज एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनका एक कोण दूसरे कोण का दुगुना है और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* (3, 5, 7) त्रिभुज और उसके गुणज 120° के कोण वाले एकमात्र त्रिभुज हैं और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।<br />
* क्षेत्रफल वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज = अर्धपरिमाप जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।<br />
* क्षेत्रफल = परिमाप वाले एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज की भुजाएँ (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), और (9, 10, 17) हैं। . इनमें से पहले दो, लेकिन अंतिम तीन नहीं, समकोण त्रिभुज हैं।<br />
* तीन परिमेय माध्यिकाओं के साथ पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं।: p. 64 सबसे छोटे की भुजाएँ होती हैं (68, 85, 87)। अन्य में (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) और (327, 386, 409) शामिल हैं।<br />
* कोई समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिकोण नहीं हैं।<br />
* एकमात्र आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण जिसके लिए परिधि का वर्ग क्षेत्र के एक पूर्णांक गुणक के बराबर है (3, 4, 5) परिधि 12 और क्षेत्र 6 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 24 है; (5, 12, 13) परिधि 30 और क्षेत्रफल 30 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 30 है; और (9, 40, 41) परिधि 90 और क्षेत्रफल 180 के साथ और परिधि वर्ग के अनुपात के साथ 45 है।<br />
* एक परिमेय समकोण त्रिभुज और एक परिमेय समद्विबाहु त्रिभुज का एक अद्वितीय (समानता तक) युग्म मौजूद है जिसका परिमाप और क्षेत्रफल समान है। अद्वितीय जोड़ी में (377, 135, 352) त्रिभुज और (366, 366, 132) त्रिभुज शामिल हैं।ऐसे त्रिभुजों का कोई युग्म नहीं है यदि त्रिभुजों को भी आदिम समाकलन त्रिभुज होना आवश्यक है।लेखक हड़ताली तथ्य पर जोर देते हैं कि दूसरा दावा एक प्राथमिक तर्क द्वारा सिद्ध किया जा सकता है (वे अपने परिशिष्ट ए में ऐसा करते हैं), जबकि पहले दावे के लिए आधुनिक अत्यधिक गैर-तुच्छ गणित की आवश्यकता होती है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1399परिमेय त्रिभुज2022-02-21T05:40:27Z<p>Mani: /* दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज */</p>
<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
<br />
== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
<br />
== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
<br />
== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।<br />
<br />
=== एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण ===<br />
<br />
==== दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( [[wikipedia:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]] में अनुक्रम A005044)<br />
<br />
इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।<br />
<br />
==== दी गई सबसे बड़ी भुजा वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक त्रिक की संख्या है जैसे कि a + b > c और a b ≤ c। यह पूर्णांक मान सीलिंग [<sup>(''c'' + 1)</sup>⁄2] * तल [<sup>(c + 1)</sup>⁄2] है। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरा त्रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)<sup>2</sup> /4 है। इसका यह भी अर्थ है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c - 2 बटा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से अधिक है। c = 1 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी भुजा c वाले गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
<br />
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (OEIS में अनुक्रम A002620)<br />
<br />
दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक त्रिगुण (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (a, b, c) जो व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक त्रिगुणों की संख्या है जैसे कि a + b > c , a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> ≤ c<sup>2</sup> और a ≤b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक पक्षीय अधिक या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c= 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS में अनुक्रम A236384)<br />
<br />
नतीजतन, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ न्यून पूर्णांक पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से शुरू होने वाला अनुक्रम है:<br />
<br />
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (OEIS में अनुक्रम A247588)<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल ====<br />
हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है तो<br />
<br />
4T = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}<br />
<br />
चूँकि सूत्र के दायीं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T<sup>2</sup> होना चाहिए और T<sup>2</sup> परिमेय होगा।<br />
<br />
==== एक पूर्णांक त्रिभुज के कोण ====<br />
कोज्या के नियम(law of cosines) के अनुसार, एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण की एक परिमेय कोज्या होती है।<br />
<br />
यदि किसी त्रिभुज के कोण एक समांतर श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए। पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में भी परिमेय कोज्या होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की एक विधि नीचे दी गई है। हालांकि, एक समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, ऐसे कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो एक ज्यामितीय या हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप के परिमेय कोण होने चाहिए।<br />
<br />
(πp)/q तर्कसंगत 0 < p/q<1 के साथ लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोसाइन होने चाहिए और यह तभी होगा जब p/q=1/3:p.2 यानी पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के द्विभाजक का वर्ग परिमेय होता है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+ है c}}}{\tfrac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}} जहां s सेमीपरिमीटर है (और इसी तरह अन्य कोणों के द्विभाजक के लिए)।</nowiki><br />
<br />
==== पार्श्व एक ऊंचाई से विभाजित ====<br />
किसी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया कोई भी ऊँचाई या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को परिमेय लंबाई में विभाजित कर देगा।<br />
<br />
==== माध्यिकाओं ====<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका के दोगुने का वर्ग एक पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्य m<sub>a</sub> <sup>2</sup><nowiki> से भुजा a तक का सामान्य सूत्र {\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{ है) 2})}{4}}}{\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}, देना (2ma)</nowiki><sup>2</sup> = 2b<sup>2</sup> + 2c<sup>2</sup> - a<sup>2</sup> ( और इसी तरह अन्य पक्षों के मध्य के लिए)।<br />
<br />
==== वृत्ताकार और अंतर्त्रिज्या ====<br />
चूँकि एक पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसलिए इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंत:त्रिज्या का वर्ग होता है।<br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की परिधि के अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय है, जो अर्धपरिमापी के लिए {\displaystyle {\tfrac {4T^{2}}{sabc}}}{\tfrac {4T^{2}}{sabc}} के बराबर है एस और क्षेत्र टी।</nowiki><br />
<br />
<nowiki>एक पूर्णांक त्रिभुज की अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय होता है, जो {\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.}{\tfrac {abc}{2(a+b) के बराबर होता है +सी)}}।</nowiki><br />
<br />
इस प्रकार यूलर के प्रमेय द्वारा R<sup>2</sup> - 2Rr के रूप में दी गई पूर्णांक त्रिभुज के अंतःकेंद्र और परिधि के बीच की वर्ग दूरी परिमेय है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1398परिमेय त्रिभुज2022-02-21T04:40:14Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
<br />
== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
<br />
== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
<br />
== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।<br />
<br />
=== एक पूर्णांक त्रिभुज के सामान्य गुण ===<br />
<br />
==== दिए गए परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुज ====<br />
धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना एक पूर्णांक त्रिभुज की भुजा की लंबाई के रूप में तब तक काम कर सकता है जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिगुण एक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता तक अद्वितीय है। तो परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने वाले तीन धनात्मक भागों में p के विभाजन की संख्या है। यह p2⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम होता है और (p + 3)2⁄48 जब p विषम होता है। इसका यह भी अर्थ है कि सम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमापों वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या के समान है। परिमाप 3, 5, 6 या 8, और दो परिमाप 7 या 10 के साथ। p = 1 से शुरू होने वाले परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम है:<br />
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... ( [[wikipedia:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]] में अनुक्रम A005044)<br />
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इसे एल्कुइन अनुक्रम(Alcuin's sequence) कहते हैं।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1397परिमेय त्रिभुज2022-02-21T03:59:28Z<p>Mani: पूर्णांक त्रिभुज</p>
<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
एक परिमेय त्रिभुज/तर्कसंगत त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
<br />
परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
<br />
== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
<br />
== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।<br />
<br />
== पूर्णांक त्रिभुज ==<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
<br />
एक पूर्णांक त्रिभुज के लिए विभिन्न सामान्य गुण हैं, जो नीचे पहले भाग में दिए गए हैं। अन्य सभी खंड विशिष्ट गुणों वाले पूर्णांक त्रिभुजों के वर्गों को संदर्भित करते हैं।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1396परिमेय त्रिभुज2022-02-18T10:51:17Z<p>Mani: /* जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) */</p>
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<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
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कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
एक परिमेय त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
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परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
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== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
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== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
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== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==<br />
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र है जिसकी गणना उसके शीर्षों के निर्देशांकों के द्विघात फलन के रूप में की जाती है। यह सूत्र तीन पदों के योग का आधा है, जिनमें से प्रत्येक वृत्तीय क्रम में दो बिंदुओं (एक दो बटा दो निर्धारक) के x और y निर्देशांक के क्रॉस-उत्पादों का अंतर है। इस प्रकार, परिमेय निर्देशांक वाले त्रिभुज का परिमेय क्षेत्रफल होता है, और, यदि भुजाएँ परिमेय हों, तो त्रिभुज हेरोनियन होता है। इसके विपरीत, एक हेरोनियन त्रिभुज के शीर्षों को परिमेय निर्देशांक दिए जा सकते हैं। यह पूर्णांक पक्षों के मामले में कमी के विश्लेषण से सिद्ध होता है जो एक पूर्णांक जाली त्रिभुज के रूप में त्रिभुज की प्राप्ति की ओर जाता है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1395परिमेय त्रिभुज2022-02-18T10:48:02Z<p>Mani: </p>
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<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
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कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
एक परिमेय त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
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परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।<br />
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== समकोण त्रिभुज(Right Triangles) ==<br />
एक परिमेय समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज होता है यदि और केवल यदि दो पूरक न्यून कोणों के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिमेय हों। उत्कीर्ण वृत्त का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि इसके आधे कोणों की स्पर्श रेखा परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक हेरोनियन कोण(Heronian Angle'')'' को ऐसे कोण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं कि इसके आधे भाग की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या हो। इसके विपरीत, शून्य और एक के बीच की कोई भी परिमेय संख्या एक परिमेय समकोण त्रिभुज के आधे न्यून कोण की स्पर्श रेखा होती है। एक न्यून कोण से जुड़ी परिमेय संख्या में अंश और हर दोनों विषम होते हैं, लेकिन दूसरे कोण के लिए वे भिन्न समता के होते हैं। सभी परिमेय समकोण त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार शून्य और एक के बीच की परिमेय संख्या से दोनों तरीकों से किया जाता है।<br />
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== हेरोनियन त्रिभुज(Heronian Triangles) ==<br />
हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय होता है। नाम एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को संदर्भित करता है जिसे हीरो के सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह उल्लेखनीय सूत्र चार कारकों के गुणनफल का एक चौथाई वर्गमूल है, जिनमें से एक त्रिभुज का परिमाप (तीनों भुजाओं का योग) है, और अन्य तीन गुणनखंडों के योग में से एक भुजा को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अन्य दो पक्षों की। सबसे सरल त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जो एक परिमेय त्रिभुज है, लेकिन हेरोनियन नहीं है क्योंकि क्षेत्रफल एक भुजा के वर्ग के सापेक्ष परिमेय नहीं है। अगला सरलतम त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल किसी भी टाँग के वर्ग का आधा है, लेकिन कर्ण एक पैर के सापेक्ष तर्कसंगत नहीं है जैसा कि पाइहटागोरस ने खोजा था, और इसलिए त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। एक हेरोनियन त्रिभुज का सबसे सरल उदाहरण एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। वास्तव में, कोई भी परिमेय समकोण त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज होता है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का आधा परिमाप गुना होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज की अंतःत्रिज्या भुजाओं के सापेक्ष परिमेय होती है। इनसेंटर से किसी भी तरफ की त्रिज्या इसे लंबाई के दो खंडों में विभाजित करती है, जो गैर-आसन्न पक्ष की लंबाई से कम हो जाती है। यह इस प्रकार है कि त्रिभुज के किसी भी द्विभाजित कोण की स्पर्शरेखा एक परिमेय संख्या होती है और इसलिए मूल कोण एक हेरोनियन कोण होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है जिसमें तीन हेरोनियन कोण होते हैं। हालांकि, निम्नलिखित कारणों से दो हेरोनियन कोणों की आवश्यकता पर्याप्त है। किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। इस प्रकार, एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्षलंब पक्षों के सापेक्ष परिमेय होते हैं। हेरोनियन त्रिभुज की कोई भी ऊँचाई त्रिभुज को दो हेरोनियन समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। मूल त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों का योग या अंतर है जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऊँचाई आंतरिक है या बाहरी।<br />
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== जाली त्रिकोण(Lattice Triangles) ==</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1394परिमेय त्रिभुज2022-02-18T09:02:28Z<p>Mani: </p>
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<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
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कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।<br />
[[File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png|thumb|एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।]]<br />
एक परिमेय त्रिभुज को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों; इस तरह के किसी भी तर्कसंगत त्रिभुज को एक पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए एकीकृत रूप से पुनर्विक्रय किया जा सकता है (सभी पक्षों को एक ही पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, अर्थात् उनके हर का एक सामान्य गुणक), इसलिए इस अर्थ में पूर्णांक त्रिकोण और तर्कसंगत त्रिकोण के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।<br />
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परिमेय त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज के अंतर्गत आता है जिसमें एक पूर्णांक त्रिभुज शामिल होता है या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=File:%E0%A4%8F%E0%A4%95_%E0%A4%B9%E0%A5%87%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%AF%E0%A4%A8_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C_%E0%A4%9C%E0%A4%BF%E0%A4%B8%E0%A4%95%E0%A5%80_%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C%E0%A4%BE%E0%A4%8F%E0%A4%81_c,_e_%E0%A4%94%E0%A4%B0_b_%2B_d,_%E0%A4%94%E0%A4%B0_%E0%A4%8A%E0%A4%81%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%88_a,_%E0%A4%B8%E0%A4%AD%E0%A5%80_%E0%A4%AA%E0%A5%82%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A3%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95_%E0%A4%B9%E0%A5%88%E0%A4%82%E0%A5%A4.png&diff=1393File:एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।.png2022-02-18T08:56:34Z<p>Mani: </p>
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<div>एक हेरोनियन त्रिभुज जिसकी भुजाएँ c, e और b + d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांक हैं।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C&diff=1392परिमेय त्रिभुज2022-02-18T08:29:35Z<p>Mani: New Page Created for Rough</p>
<hr />
<div>== परिभाषा ==<br />
सोमोस(Somos) एक तर्कसंगत त्रिभुज को एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि एक दूसरे के सापेक्ष मापी गई तीनों भुजाएँ परिमेय हों। कोब्लिट्ज (Koblitz,1993) ने एक सर्वांगसम(congruent) संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जो एक परिमेय समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह खोज कि, इकाई पैर की लंबाई के एक समकोण त्रिभुज में एक अपरिमेय कर्ण होता है (जिसकी लंबाई एक मान के बराबर होती है जिसे अब पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है) ने दिखाया कि,सभी त्रिभुज परिमेय नहीं होते हैं।<br />
<br />
कॉनवे(Conway) और गाइ(Guy) (1996) एक परिमेय त्रिभुज को एक ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय संख्याएँ हों और जिनके सभी कोण परिमेय संख्याएँ हों। एकमात्र ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (कॉनवे और गाइ 1996) है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1391समीकरण2022-02-17T09:26:49Z<p>Mani: Added References</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8</ref><br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7</ref><br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8</ref><br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II''<ref>Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8</ref> <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref><br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"<br />
<br />
== दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== सहमति का नियम ===<br />
आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय ''सन्निपतन/संक्रमण'' (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है<br />
<br />
x+ y= a, x-y= b<br />
<br />
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।<br />
<br />
"दो (स्वर्गीय निकायों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग में जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।<br />
<br />
=== रेखीय समीकरण ===<br />
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।<br />
<br />
उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है<br />
<br />
101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"<br />
<br />
यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो<br />
<br />
9x+7y= 107,<br />
<br />
7x+9y = 101.<br />
<br />
या, सामान्य तौर पर,<br />
<br />
ax+ by = m<br />
<br />
bx + ay = n<br />
<br />
समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।<br />
<br />
इस प्रकार , <math>{\displaystyle x = {\frac{(am - bn)}{(a^2 -b^2)}} }</math> ,<br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{(an - bm)}{(a^2 -b^2)}} }</math><br />
<br />
इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है:<br />
<br />
उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"<br />
<br />
समीकरण हैं<br />
<br />
x + 100 = 2(y - 100) (I)<br />
<br />
y + 10 = 6(x - 10) (2)<br />
<br />
भास्कर द्वितीय इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:<br />
<br />
'''पहली विधि:'''<br />
<br />
मान लीजिए x = 2z - 100, y = z + 100,<br />
<br />
ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न<br />
<br />
दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
z + 110 = 12z- 660;<br />
<br />
इसलिये z =70 , जिसकी वजह से - x = 40 , y = 170<br />
<br />
'''दूसरी विधि:'''<br />
<br />
समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x =2y - 300,<br />
<br />
और समीकरण (2) से<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle 2y -300 = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle 12y -1800 = y+70 }</math><br />
<br />
== कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का एक प्रकार ===<br />
कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:<br />
<br />
"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और<br />
<br />
एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।<br />
<br />
यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.<br />
<br />
एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है x₁ x₂ x₃ x₄ x₅<br />
<br />
x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20<br />
<br />
काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है<br />
<br />
x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an, n विषम होना।<br />
<br />
=== असत्य स्थिति से समाधान ===<br />
इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:<br />
<br />
x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें<br />
<br />
(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math><br />
<br />
विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है<br />
<br />
इसलिए सही मान हैं,<br />
<br />
x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8<br />
<br />
तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
समीकरण (I)<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2x<sub>1</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
मान लें x<sub>1</sub> = p; ताकि<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2p = b कहें।<br />
<br />
घटाना 2(x<sub>1</sub> - p) = a - b<br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_1 =p + {\frac{1}{2}}(a_n-b) }</math><br />
<br />
===दूसरा प्रकार===<br />
समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।<br />
<br />
Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub><br />
<br />
लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।<br />
<br />
<math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math><br />
<br />
महावीर समाधान इस प्रकार बताते हैं: "एक साथ जोड़ी गई वस्तुओं की बताई गई मात्रा को पुरुषों की संख्या से कम से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल कुल मूल्य (सभी वस्तुओं का) होगा। प्रत्येक बताई गई राशि को उसमें से घटाया जा रहा है, (मूल्य) हाथों में (प्रत्येक का मिल जाएगा)।<br />
<br />
अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:<br />
<br />
"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।<br />
<br />
पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया<br />
<br />
निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"<br />
<br />
यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math><br />
<br />
इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.<br />
<br />
नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"<br />
<br />
===तीसरा प्रकार===<br />
रैखिक समीकरणों की एक अधिक सामान्यीकृत प्रणाली होगी<br />
<br />
<math>{\displaystyle b_1\sum x - c_1x_1=a_1 }</math>, <math>b_2\sum x - c_2x_2=a_2</math>..............<br />
<br />
<math>b_n\sum x - c_nx_n=a_n</math> ....................................................................................................................................................................(III)<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle \sum x = {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}}}</math><br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_r ={\frac{b_r}{c_r}} . {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}} - {\frac{a_r}{c_r}}}</math>.................(I)<br />
<br />
r = I, 2, 3..... n<br />
<br />
इस प्रकार का एक विशेष मामला महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत किया गया है:<br />
<br />
"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी भीख मांगने पर पहले से 5 और दूसरे से 6 गुना अमीर बन गया।हे गणितज्ञ, यदि आप चित्रा-कुट्टक-मिश्रा जानते हैं, तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "<br />
<br />
यानी हमें समीकरण मिलते हैं<br />
<br />
x + 4 + 5 = 2(y + z - 4 - 5),<br />
<br />
y + 4 + 6 = 3(z + x - 4 - 6),<br />
<br />
z + 5 + 6 = 5 (x + y - 5 - 6);<br />
<br />
or 2(x + y + z) - 3x = 27,<br />
<br />
3(x + y + z) - 4y = 40 ;<br />
<br />
5 (x + y +z) - 6z = 66;<br />
<br />
प्रणाली का एक विशेष मामला (III) में प्रतिस्थापन<br />
<br />
(I), हम पाते हैं<br />
<br />
x = 7, Y = 8, Z = 9<br />
<br />
'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"पहले अज्ञात की तरफ से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है। पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार। यदि अंतिम समीकरण में और अधिक अज्ञात रहते हैं, तो पल्वराइज़र की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान पाए जा सकते हैं।"<br />
<br />
चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या अधिक अज्ञात मात्राएँ हों, यवत-तवत, आदि जैसे रंगों को उनके मूल्यों के लिए मान लिया जाना चाहिए। उन पर सभी कार्यों को अनुरूप रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के बयान और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। समानता-निकासी पहले दो और दो के बीच की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को साफ किया जाना चाहिए, अन्य अज्ञात को कम किया जाना चाहिए एक आम भाजक के लिए और साथ ही निरपेक्ष संख्या को विपरीत पक्ष से साफ किया जाना चाहिए। अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त होते हैं, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य भाजक को घटाकर समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात का मान ज्ञात करें। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के संदर्भ में हो तो गुणांक उन दोनों के सायंट परस्पर दो अज्ञातों के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो पल्वराइज़र (चूर्णित) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है।" यह ध्यान दिया जाएगा कि उपरोक्त नियम अनिश्चित के साथ-साथ निर्धारित समीकरणों को भी शामिल करता है। वास्तव में, नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं। हम उनमें से कुछ का उल्लेख बाद में उनके उचित स्थानों पर करेंगे। जहाँ तक एक साथ निर्धारित समीकरणों का संबंध है, उन्हें हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त की विधि आसानी से हमारे वर्तमान के समान ही मानी जाएगी।<br />
<br />
'''भास्कर का नियम:''' भास्कर द्वितीय ने व्यावहारिक रूप से ब्रह्मगुप्त के समान ही नियम दिया है, जिसमें कई अज्ञात को शामिल करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों को हल किया जाता है।<br />
<br />
हम उनके कार्यों से निम्नलिखित दृष्टांत लेते हैं।<br />
<br />
उदाहरण 1. "आठ माणिक, दस पन्ने और सौ मोती जो तेरे कान की अंगूठी में हैं, मेरे द्वारा आपके लिए समान मात्रा में खरीदे गए थे; तीन प्रकार के रत्नों की कीमत दरों का योग आधे से तीन कम है सौ का। मुझे बताओ, 0 प्रिय शुभ महिला, यदि आप गणित में कुशल हैं, तो प्रत्येक की कीमत।"<br />
<br />
यदि x, y, z क्रमशः माणिक, पन्ना और मोती की कीमतें हों, तो 8x = 10y = 100z<br />
<br />
x+y+z = 47<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं, समान राशि को w मान लें, तो हम प्राप्त करेंगे<br />
<br />
x = w/8, y = w/10, z = w/100<br />
<br />
शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम आसानी से w = 200 प्राप्त करते हैं। इसलिए<br />
<br />
x = 25, y = 20, z = 2<br />
<br />
== द्विघातीय समीकरण ==<br />
सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय हल<br />
<br />
<math>4h^2 -4dh =- c^2</math> जैनों (500- 300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में और उमास्वती (सी। 150 ई.पू.) के ''तत्त्वाधिगमा-सूत्र'' में भी पाया जाता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle h = {\frac {1}{2}} (d-\sqrt{d^2-c^2})}</math><br />
<br />
'''श्रीधर का शासन:''' श्रीधर (सी। 750) द्विघात समीकरण को हल करने की अपनी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करता है।<br />
<br />
बीजगणित पर उनका ग्रंथ अब खो गया है। लेकिन इसका प्रासंगिक हिस्सा भास्कर द्वितीय और अन्य के उद्धरणों में संरक्षित है। श्रीधर की विधि है: ।<br />
<br />
"दोनों पक्षों (एक समीकरण के) को अज्ञात के वर्ग के गुणांक के चार गुणा के बराबर ज्ञात मात्रा से गुणा करें; दोनों पक्षों में एक ज्ञात जोड़ें<br />
<br />
अज्ञात के (मूल) गुणांक के वर्ग के बराबर मात्रा: फिर मूल निकालें।"<br />
<br />
अर्थात् <math>ax^2 + bx = c</math> को हल करने के लिए,<br />
<br />
दोनों पक्षों में 4a से गुणा करें<br />
<br />
हमारे पास है <math>4a^2x^2 + 4abx = 4ac</math><br />
<br />
या<br />
<br />
<math>(2ax+b)^2 = 4ac + b^2</math><br />
<br />
<math>2ax+b = \sqrt{4ac + b^2}</math><br />
<br />
<math>x= \frac{\sqrt{4ac+b^2} -b}{2a}</math><br />
<br />
'''श्रीपति के नियम:''' श्रीपति (1039) द्विघात को हल करने की दो विधियों को इंगित करता है। पहली विधि का वर्णन करने वाले नियम में हमारी पांडुलिपि में एक कमी/अंतर है, लेकिन इसे आसानी से श्रीधर के समान माना जा सकता है। "अज्ञात के वर्ग के गुणांक से चार गुना गुणा करें और अज्ञात के गुणांक के वर्ग को जोड़ें; फिर अज्ञात के वर्ग के गुणांक के दोगुने से विभाजित वर्गमूल निकालें, का मान कहा जाता है अनजान।" "या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और गुणांक से विभाजित हो जाता है। अज्ञात के वर्ग का। इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"<br />
<br />
<math>ax^2 + bx = c</math><br />
<br />
or <math>{\displaystyle a^2x^2+ abx +\left ( \frac{b}{2} \right )^2 = ac +\left ( \frac{b}{2} \right )^2 }</math><br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle ax+ \left ( \frac{b}{2} \right ) = \sqrt{ac + \left ( \frac{b}{2} \right ) ^2} }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle x= \frac{\sqrt{ac + \left ( \frac{b}{2} \right ) ^2} - \frac{b}{2}}{a} }<br />
</math><br />
<br />
'''भास्कर द्वितीय के नियम :''' भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं : "जब अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है, तो दोनों पक्षों (समीकरण के) को कुछ उपयुक्त मात्राओं से गुणा करके, अन्य उपयुक्त मात्राओं को जोड़ा जाना चाहिए ताकि पक्ष युक्त अज्ञात एक मूल (''पद-प्रद)'' उत्पन्न करने में सक्षम हो जाता है। फिर समीकरण को इस पक्ष की जड़ और ज्ञात पक्ष की जड़ के साथ फिर से बनाया जाना चाहिए। इस प्रकार अज्ञात का मूल्य उस समीकरण से प्राप्त होता है।<br />
<br />
इस नियम को लेखक ने आगे इस प्रकार स्पष्ट किया है : .<br />
<br />
"जब दोनों पक्षों की पूर्ण निकासी के बाद, एक तरफ अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है और दूसरी तरफ केवल पूर्ण शब्द होता है, तो, दोनों पक्षों को कुछ उपयुक्त वैकल्पिक मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाना चाहिए; कुछ समान मात्राओं को आगे दोनों पक्षों से जोड़ा या घटाया जाना चाहिए ताकि अज्ञात पक्ष एक जड़ पैदा करने में सक्षम हो जाए। उस पक्ष की जड़ दूसरी तरफ के निरपेक्ष पदों के मूल के बराबर होनी चाहिए। के लिए, द्वारा एक साथ समान जोड़, आदि, दो समान पक्षों के लिए समानता बनी हुई है। इसलिए इन जड़ों के साथ फिर से एक समीकरण बनाने से अज्ञात का मान मिल जाता है।"<br />
<br />
यह ध्यान दिया जा सकता है कि भास्कर द्वितीय के अंकगणित पर अपने ग्रंथ में हमेशा अज्ञात के वर्ग के गुणांक द्वारा विभाजित करने की आधुनिक पद्धति का पालन किया गया है।<br />
<br />
ज्ञानराज (1503) और गणेश (1545) द्विघात को हल करने के लिए भास्कर द्वितीय के समान सामान्य तरीकों का वर्णन करते हैं।<br />
<br />
'''मध्य अवधि का उन्मूलन :'''द्विघात को हल करने की विधि हिंदू बीजगणितविदों के बीच तकनीकी पदनाम ''मध्यमहारना'' या "मध्य का उन्मूलन" (''मध्यम'' = मध्य और ''अहारना'' = हटाने, या नष्ट करने, यानी उन्मूलन) से जानी जाती थी। विधि के अंतर्निहित सिद्धांत में नाम की उत्पत्ति आसानी से मिल जाएगी। इसके द्वारा एक द्विघात समीकरण, जिसके सामान्य रूप में, तीन पद होते हैं और इसलिए एक मध्य पद होता है, एक शुद्ध द्विघात समीकरण या एक साधारण समीकरण में कम हो जाता है जिसमें केवल दो पद होते हैं और इसलिए कोई मध्य पद नहीं होता है। इस प्रकार मूल द्विघात के मध्य पद को इसके समाधान के लिए सामान्यतः अपनाई गई विधि द्वारा समाप्त कर दिया जाता है। और इसलिए नाम भास्कर द्वितीय ने देखा है, "यह भी विशेष रूप से विद्वान शिक्षकों द्वारा ''मध्यमहारना'' के रूप में नामित किया गया है। इसके द्वारा, द्विघात के दो शब्दों में से एक को हटा दिया जाता है, मध्य एक, होता है।" हालाँकि, नाम को एक विस्तारित अर्थ में भी नियोजित किया जाता है ताकि घन और द्विघात को हल करने के तरीकों को अपनाया जा सके, जहाँ कुछ शर्तों को भी समाप्त कर दिया जाता है। यह ब्रह्मगुप्त (628) के कार्यों के रूप में जल्दी होता है।<br />
<br />
'''द्विघात की दो जड़ें :''' हिंदुओं ने जल्दी ही पहचान लिया कि द्विघात के मूल रूप से दो मूल होते हैं। इस संबंध में भास्कर द्वितीय ने पद्मनाभ नाम के एक प्राचीन लेखक से निम्नलिखित नियम उद्धृत किया है जिसका बीजगणित पर ग्रंथ अब उपलब्ध नहीं है। "यदि मूलों को निकालने के बाद द्विघात की निरपेक्ष भुजा का वर्गमूल दूसरी ओर के ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और धनात्मक लेने पर अज्ञात के दो मान मिलते हैं।"<br />
<br />
भास्कर कुछ विशिष्ट दृष्टांतों की मदद से बताते हैं कि हालांकि द्विघात की ये दोहरी जड़ें सैद्धांतिक रूप से सही हैं, वे कभी-कभी असंगति की ओर ले जाती हैं और इसलिए हमेशा स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए। इसलिए वह नियम को इस प्रकार संशोधित करता है: "यदि द्विघात के ज्ञात पक्ष का वर्गमूल अज्ञात पक्ष के वर्गमूल में होने वाले ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और सकारात्मक बनाते हुए, दो मान अज्ञात का निर्धारण किया जाना चाहिए। यह कभी-कभी किया जाना चाहिए।"<br />
<br />
उदाहरण 1. "चौकोर बंदरों की एक टुकड़ी का आठवां हिस्सा, खुशी-खुशी उससे जुड़कर, जंगल के अंदर कूद रहा था। बारह पहाड़ी पर चिल्लाते और चिल्लाते हुए खुश थे। वे कितने थे?"<br />
<br />
समाधान। "यहाँ बंदरों का दल x है। इसके आठवें भाग का वर्ग 12 को मिलाकर सेना के बराबर है। तो दोनों भुजाएँ हैं<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{1}{64}}x^2+0x+12 = 0x^2+x+0}</math><br />
<br />
इन्हें एक सामान्य भाजक में कम करना और फिर हर को हटाना, और निकासी करना भी दोनों पक्ष बन जाते हैं<br />
<br />
x² - 64x + 0 = 0x2 + 0x - 768<br />
<br />
दोनों पक्षों में 32 का वर्ग जोड़ने पर और वर्गमूल निकालने पर, हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
x- 32 = ± (0x + 16)<br />
<br />
इस उदाहरण में ज्ञात पक्ष पर निरपेक्ष पद अज्ञात के पक्ष में ऋणात्मक निरपेक्ष पद से छोटा है; इसलिए इसे सकारात्मक के साथ-साथ नकारात्मक भी लिया जाता है; x के दो मान 48, 16 पाए जाते हैं।<br />
<br />
== उच्च डिग्री(मात्रा/परिमाण) के समीकरण ==<br />
'''घन और द्विघात:''' हिंदुओं ने घन और द्विघात समीकरणों के समाधान में बहुत कुछ हासिल नहीं किया। भास्कर द्वितीय (1150) ने ''मध्यमाहारण'' (मध्य का उन्मूलन) की विधि को उन समीकरणों पर भी लागू करने का प्रयास किया ताकि लाभप्रद परिवर्तनों के माध्यम से उन्हें कम किया जा सके और क्रमशः सरल और द्विघात समीकरणों के लिए सहायक मात्राओं का परिचय दिया जा सके। इस प्रकार उन्होंने द्विघात को हल करने के आधुनिक तरीकों में से एक का अनुमान लगाया। "यदि, हालांकि," भास्कर द्वितीय का कहना है, "घन, द्विघात, आदि की उपस्थिति के कारण, अज्ञात पक्ष की जड़ के अभाव में, इस तरह के संचालन के प्रदर्शन के बाद, कमी का कार्य आगे नहीं बढ़ सकता है ( एक समीकरण का), तो अज्ञात का मान सरलता (गणितज्ञ के) द्वारा प्राप्त किया जाना चाहिए।" उन्होंने दो उदाहरण दिए हैं, एक घन का और दूसरा द्विघात का, जिसमें ऐसी कमी संभव है।<br />
<br />
उदाहरण 1. "वह कौन सी संख्या है, जिसे बारह से गुणा करने पर और संख्या के घन से बढ़ाने पर पैंतीस के साथ जोड़ी गई संख्या के वर्ग के छह गुणा के बराबर होती है।<br />
<br />
समाधान। "यहाँ संख्या x है। इसे बारह से गुणा किया जाता है और संख्या के घन से बढ़ाकर x³ + 12x हो जाता है। यह 6x² + 35 के बराबर होता है। निकासी करने पर, पहली तरफ x³ - 6x² + 12x; पर दिखाई देता है। दूसरा पक्ष 35. दोनों पक्षों में ऋणात्मक आठ जोड़ने पर और घनमूल निकालने पर हमें x - 2. = 0x + 3 प्राप्त होता है और इस समीकरण से संख्या 5 मिलती है।<br />
<br />
उदाहरण 2. "वह कौन सी संख्या है जिसे 200 से गुणा करके संख्या के वर्ग में जोड़ा जाता है, और फिर 2 से गुणा किया जाता है और संख्या की चौथी शक्ति से घटाया जाता है, तो वह असंख्य कम एकता बन जाएगी? वह संख्या बताएं।<br />
<br />
समाधान। "यहाँ संख्या x है; 200 से गुणा करने पर यह 200x हो जाता है; संख्या के वर्ग में जोड़ने पर x² + 200x हो जाता है; इसे दो से गुणा करने पर, 2x² + 400x; इससे संख्या की चौथी शक्ति कम हो जाती है, अर्थात्, यह x<sup>4</sup> , x<sup>4</sup>- 2x² - 400x हो जाता है। यह असंख्य कम एकता के बराबर है। समानता बनाए जाने के बाद, दोनों पक्ष होंगे,<br />
<br />
x<sup>4</sup>- 2x² - 400x = 0x<sup>4</sup> + 0x² + 0x + 9999<br />
<br />
यहाँ पर पहली भुजा में चार सौ x जमा एकता जोड़ने पर जड़ निकाली जा सकती है, लेकिन दूसरी भुजा में समान जोड़ने पर उसकी जड़ नहीं बनेगी। इस प्रकार कार्य (कमी का) आगे नहीं बढ़ता है। इसलिए यहाँ, सरलता (के लिए कहा जाता है)। यहाँ दोनों पक्षों को x के वर्ग के चार गुणा, चार सौ x और एकता में जोड़ने पर और फिर मूल निकालने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x² + 0x+ 1 = 0x² + 2x + 100<br />
<br />
फिर से इनके साथ समीकरण बनाकर और पहले की तरह आगे बढ़ने पर, x का मान 11 के रूप में प्राप्त होता है।"<br />
<br />
== समकालिक द्विघात समीकरण ==<br />
'''सामान्य रूप'''<br />
<br />
निम्नलिखित रूपों के एक साथ द्विघात समीकरणों से संबंधित विभिन्न समस्याओं का इलाज हिंदू लेखकों द्वारा किया गया है:<br />
<br />
x - y = d ; xy = b ......(1)<br />
<br />
x + y = a ; xy = b ......(2<br />
<br />
x² + y² = c ; xy = b ......(3)<br />
<br />
x² + y² = c ; x + y = a ......(4)<br />
<br />
(1) आर्यभट्ट प्रथम (499) के समाधान के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"गुणा के चार गुना (दो मात्राओं का) का वर्गमूल उनके अंतर के वर्ग के साथ जोड़ा जाता है, उनके अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है और आधा दो गुणक देता है।"<br />
<br />
यानी,<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{d^2+4b}}+d)</math> , <math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{d^2+4b}}-d)</math><br />
<br />
ब्रह्मगुप्त (628) कहते हैं: "अवशेषों के अंतर के वर्ग के योग का वर्गमूल और अवशेषों के उत्पाद का दो वर्ग गुना, अवशेषों के अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा (देता है) वांछित अवशेष गंभीर रूप से।"<br />
<br />
नारायण (1357) लिखते हैं: "दो मात्राओं के अंतर के वर्ग का वर्गमूल उनके गुणनफल का चार गुना होता है।"<br />
<br />
"मात्राओं के अंतर का वर्ग उनके गुणनफल के दुगुने के साथ उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। इस परिणाम का वर्गमूल जोड़ गुणन का दोगुना योग होता है।"<br />
<br />
(2) के समाधान के लिए महावीर (850) द्वारा निम्नलिखित नियम दिया गया है: "अर्ध-परिधि के वर्ग से क्षेत्रफल (एक आयत का) का चार गुना घटाएँ, फिर उस (शेष) के वर्गमूल के बीच ''संक्रमण'' द्वारा ) और अर्ध-परिधि, आधार और अपराइट प्राप्त होते हैं।"<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{a^2-4b}})</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{a^2-4b}})</math><br />
<br />
नारायण कहते हैं: "योग के वर्ग का वर्गमूल गुणनफल के चार गुना का अंतर है।"<br />
<br />
(3) के लिए महावीर नियम देता है: "विकर्ण के वर्ग से (एक आयत के) क्षेत्र में दो बार जोड़ें और घटाएं और वर्गमूल निकालें। इनमें से बड़े और छोटे (मूलों) के बीच संक्रामण द्वारा, पक्ष और सीधे पाए जाते हैं।<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{c+2b}} + {\sqrt{c-2b}})</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{c+2b}} - {\sqrt{c-2b}})</math><br />
<br />
समीकरणों के लिए (4) आर्यभट्ट I लिखते हैं: "योग के वर्ग से (दो राशियों का) उनके वर्गों का योग घटाएं। शेष का आधा उनका उत्पाद है।"<br />
<br />
शेष संक्रियाएं समीकरणों (2) के समान होंगी; ताकि<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{2c-a^2}})</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{2c-a^2}})</math><br />
<br />
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "योग के वर्ग को वर्गों के योग के दोगुने से घटाएं; शेष का वर्गमूल योग में जोड़ा और घटाया और आधा किया जाता है, वांछित अवशेष देता है।"<br />
<br />
नारायण ने एक साथ द्विघात समीकरणों के दो अन्य रूप दिए हैं, अर्थात्,<br />
<br />
<math>x^2+y^2=c </math> x - y = d.....(5)<br />
<br />
<math>x^2-y^2=m</math> xy = b ......(6)<br />
<br />
(5) के समाधान के लिए वह नियम देता है: "वर्गों के योग के दोगुने का वर्गमूल अंतर के वर्ग द्वारा घटाए गए के बराबर है<br />
<br />
योग।"<br />
<br />
<math>{\displaystyle x +y = {\sqrt{2c-d^2}}}</math><br />
<br />
इसलिए<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{2c-d^2}}+d)</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{2c-d^2}}-d)</math><br />
<br />
<br />
(6) के लिए नारायण लिखते हैं: "-<br />
<br />
"मान लीजिए कि गुणनफल का वर्ग गुणनफल (दो मात्राओं का) और वर्गों का अंतर उनके अंतर के रूप में है। उनसे संक्रम द्वारा (वर्ग) मात्राएँ प्राप्त की जाएंगी। उनके वर्गमूल अलग-अलग मात्राएँ (आवश्यक) देंगे। ।"<br />
<br />
हमारे पास है<br />
<br />
x² - y² =m<br />
<br />
x² y² = b<sup>2</sup><br />
<br />
ये रूप (1) के हैं। इसलिए<br />
<br />
<math>{\displaystyle x^2 = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{m^2+4b^2}}+m)</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y^2 = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{m^2+4b^2}}-m)</math><br />
<br />
अब हम x और y के मान प्राप्त करते हैं।<br />
<references /></div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1390समीकरण2022-02-17T09:22:36Z<p>Mani: /* द्विघातीय समीकरण */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II'' <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"<br />
<br />
== दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== सहमति का नियम ===<br />
आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय ''सन्निपतन/संक्रमण'' (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है<br />
<br />
x+ y= a, x-y= b<br />
<br />
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।<br />
<br />
"दो (स्वर्गीय निकायों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग में जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।<br />
<br />
=== रेखीय समीकरण ===<br />
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।<br />
<br />
उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है<br />
<br />
101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"<br />
<br />
यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो<br />
<br />
9x+7y= 107,<br />
<br />
7x+9y = 101.<br />
<br />
या, सामान्य तौर पर,<br />
<br />
ax+ by = m<br />
<br />
bx + ay = n<br />
<br />
समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।<br />
<br />
इस प्रकार , <math>{\displaystyle x = {\frac{(am - bn)}{(a^2 -b^2)}} }</math> ,<br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{(an - bm)}{(a^2 -b^2)}} }</math><br />
<br />
इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है:<br />
<br />
उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"<br />
<br />
समीकरण हैं<br />
<br />
x + 100 = 2(y - 100) (I)<br />
<br />
y + 10 = 6(x - 10) (2)<br />
<br />
भास्कर द्वितीय इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:<br />
<br />
'''पहली विधि:'''<br />
<br />
मान लीजिए x = 2z - 100, y = z + 100,<br />
<br />
ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न<br />
<br />
दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
z + 110 = 12z- 660;<br />
<br />
इसलिये z =70 , जिसकी वजह से - x = 40 , y = 170<br />
<br />
'''दूसरी विधि:'''<br />
<br />
समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x =2y - 300,<br />
<br />
और समीकरण (2) से<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle 2y -300 = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle 12y -1800 = y+70 }</math><br />
<br />
== कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का एक प्रकार ===<br />
कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:<br />
<br />
"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और<br />
<br />
एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।<br />
<br />
यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.<br />
<br />
एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है x₁ x₂ x₃ x₄ x₅<br />
<br />
x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20<br />
<br />
काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है<br />
<br />
x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an, n विषम होना।<br />
<br />
=== असत्य स्थिति से समाधान ===<br />
इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:<br />
<br />
x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें<br />
<br />
(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math><br />
<br />
विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है<br />
<br />
इसलिए सही मान हैं,<br />
<br />
x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8<br />
<br />
तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
समीकरण (I)<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2x<sub>1</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
मान लें x<sub>1</sub> = p; ताकि<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2p = b कहें।<br />
<br />
घटाना 2(x<sub>1</sub> - p) = a - b<br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_1 =p + {\frac{1}{2}}(a_n-b) }</math><br />
<br />
===दूसरा प्रकार===<br />
समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।<br />
<br />
Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub><br />
<br />
लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।<br />
<br />
<math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math><br />
<br />
महावीर समाधान इस प्रकार बताते हैं: "एक साथ जोड़ी गई वस्तुओं की बताई गई मात्रा को पुरुषों की संख्या से कम से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल कुल मूल्य (सभी वस्तुओं का) होगा। प्रत्येक बताई गई राशि को उसमें से घटाया जा रहा है, (मूल्य) हाथों में (प्रत्येक का मिल जाएगा)।<br />
<br />
अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:<br />
<br />
"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।<br />
<br />
पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया<br />
<br />
निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"<br />
<br />
यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math><br />
<br />
इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.<br />
<br />
नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"<br />
<br />
===तीसरा प्रकार===<br />
रैखिक समीकरणों की एक अधिक सामान्यीकृत प्रणाली होगी<br />
<br />
<math>{\displaystyle b_1\sum x - c_1x_1=a_1 }</math>, <math>b_2\sum x - c_2x_2=a_2</math>..............<br />
<br />
<math>b_n\sum x - c_nx_n=a_n</math> ....................................................................................................................................................................(III)<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle \sum x = {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}}}</math><br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_r ={\frac{b_r}{c_r}} . {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}} - {\frac{a_r}{c_r}}}</math>.................(I)<br />
<br />
r = I, 2, 3..... n<br />
<br />
इस प्रकार का एक विशेष मामला महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत किया गया है:<br />
<br />
"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी भीख मांगने पर पहले से 5 और दूसरे से 6 गुना अमीर बन गया।हे गणितज्ञ, यदि आप चित्रा-कुट्टक-मिश्रा जानते हैं, तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "<br />
<br />
यानी हमें समीकरण मिलते हैं<br />
<br />
x + 4 + 5 = 2(y + z - 4 - 5),<br />
<br />
y + 4 + 6 = 3(z + x - 4 - 6),<br />
<br />
z + 5 + 6 = 5 (x + y - 5 - 6);<br />
<br />
or 2(x + y + z) - 3x = 27,<br />
<br />
3(x + y + z) - 4y = 40 ;<br />
<br />
5 (x + y +z) - 6z = 66;<br />
<br />
प्रणाली का एक विशेष मामला (III) में प्रतिस्थापन<br />
<br />
(I), हम पाते हैं<br />
<br />
x = 7, Y = 8, Z = 9<br />
<br />
'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"पहले अज्ञात की तरफ से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है। पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार। यदि अंतिम समीकरण में और अधिक अज्ञात रहते हैं, तो पल्वराइज़र की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान पाए जा सकते हैं।"<br />
<br />
चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या अधिक अज्ञात मात्राएँ हों, यवत-तवत, आदि जैसे रंगों को उनके मूल्यों के लिए मान लिया जाना चाहिए। उन पर सभी कार्यों को अनुरूप रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के बयान और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। समानता-निकासी पहले दो और दो के बीच की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को साफ किया जाना चाहिए, अन्य अज्ञात को कम किया जाना चाहिए एक आम भाजक के लिए और साथ ही निरपेक्ष संख्या को विपरीत पक्ष से साफ किया जाना चाहिए। अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त होते हैं, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य भाजक को घटाकर समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात का मान ज्ञात करें। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के संदर्भ में हो तो गुणांक उन दोनों के सायंट परस्पर दो अज्ञातों के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो पल्वराइज़र (चूर्णित) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है।" यह ध्यान दिया जाएगा कि उपरोक्त नियम अनिश्चित के साथ-साथ निर्धारित समीकरणों को भी शामिल करता है। वास्तव में, नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं। हम उनमें से कुछ का उल्लेख बाद में उनके उचित स्थानों पर करेंगे। जहाँ तक एक साथ निर्धारित समीकरणों का संबंध है, उन्हें हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त की विधि आसानी से हमारे वर्तमान के समान ही मानी जाएगी।<br />
<br />
'''भास्कर का नियम:''' भास्कर द्वितीय ने व्यावहारिक रूप से ब्रह्मगुप्त के समान ही नियम दिया है, जिसमें कई अज्ञात को शामिल करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों को हल किया जाता है।<br />
<br />
हम उनके कार्यों से निम्नलिखित दृष्टांत लेते हैं।<br />
<br />
उदाहरण 1. "आठ माणिक, दस पन्ने और सौ मोती जो तेरे कान की अंगूठी में हैं, मेरे द्वारा आपके लिए समान मात्रा में खरीदे गए थे; तीन प्रकार के रत्नों की कीमत दरों का योग आधे से तीन कम है सौ का। मुझे बताओ, 0 प्रिय शुभ महिला, यदि आप गणित में कुशल हैं, तो प्रत्येक की कीमत।"<br />
<br />
यदि x, y, z क्रमशः माणिक, पन्ना और मोती की कीमतें हों, तो 8x = 10y = 100z<br />
<br />
x+y+z = 47<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं, समान राशि को w मान लें, तो हम प्राप्त करेंगे<br />
<br />
x = w/8, y = w/10, z = w/100<br />
<br />
शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम आसानी से w = 200 प्राप्त करते हैं। इसलिए<br />
<br />
x = 25, y = 20, z = 2<br />
<br />
== द्विघातीय समीकरण ==<br />
सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय हल<br />
<br />
<math>4h^2 -4dh =- c^2</math> जैनों (500- 300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में और उमास्वती (सी। 150 ई.पू.) के ''तत्त्वाधिगमा-सूत्र'' में भी पाया जाता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle h = {\frac {1}{2}} (d-\sqrt{d^2-c^2})}</math><br />
<br />
'''श्रीधर का शासन:''' श्रीधर (सी। 750) द्विघात समीकरण को हल करने की अपनी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करता है।<br />
<br />
बीजगणित पर उनका ग्रंथ अब खो गया है। लेकिन इसका प्रासंगिक हिस्सा भास्कर द्वितीय और अन्य के उद्धरणों में संरक्षित है। श्रीधर की विधि है: ।<br />
<br />
"दोनों पक्षों (एक समीकरण के) को अज्ञात के वर्ग के गुणांक के चार गुणा के बराबर ज्ञात मात्रा से गुणा करें; दोनों पक्षों में एक ज्ञात जोड़ें<br />
<br />
अज्ञात के (मूल) गुणांक के वर्ग के बराबर मात्रा: फिर मूल निकालें।"<br />
<br />
अर्थात् <math>ax^2 + bx = c</math> को हल करने के लिए,<br />
<br />
दोनों पक्षों में 4a से गुणा करें<br />
<br />
हमारे पास है <math>4a^2x^2 + 4abx = 4ac</math><br />
<br />
या<br />
<br />
<math>(2ax+b)^2 = 4ac + b^2</math><br />
<br />
<math>2ax+b = \sqrt{4ac + b^2}</math><br />
<br />
<math>x= \frac{\sqrt{4ac+b^2} -b}{2a}</math><br />
<br />
'''श्रीपति के नियम:''' श्रीपति (1039) द्विघात को हल करने की दो विधियों को इंगित करता है। पहली विधि का वर्णन करने वाले नियम में हमारी पांडुलिपि में एक कमी/अंतर है, लेकिन इसे आसानी से श्रीधर के समान माना जा सकता है। "अज्ञात के वर्ग के गुणांक से चार गुना गुणा करें और अज्ञात के गुणांक के वर्ग को जोड़ें; फिर अज्ञात के वर्ग के गुणांक के दोगुने से विभाजित वर्गमूल निकालें, का मान कहा जाता है अनजान।" "या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और गुणांक से विभाजित हो जाता है। अज्ञात के वर्ग का। इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"<br />
<br />
<math>ax^2 + bx = c</math><br />
<br />
or <math>{\displaystyle a^2x^2+ abx +\left ( \frac{b}{2} \right )^2 = ac +\left ( \frac{b}{2} \right )^2 }</math><br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle ax+ \left ( \frac{b}{2} \right ) = \sqrt{ac + \left ( \frac{b}{2} \right ) ^2} }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle x= \frac{\sqrt{ac + \left ( \frac{b}{2} \right ) ^2} - \frac{b}{2}}{a} }<br />
</math><br />
<br />
'''भास्कर द्वितीय के नियम :''' भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं : "जब अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है, तो दोनों पक्षों (समीकरण के) को कुछ उपयुक्त मात्राओं से गुणा करके, अन्य उपयुक्त मात्राओं को जोड़ा जाना चाहिए ताकि पक्ष युक्त अज्ञात एक मूल (''पद-प्रद)'' उत्पन्न करने में सक्षम हो जाता है। फिर समीकरण को इस पक्ष की जड़ और ज्ञात पक्ष की जड़ के साथ फिर से बनाया जाना चाहिए। इस प्रकार अज्ञात का मूल्य उस समीकरण से प्राप्त होता है।<br />
<br />
इस नियम को लेखक ने आगे इस प्रकार स्पष्ट किया है : .<br />
<br />
"जब दोनों पक्षों की पूर्ण निकासी के बाद, एक तरफ अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है और दूसरी तरफ केवल पूर्ण शब्द होता है, तो, दोनों पक्षों को कुछ उपयुक्त वैकल्पिक मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाना चाहिए; कुछ समान मात्राओं को आगे दोनों पक्षों से जोड़ा या घटाया जाना चाहिए ताकि अज्ञात पक्ष एक जड़ पैदा करने में सक्षम हो जाए। उस पक्ष की जड़ दूसरी तरफ के निरपेक्ष पदों के मूल के बराबर होनी चाहिए। के लिए, द्वारा एक साथ समान जोड़, आदि, दो समान पक्षों के लिए समानता बनी हुई है। इसलिए इन जड़ों के साथ फिर से एक समीकरण बनाने से अज्ञात का मान मिल जाता है।"<br />
<br />
यह ध्यान दिया जा सकता है कि भास्कर द्वितीय के अंकगणित पर अपने ग्रंथ में हमेशा अज्ञात के वर्ग के गुणांक द्वारा विभाजित करने की आधुनिक पद्धति का पालन किया गया है।<br />
<br />
ज्ञानराज (1503) और गणेश (1545) द्विघात को हल करने के लिए भास्कर द्वितीय के समान सामान्य तरीकों का वर्णन करते हैं।<br />
<br />
'''मध्य अवधि का उन्मूलन :'''द्विघात को हल करने की विधि हिंदू बीजगणितविदों के बीच तकनीकी पदनाम ''मध्यमहारना'' या "मध्य का उन्मूलन" (''मध्यम'' = मध्य और ''अहारना'' = हटाने, या नष्ट करने, यानी उन्मूलन) से जानी जाती थी। विधि के अंतर्निहित सिद्धांत में नाम की उत्पत्ति आसानी से मिल जाएगी। इसके द्वारा एक द्विघात समीकरण, जिसके सामान्य रूप में, तीन पद होते हैं और इसलिए एक मध्य पद होता है, एक शुद्ध द्विघात समीकरण या एक साधारण समीकरण में कम हो जाता है जिसमें केवल दो पद होते हैं और इसलिए कोई मध्य पद नहीं होता है। इस प्रकार मूल द्विघात के मध्य पद को इसके समाधान के लिए सामान्यतः अपनाई गई विधि द्वारा समाप्त कर दिया जाता है। और इसलिए नाम भास्कर द्वितीय ने देखा है, "यह भी विशेष रूप से विद्वान शिक्षकों द्वारा ''मध्यमहारना'' के रूप में नामित किया गया है। इसके द्वारा, द्विघात के दो शब्दों में से एक को हटा दिया जाता है, मध्य एक, होता है।" हालाँकि, नाम को एक विस्तारित अर्थ में भी नियोजित किया जाता है ताकि घन और द्विघात को हल करने के तरीकों को अपनाया जा सके, जहाँ कुछ शर्तों को भी समाप्त कर दिया जाता है। यह ब्रह्मगुप्त (628) के कार्यों के रूप में जल्दी होता है।<br />
<br />
'''द्विघात की दो जड़ें :''' हिंदुओं ने जल्दी ही पहचान लिया कि द्विघात के मूल रूप से दो मूल होते हैं। इस संबंध में भास्कर द्वितीय ने पद्मनाभ नाम के एक प्राचीन लेखक से निम्नलिखित नियम उद्धृत किया है जिसका बीजगणित पर ग्रंथ अब उपलब्ध नहीं है। "यदि मूलों को निकालने के बाद द्विघात की निरपेक्ष भुजा का वर्गमूल दूसरी ओर के ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और धनात्मक लेने पर अज्ञात के दो मान मिलते हैं।"<br />
<br />
भास्कर कुछ विशिष्ट दृष्टांतों की मदद से बताते हैं कि हालांकि द्विघात की ये दोहरी जड़ें सैद्धांतिक रूप से सही हैं, वे कभी-कभी असंगति की ओर ले जाती हैं और इसलिए हमेशा स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए। इसलिए वह नियम को इस प्रकार संशोधित करता है: "यदि द्विघात के ज्ञात पक्ष का वर्गमूल अज्ञात पक्ष के वर्गमूल में होने वाले ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और सकारात्मक बनाते हुए, दो मान अज्ञात का निर्धारण किया जाना चाहिए। यह कभी-कभी किया जाना चाहिए।"<br />
<br />
उदाहरण 1. "चौकोर बंदरों की एक टुकड़ी का आठवां हिस्सा, खुशी-खुशी उससे जुड़कर, जंगल के अंदर कूद रहा था। बारह पहाड़ी पर चिल्लाते और चिल्लाते हुए खुश थे। वे कितने थे?"<br />
<br />
समाधान। "यहाँ बंदरों का दल x है। इसके आठवें भाग का वर्ग 12 को मिलाकर सेना के बराबर है। तो दोनों भुजाएँ हैं<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{1}{64}}x^2+0x+12 = 0x^2+x+0}</math><br />
<br />
इन्हें एक सामान्य भाजक में कम करना और फिर हर को हटाना, और निकासी करना भी दोनों पक्ष बन जाते हैं<br />
<br />
x² - 64x + 0 = 0x2 + 0x - 768<br />
<br />
दोनों पक्षों में 32 का वर्ग जोड़ने पर और वर्गमूल निकालने पर, हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
x- 32 = ± (0x + 16)<br />
<br />
इस उदाहरण में ज्ञात पक्ष पर निरपेक्ष पद अज्ञात के पक्ष में ऋणात्मक निरपेक्ष पद से छोटा है; इसलिए इसे सकारात्मक के साथ-साथ नकारात्मक भी लिया जाता है; x के दो मान 48, 16 पाए जाते हैं।<br />
<br />
== उच्च डिग्री(मात्रा/परिमाण) के समीकरण ==<br />
'''घन और द्विघात:''' हिंदुओं ने घन और द्विघात समीकरणों के समाधान में बहुत कुछ हासिल नहीं किया। भास्कर द्वितीय (1150) ने ''मध्यमाहारण'' (मध्य का उन्मूलन) की विधि को उन समीकरणों पर भी लागू करने का प्रयास किया ताकि लाभप्रद परिवर्तनों के माध्यम से उन्हें कम किया जा सके और क्रमशः सरल और द्विघात समीकरणों के लिए सहायक मात्राओं का परिचय दिया जा सके। इस प्रकार उन्होंने द्विघात को हल करने के आधुनिक तरीकों में से एक का अनुमान लगाया। "यदि, हालांकि," भास्कर द्वितीय का कहना है, "घन, द्विघात, आदि की उपस्थिति के कारण, अज्ञात पक्ष की जड़ के अभाव में, इस तरह के संचालन के प्रदर्शन के बाद, कमी का कार्य आगे नहीं बढ़ सकता है ( एक समीकरण का), तो अज्ञात का मान सरलता (गणितज्ञ के) द्वारा प्राप्त किया जाना चाहिए।" उन्होंने दो उदाहरण दिए हैं, एक घन का और दूसरा द्विघात का, जिसमें ऐसी कमी संभव है।<br />
<br />
उदाहरण 1. "वह कौन सी संख्या है, जिसे बारह से गुणा करने पर और संख्या के घन से बढ़ाने पर पैंतीस के साथ जोड़ी गई संख्या के वर्ग के छह गुणा के बराबर होती है।<br />
<br />
समाधान। "यहाँ संख्या x है। इसे बारह से गुणा किया जाता है और संख्या के घन से बढ़ाकर x³ + 12x हो जाता है। यह 6x² + 35 के बराबर होता है। निकासी करने पर, पहली तरफ x³ - 6x² + 12x; पर दिखाई देता है। दूसरा पक्ष 35. दोनों पक्षों में ऋणात्मक आठ जोड़ने पर और घनमूल निकालने पर हमें x - 2. = 0x + 3 प्राप्त होता है और इस समीकरण से संख्या 5 मिलती है।<br />
<br />
उदाहरण 2. "वह कौन सी संख्या है जिसे 200 से गुणा करके संख्या के वर्ग में जोड़ा जाता है, और फिर 2 से गुणा किया जाता है और संख्या की चौथी शक्ति से घटाया जाता है, तो वह असंख्य कम एकता बन जाएगी? वह संख्या बताएं।<br />
<br />
समाधान। "यहाँ संख्या x है; 200 से गुणा करने पर यह 200x हो जाता है; संख्या के वर्ग में जोड़ने पर x² + 200x हो जाता है; इसे दो से गुणा करने पर, 2x² + 400x; इससे संख्या की चौथी शक्ति कम हो जाती है, अर्थात्, यह x<sup>4</sup> , x<sup>4</sup>- 2x² - 400x हो जाता है। यह असंख्य कम एकता के बराबर है। समानता बनाए जाने के बाद, दोनों पक्ष होंगे,<br />
<br />
x<sup>4</sup>- 2x² - 400x = 0x<sup>4</sup> + 0x² + 0x + 9999<br />
<br />
यहाँ पर पहली भुजा में चार सौ x जमा एकता जोड़ने पर जड़ निकाली जा सकती है, लेकिन दूसरी भुजा में समान जोड़ने पर उसकी जड़ नहीं बनेगी। इस प्रकार कार्य (कमी का) आगे नहीं बढ़ता है। इसलिए यहाँ, सरलता (के लिए कहा जाता है)। यहाँ दोनों पक्षों को x के वर्ग के चार गुणा, चार सौ x और एकता में जोड़ने पर और फिर मूल निकालने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x² + 0x+ 1 = 0x² + 2x + 100<br />
<br />
फिर से इनके साथ समीकरण बनाकर और पहले की तरह आगे बढ़ने पर, x का मान 11 के रूप में प्राप्त होता है।"<br />
<br />
== समकालिक द्विघात समीकरण ==<br />
'''सामान्य रूप'''<br />
<br />
निम्नलिखित रूपों के एक साथ द्विघात समीकरणों से संबंधित विभिन्न समस्याओं का इलाज हिंदू लेखकों द्वारा किया गया है:<br />
<br />
x - y = d ; xy = b ......(1)<br />
<br />
x + y = a ; xy = b ......(2<br />
<br />
x² + y² = c ; xy = b ......(3)<br />
<br />
x² + y² = c ; x + y = a ......(4)<br />
<br />
(1) आर्यभट्ट प्रथम (499) के समाधान के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"गुणा के चार गुना (दो मात्राओं का) का वर्गमूल उनके अंतर के वर्ग के साथ जोड़ा जाता है, उनके अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है और आधा दो गुणक देता है।"<br />
<br />
यानी,<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{d^2+4b}}+d)</math> , <math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{d^2+4b}}-d)</math><br />
<br />
ब्रह्मगुप्त (628) कहते हैं: "अवशेषों के अंतर के वर्ग के योग का वर्गमूल और अवशेषों के उत्पाद का दो वर्ग गुना, अवशेषों के अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा (देता है) वांछित अवशेष गंभीर रूप से।"<br />
<br />
नारायण (1357) लिखते हैं: "दो मात्राओं के अंतर के वर्ग का वर्गमूल उनके गुणनफल का चार गुना होता है।"<br />
<br />
"मात्राओं के अंतर का वर्ग उनके गुणनफल के दुगुने के साथ उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। इस परिणाम का वर्गमूल जोड़ गुणन का दोगुना योग होता है।"<br />
<br />
(2) के समाधान के लिए महावीर (850) द्वारा निम्नलिखित नियम दिया गया है: "अर्ध-परिधि के वर्ग से क्षेत्रफल (एक आयत का) का चार गुना घटाएँ, फिर उस (शेष) के वर्गमूल के बीच ''संक्रमण'' द्वारा ) और अर्ध-परिधि, आधार और अपराइट प्राप्त होते हैं।"<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{a^2-4b}})</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{a^2-4b}})</math><br />
<br />
नारायण कहते हैं: "योग के वर्ग का वर्गमूल गुणनफल के चार गुना का अंतर है।"<br />
<br />
(3) के लिए महावीर नियम देता है: "विकर्ण के वर्ग से (एक आयत के) क्षेत्र में दो बार जोड़ें और घटाएं और वर्गमूल निकालें। इनमें से बड़े और छोटे (मूलों) के बीच संक्रामण द्वारा, पक्ष और सीधे पाए जाते हैं।<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{c+2b}} + {\sqrt{c-2b}})</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{c+2b}} - {\sqrt{c-2b}})</math><br />
<br />
समीकरणों के लिए (4) आर्यभट्ट I लिखते हैं: "योग के वर्ग से (दो राशियों का) उनके वर्गों का योग घटाएं। शेष का आधा उनका उत्पाद है।"<br />
<br />
शेष संक्रियाएं समीकरणों (2) के समान होंगी; ताकि<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{2c-a^2}})</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{2c-a^2}})</math><br />
<br />
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "योग के वर्ग को वर्गों के योग के दोगुने से घटाएं; शेष का वर्गमूल योग में जोड़ा और घटाया और आधा किया जाता है, वांछित अवशेष देता है।"<br />
<br />
नारायण ने एक साथ द्विघात समीकरणों के दो अन्य रूप दिए हैं, अर्थात्,<br />
<br />
<math>x^2+y^2=c </math> x - y = d.....(5)<br />
<br />
<math>x^2-y^2=m</math> xy = b ......(6)<br />
<br />
(5) के समाधान के लिए वह नियम देता है: "वर्गों के योग के दोगुने का वर्गमूल अंतर के वर्ग द्वारा घटाए गए के बराबर है<br />
<br />
योग।"<br />
<br />
<math>{\displaystyle x +y = {\sqrt{2c-d^2}}}</math><br />
<br />
इसलिए<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{2c-d^2}}+d)</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{2c-d^2}}-d)</math><br />
<br />
<br />
(6) के लिए नारायण लिखते हैं: "-<br />
<br />
"मान लीजिए कि गुणनफल का वर्ग गुणनफल (दो मात्राओं का) और वर्गों का अंतर उनके अंतर के रूप में है। उनसे संक्रम द्वारा (वर्ग) मात्राएँ प्राप्त की जाएंगी। उनके वर्गमूल अलग-अलग मात्राएँ (आवश्यक) देंगे। ।"<br />
<br />
हमारे पास है<br />
<br />
x² - y² =m<br />
<br />
x² y² = b<sup>2</sup><br />
<br />
ये रूप (1) के हैं। इसलिए<br />
<br />
<math>{\displaystyle x^2 = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{m^2+4b^2}}+m)</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle y^2 = {\frac{1}{2}}}({\sqrt{m^2+4b^2}}-m)</math><br />
<br />
अब हम x और y के मान प्राप्त करते हैं।<br />
<references /></div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1389समीकरण2022-02-17T07:55:55Z<p>Mani: /* पहली विधि: */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II'' <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"<br />
<br />
== दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== सहमति का नियम ===<br />
आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय ''सन्निपतन/संक्रमण'' (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है<br />
<br />
x+ y= a, x-y= b<br />
<br />
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।<br />
<br />
"दो (स्वर्गीय निकायों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग में जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।<br />
<br />
=== रेखीय समीकरण ===<br />
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।<br />
<br />
उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है<br />
<br />
101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"<br />
<br />
यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो<br />
<br />
9x+7y= 107,<br />
<br />
7x+9y = 101.<br />
<br />
या, सामान्य तौर पर,<br />
<br />
ax+ by = m<br />
<br />
bx + ay = n<br />
<br />
समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।<br />
<br />
इस प्रकार , <math>{\displaystyle x = {\frac{(am - bn)}{(a^2 -b^2)}} }</math> ,<br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{(an - bm)}{(a^2 -b^2)}} }</math><br />
<br />
इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है:<br />
<br />
उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"<br />
<br />
समीकरण हैं<br />
<br />
x + 100 = 2(y - 100) (I)<br />
<br />
y + 10 = 6(x - 10) (2)<br />
<br />
भास्कर द्वितीय इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:<br />
<br />
'''पहली विधि:'''<br />
<br />
मान लीजिए x = 2z - 100, y = z + 100,<br />
<br />
ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न<br />
<br />
दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
z + 110 = 12z- 660;<br />
<br />
इसलिये z =70 , जिसकी वजह से - x = 40 , y = 170<br />
<br />
'''दूसरी विधि:'''<br />
<br />
समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x =2y - 300,<br />
<br />
और समीकरण (2) से<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle 2y -300 = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle 12y -1800 = y+70 }</math><br />
<br />
== कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का एक प्रकार ===<br />
कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:<br />
<br />
"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और<br />
<br />
एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।<br />
<br />
यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.<br />
<br />
एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है x₁ x₂ x₃ x₄ x₅<br />
<br />
x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20<br />
<br />
काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है<br />
<br />
x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an, n विषम होना।<br />
<br />
=== असत्य स्थिति से समाधान ===<br />
इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:<br />
<br />
x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें<br />
<br />
(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math><br />
<br />
विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है<br />
<br />
इसलिए सही मान हैं,<br />
<br />
x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8<br />
<br />
तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
समीकरण (I)<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2x<sub>1</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
मान लें x<sub>1</sub> = p; ताकि<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2p = b कहें।<br />
<br />
घटाना 2(x<sub>1</sub> - p) = a - b<br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_1 =p + {\frac{1}{2}}(a_n-b) }</math><br />
<br />
===दूसरा प्रकार===<br />
समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।<br />
<br />
Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub><br />
<br />
लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।<br />
<br />
<math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math><br />
<br />
महावीर समाधान इस प्रकार बताते हैं: "एक साथ जोड़ी गई वस्तुओं की बताई गई मात्रा को पुरुषों की संख्या से कम से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल कुल मूल्य (सभी वस्तुओं का) होगा। प्रत्येक बताई गई राशि को उसमें से घटाया जा रहा है, (मूल्य) हाथों में (प्रत्येक का मिल जाएगा)।<br />
<br />
अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:<br />
<br />
"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।<br />
<br />
पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया<br />
<br />
निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"<br />
<br />
यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math><br />
<br />
इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.<br />
<br />
नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"<br />
<br />
===तीसरा प्रकार===<br />
रैखिक समीकरणों की एक अधिक सामान्यीकृत प्रणाली होगी<br />
<br />
<math>{\displaystyle b_1\sum x - c_1x_1=a_1 }</math>, <math>b_2\sum x - c_2x_2=a_2</math>..............<br />
<br />
<math>b_n\sum x - c_nx_n=a_n</math> ....................................................................................................................................................................(III)<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle \sum x = {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}}}</math><br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_r ={\frac{b_r}{c_r}} . {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}} - {\frac{a_r}{c_r}}}</math>.................(I)<br />
<br />
r = I, 2, 3..... n<br />
<br />
इस प्रकार का एक विशेष मामला महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत किया गया है:<br />
<br />
"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी भीख मांगने पर पहले से 5 और दूसरे से 6 गुना अमीर बन गया।हे गणितज्ञ, यदि आप चित्रा-कुट्टक-मिश्रा जानते हैं, तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "<br />
<br />
यानी हमें समीकरण मिलते हैं<br />
<br />
x + 4 + 5 = 2(y + z - 4 - 5),<br />
<br />
y + 4 + 6 = 3(z + x - 4 - 6),<br />
<br />
z + 5 + 6 = 5 (x + y - 5 - 6);<br />
<br />
or 2(x + y + z) - 3x = 27,<br />
<br />
3(x + y + z) - 4y = 40 ;<br />
<br />
5 (x + y +z) - 6z = 66;<br />
<br />
प्रणाली का एक विशेष मामला (III) में प्रतिस्थापन<br />
<br />
(I), हम पाते हैं<br />
<br />
x = 7, Y = 8, Z = 9<br />
<br />
'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"पहले अज्ञात की तरफ से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है। पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार। यदि अंतिम समीकरण में और अधिक अज्ञात रहते हैं, तो पल्वराइज़र की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान पाए जा सकते हैं।"<br />
<br />
चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या अधिक अज्ञात मात्राएँ हों, यवत-तवत, आदि जैसे रंगों को उनके मूल्यों के लिए मान लिया जाना चाहिए। उन पर सभी कार्यों को अनुरूप रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के बयान और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। समानता-निकासी पहले दो और दो के बीच की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को साफ किया जाना चाहिए, अन्य अज्ञात को कम किया जाना चाहिए एक आम भाजक के लिए और साथ ही निरपेक्ष संख्या को विपरीत पक्ष से साफ किया जाना चाहिए। अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त होते हैं, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य भाजक को घटाकर समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात का मान ज्ञात करें। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के संदर्भ में हो तो गुणांक उन दोनों के सायंट परस्पर दो अज्ञातों के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो पल्वराइज़र (चूर्णित) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है।" यह ध्यान दिया जाएगा कि उपरोक्त नियम अनिश्चित के साथ-साथ निर्धारित समीकरणों को भी शामिल करता है। वास्तव में, नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं। हम उनमें से कुछ का उल्लेख बाद में उनके उचित स्थानों पर करेंगे। जहाँ तक एक साथ निर्धारित समीकरणों का संबंध है, उन्हें हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त की विधि आसानी से हमारे वर्तमान के समान ही मानी जाएगी।<br />
<br />
'''भास्कर का नियम:''' भास्कर द्वितीय ने व्यावहारिक रूप से ब्रह्मगुप्त के समान ही नियम दिया है, जिसमें कई अज्ञात को शामिल करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों को हल किया जाता है।<br />
<br />
हम उनके कार्यों से निम्नलिखित दृष्टांत लेते हैं।<br />
<br />
उदाहरण 1. "आठ माणिक, दस पन्ने और सौ मोती जो तेरे कान की अंगूठी में हैं, मेरे द्वारा आपके लिए समान मात्रा में खरीदे गए थे; तीन प्रकार के रत्नों की कीमत दरों का योग आधे से तीन कम है सौ का। मुझे बताओ, 0 प्रिय शुभ महिला, यदि आप गणित में कुशल हैं, तो प्रत्येक की कीमत।"<br />
<br />
यदि x, y, z क्रमशः माणिक, पन्ना और मोती की कीमतें हों, तो 8x = 10y = 100z<br />
<br />
x+y+z = 47<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं, समान राशि को w मान लें, तो हम प्राप्त करेंगे<br />
<br />
x = w/8, y = w/10, z = w/100<br />
<br />
शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम आसानी से w = 200 प्राप्त करते हैं। इसलिए<br />
<br />
x = 25, y = 20, z = 2<br />
<br />
== द्विघातीय समीकरण ==<br />
सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय हल<br />
<br />
<math>4h^2 -4dh =- c^2</math> जैनों (500- 300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में और उमास्वती (सी। 150 ई.पू.) के ''तत्त्वाधिगमा-सूत्र'' में भी पाया जाता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle h = {\frac {1}{2}} (d-\sqrt{d^2-c^2})}</math><br />
<br />
'''श्रीधर का शासन:''' श्रीधर (सी। 750) द्विघात समीकरण को हल करने की अपनी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करता है।<br />
<br />
बीजगणित पर उनका ग्रंथ अब खो गया है। लेकिन इसका प्रासंगिक हिस्सा भास्कर द्वितीय और अन्य के उद्धरणों में संरक्षित है। श्रीधर की विधि है: ।<br />
<br />
"दोनों पक्षों (एक समीकरण के) को अज्ञात के वर्ग के गुणांक के चार गुणा के बराबर ज्ञात मात्रा से गुणा करें; दोनों पक्षों में एक ज्ञात जोड़ें<br />
<br />
अज्ञात के (मूल) गुणांक के वर्ग के बराबर मात्रा: फिर मूल निकालें।"<br />
<br />
अर्थात् <math>ax^2 + bx = c</math> को हल करने के लिए,<br />
<br />
दोनों पक्षों में 4a से गुणा करें<br />
<br />
हमारे पास है <math>4a^2x^2 + 4abx = 4ac</math><br />
<br />
या<br />
<br />
<math>(2ax+b)^2 = 4ac + b^2</math><br />
<br />
<math>2ax+b = \sqrt{4ac + b^2}</math><br />
<br />
<math>x= \frac{\sqrt{4ac+b^2} -b}{2a}</math><br />
<br />
'''श्रीपति के नियम:''' श्रीपति (1039) द्विघात को हल करने की दो विधियों को इंगित करता है। पहली विधि का वर्णन करने वाले नियम में हमारी पांडुलिपि में एक कमी/अंतर है, लेकिन इसे आसानी से श्रीधर के समान माना जा सकता है। "अज्ञात के वर्ग के गुणांक से चार गुना गुणा करें और अज्ञात के गुणांक के वर्ग को जोड़ें; फिर अज्ञात के वर्ग के गुणांक के दोगुने से विभाजित वर्गमूल निकालें, का मान कहा जाता है अनजान।" "या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और गुणांक से विभाजित हो जाता है। अज्ञात के वर्ग का। इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"<br />
<br />
<math>ax^2 + bx = c</math><br />
<br />
or <math>{\displaystyle a^2x^2+ abx +\left ( \frac{b}{2} \right )^2 = ac +\left ( \frac{b}{2} \right )^2 }</math><br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle ax+ \left ( \frac{b}{2} \right ) = \sqrt{ac + \left ( \frac{b}{2} \right ) ^2} }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle x= \frac{\sqrt{ac + \left ( \frac{b}{2} \right ) ^2} - \frac{b}{2}}{a} }<br />
</math><br />
<br />
'''भास्कर द्वितीय के नियम :''' भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं : "जब अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है, तो दोनों पक्षों (समीकरण के) को कुछ उपयुक्त मात्राओं से गुणा करके, अन्य उपयुक्त मात्राओं को जोड़ा जाना चाहिए ताकि पक्ष युक्त अज्ञात एक मूल (''पद-प्रद)'' उत्पन्न करने में सक्षम हो जाता है। फिर समीकरण को इस पक्ष की जड़ और ज्ञात पक्ष की जड़ के साथ फिर से बनाया जाना चाहिए। इस प्रकार अज्ञात का मूल्य उस समीकरण से प्राप्त होता है।<br />
<br />
इस नियम को लेखक ने आगे इस प्रकार स्पष्ट किया है : .<br />
<br />
"जब दोनों पक्षों की पूर्ण निकासी के बाद, एक तरफ अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है और दूसरी तरफ केवल पूर्ण शब्द होता है, तो, दोनों पक्षों को कुछ उपयुक्त वैकल्पिक मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाना चाहिए; कुछ समान मात्राओं को आगे दोनों पक्षों से जोड़ा या घटाया जाना चाहिए ताकि अज्ञात पक्ष एक जड़ पैदा करने में सक्षम हो जाए। उस पक्ष की जड़ दूसरी तरफ के निरपेक्ष पदों के मूल के बराबर होनी चाहिए। के लिए, द्वारा एक साथ समान जोड़, आदि, दो समान पक्षों के लिए समानता बनी हुई है। इसलिए इन जड़ों के साथ फिर से एक समीकरण बनाने से अज्ञात का मान मिल जाता है।"<br />
<br />
यह ध्यान दिया जा सकता है कि भास्कर द्वितीय के अंकगणित पर अपने ग्रंथ में हमेशा अज्ञात के वर्ग के गुणांक द्वारा विभाजित करने की आधुनिक पद्धति का पालन किया गया है।<br />
<br />
ज्ञानराज (1503) और गणेश (1545) द्विघात को हल करने के लिए भास्कर द्वितीय के समान सामान्य तरीकों का वर्णन करते हैं।<br />
<br />
'''मध्य अवधि का उन्मूलन :'''द्विघात को हल करने की विधि हिंदू बीजगणितविदों के बीच तकनीकी पदनाम ''मध्यमहारना'' या "मध्य का उन्मूलन" (''मध्यम'' = मध्य और ''अहारना'' = हटाने, या नष्ट करने, यानी उन्मूलन) से जानी जाती थी। विधि के अंतर्निहित सिद्धांत में नाम की उत्पत्ति आसानी से मिल जाएगी। इसके द्वारा एक द्विघात समीकरण, जिसके सामान्य रूप में, तीन पद होते हैं और इसलिए एक मध्य पद होता है, एक शुद्ध द्विघात समीकरण या एक साधारण समीकरण में कम हो जाता है जिसमें केवल दो पद होते हैं और इसलिए कोई मध्य पद नहीं होता है। इस प्रकार मूल द्विघात के मध्य पद को इसके समाधान के लिए सामान्यतः अपनाई गई विधि द्वारा समाप्त कर दिया जाता है। और इसलिए नाम भास्कर द्वितीय ने देखा है, "यह भी विशेष रूप से विद्वान शिक्षकों द्वारा ''मध्यमहारना'' के रूप में नामित किया गया है। इसके द्वारा, द्विघात के दो शब्दों में से एक को हटा दिया जाता है, मध्य एक, होता है।" हालाँकि, नाम को एक विस्तारित अर्थ में भी नियोजित किया जाता है ताकि घन और द्विघात को हल करने के तरीकों को अपनाया जा सके, जहाँ कुछ शर्तों को भी समाप्त कर दिया जाता है। यह ब्रह्मगुप्त (628) के कार्यों के रूप में जल्दी होता है।<br />
<br />
'''द्विघात की दो जड़ें :''' हिंदुओं ने जल्दी ही पहचान लिया कि द्विघात के मूल रूप से दो मूल होते हैं। इस संबंध में भास्कर द्वितीय ने पद्मनाभ नाम के एक प्राचीन लेखक से निम्नलिखित नियम उद्धृत किया है जिसका बीजगणित पर ग्रंथ अब उपलब्ध नहीं है। "यदि मूलों को निकालने के बाद द्विघात की निरपेक्ष भुजा का वर्गमूल दूसरी ओर के ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और धनात्मक लेने पर अज्ञात के दो मान मिलते हैं।"<br />
<br />
भास्कर कुछ विशिष्ट दृष्टांतों की मदद से बताते हैं कि हालांकि द्विघात की ये दोहरी जड़ें सैद्धांतिक रूप से सही हैं, वे कभी-कभी असंगति की ओर ले जाती हैं और इसलिए हमेशा स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए। इसलिए वह नियम को इस प्रकार संशोधित करता है: "यदि द्विघात के ज्ञात पक्ष का वर्गमूल अज्ञात पक्ष के वर्गमूल में होने वाले ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और सकारात्मक बनाते हुए, दो मान अज्ञात का निर्धारण किया जाना चाहिए। यह कभी-कभी किया जाना चाहिए।"<br />
<br />
उदाहरण 1. "चौकोर बंदरों की एक टुकड़ी का आठवां हिस्सा, खुशी-खुशी उससे जुड़कर, जंगल के अंदर कूद रहा था। बारह पहाड़ी पर चिल्लाते और चिल्लाते हुए खुश थे। वे कितने थे?"<br />
<br />
समाधान। "यहाँ बंदरों का दल x है। इसके आठवें भाग का वर्ग 12 को मिलाकर सेना के बराबर है। तो दोनों भुजाएँ हैं<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{1}{64}}x^2+0x+12 = 0x^2+x+0}</math><br />
<br />
इन्हें एक सामान्य भाजक में कम करना और फिर हर को हटाना, और निकासी करना भी दोनों पक्ष बन जाते हैं<br />
<br />
x² - 64x + 0 = 0x2 + 0x - 768<br />
<br />
दोनों पक्षों में 32 का वर्ग जोड़ने पर और वर्गमूल निकालने पर, हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
x- 32 = ± (0x + 16)<br />
<br />
इस उदाहरण में ज्ञात पक्ष पर निरपेक्ष पद अज्ञात के पक्ष में ऋणात्मक निरपेक्ष पद से छोटा है; इसलिए इसे सकारात्मक के साथ-साथ नकारात्मक भी लिया जाता है; x के दो मान 48, 16 पाए जाते हैं।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1388समीकरण2022-02-17T07:49:04Z<p>Mani: /* पहली विधि: */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II'' <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"<br />
<br />
== दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== सहमति का नियम ===<br />
आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय ''सन्निपतन/संक्रमण'' (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है<br />
<br />
x+ y= a, x-y= b<br />
<br />
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।<br />
<br />
"दो (स्वर्गीय निकायों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग में जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।<br />
<br />
=== रेखीय समीकरण ===<br />
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।<br />
<br />
उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है<br />
<br />
101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"<br />
<br />
यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो<br />
<br />
9x+7y= 107,<br />
<br />
7x+9y = 101.<br />
<br />
या, सामान्य तौर पर,<br />
<br />
ax+ by = m<br />
<br />
bx + ay = n<br />
<br />
समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।<br />
<br />
इस प्रकार , <math>{\displaystyle x = {\frac{(am - bn)}{(a^2 -b^2)}} }</math> ,<br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{(an - bm)}{(a^2 -b^2)}} }</math><br />
<br />
इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है:<br />
<br />
उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"<br />
<br />
समीकरण हैं<br />
<br />
x + 100 = 2(y - 100) (I)<br />
<br />
y + 10 = 6(x - 10) (2)<br />
<br />
भास्कर द्वितीय इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:<br />
<br />
=== पहली विधि: ===<br />
मान लीजिए x = 2z - 100, y = z + 100,<br />
<br />
ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न<br />
<br />
दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
z + 110 = 12z- 660;<br />
<br />
इसलिये z =70 , जिसकी वजह से - x = 40 , y = 170<br />
<br />
=== दूसरी विधि: ===<br />
समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x =2y - 300,<br />
<br />
और समीकरण (2) से<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle 2y -300 = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle 12y -1800 = y+70 }</math><br />
<br />
== कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का एक प्रकार ===<br />
कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:<br />
<br />
"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और<br />
<br />
एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।<br />
<br />
यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.<br />
<br />
एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है x₁ x₂ x₃ x₄ x₅<br />
<br />
x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20<br />
<br />
काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है<br />
<br />
x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an, n विषम होना।<br />
<br />
=== असत्य स्थिति से समाधान ===<br />
इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:<br />
<br />
x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें<br />
<br />
(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math><br />
<br />
विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है<br />
<br />
इसलिए सही मान हैं,<br />
<br />
x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8<br />
<br />
तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
समीकरण (I)<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2x<sub>1</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
मान लें x<sub>1</sub> = p; ताकि<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2p = b कहें।<br />
<br />
घटाना 2(x<sub>1</sub> - p) = a - b<br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_1 =p + {\frac{1}{2}}(a_n-b) }</math><br />
<br />
===दूसरा प्रकार===<br />
समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।<br />
<br />
Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub><br />
<br />
लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।<br />
<br />
<math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math><br />
<br />
महावीर समाधान इस प्रकार बताते हैं: "एक साथ जोड़ी गई वस्तुओं की बताई गई मात्रा को पुरुषों की संख्या से कम से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल कुल मूल्य (सभी वस्तुओं का) होगा। प्रत्येक बताई गई राशि को उसमें से घटाया जा रहा है, (मूल्य) हाथों में (प्रत्येक का मिल जाएगा)।<br />
<br />
अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:<br />
<br />
"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।<br />
<br />
पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया<br />
<br />
निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"<br />
<br />
यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math><br />
<br />
इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.<br />
<br />
नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"<br />
<br />
===तीसरा प्रकार===<br />
रैखिक समीकरणों की एक अधिक सामान्यीकृत प्रणाली होगी<br />
<br />
<math>{\displaystyle b_1\sum x - c_1x_1=a_1 }</math>, <math>b_2\sum x - c_2x_2=a_2</math>..............<br />
<br />
<math>b_n\sum x - c_nx_n=a_n</math> ....................................................................................................................................................................(III)<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle \sum x = {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}}}</math><br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_r ={\frac{b_r}{c_r}} . {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}} - {\frac{a_r}{c_r}}}</math>.................(I)<br />
<br />
r = I, 2, 3..... n<br />
<br />
इस प्रकार का एक विशेष मामला महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत किया गया है:<br />
<br />
"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी भीख मांगने पर पहले से 5 और दूसरे से 6 गुना अमीर बन गया।हे गणितज्ञ, यदि आप चित्रा-कुट्टक-मिश्रा जानते हैं, तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "<br />
<br />
यानी हमें समीकरण मिलते हैं<br />
<br />
x + 4 + 5 = 2(y + z - 4 - 5),<br />
<br />
y + 4 + 6 = 3(z + x - 4 - 6),<br />
<br />
z + 5 + 6 = 5 (x + y - 5 - 6);<br />
<br />
or 2(x + y + z) - 3x = 27,<br />
<br />
3(x + y + z) - 4y = 40 ;<br />
<br />
5 (x + y +z) - 6z = 66;<br />
<br />
प्रणाली का एक विशेष मामला (III) में प्रतिस्थापन<br />
<br />
(I), हम पाते हैं<br />
<br />
x = 7, Y = 8, Z = 9<br />
<br />
'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"पहले अज्ञात की तरफ से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है। पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार। यदि अंतिम समीकरण में और अधिक अज्ञात रहते हैं, तो पल्वराइज़र की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान पाए जा सकते हैं।"<br />
<br />
चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या अधिक अज्ञात मात्राएँ हों, यवत-तवत, आदि जैसे रंगों को उनके मूल्यों के लिए मान लिया जाना चाहिए। उन पर सभी कार्यों को अनुरूप रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के बयान और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। समानता-निकासी पहले दो और दो के बीच की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को साफ किया जाना चाहिए, अन्य अज्ञात को कम किया जाना चाहिए एक आम भाजक के लिए और साथ ही निरपेक्ष संख्या को विपरीत पक्ष से साफ किया जाना चाहिए। अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त होते हैं, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य भाजक को घटाकर समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात का मान ज्ञात करें। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के संदर्भ में हो तो गुणांक उन दोनों के सायंट परस्पर दो अज्ञातों के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो पल्वराइज़र (चूर्णित) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है।" यह ध्यान दिया जाएगा कि उपरोक्त नियम अनिश्चित के साथ-साथ निर्धारित समीकरणों को भी शामिल करता है। वास्तव में, नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं। हम उनमें से कुछ का उल्लेख बाद में उनके उचित स्थानों पर करेंगे। जहाँ तक एक साथ निर्धारित समीकरणों का संबंध है, उन्हें हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त की विधि आसानी से हमारे वर्तमान के समान ही मानी जाएगी।<br />
<br />
'''भास्कर का नियम:''' भास्कर द्वितीय ने व्यावहारिक रूप से ब्रह्मगुप्त के समान ही नियम दिया है, जिसमें कई अज्ञात को शामिल करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों को हल किया जाता है।<br />
<br />
हम उनके कार्यों से निम्नलिखित दृष्टांत लेते हैं।<br />
<br />
उदाहरण 1. "आठ माणिक, दस पन्ने और सौ मोती जो तेरे कान की अंगूठी में हैं, मेरे द्वारा आपके लिए समान मात्रा में खरीदे गए थे; तीन प्रकार के रत्नों की कीमत दरों का योग आधे से तीन कम है सौ का। मुझे बताओ, 0 प्रिय शुभ महिला, यदि आप गणित में कुशल हैं, तो प्रत्येक की कीमत।"<br />
<br />
यदि x, y, z क्रमशः माणिक, पन्ना और मोती की कीमतें हों, तो 8x = 10y = 100z<br />
<br />
x+y+z = 47<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं, समान राशि को w मान लें, तो हम प्राप्त करेंगे<br />
<br />
x = w/8, y = w/10, z = w/100<br />
<br />
शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम आसानी से w = 200 प्राप्त करते हैं। इसलिए<br />
<br />
x = 25, y = 20, z = 2</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1387समीकरण2022-02-17T07:48:05Z<p>Mani: /* दूसरा प्रकार */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II'' <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"<br />
<br />
== दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== सहमति का नियम ===<br />
आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय ''सन्निपतन/संक्रमण'' (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है<br />
<br />
x+ y= a, x-y= b<br />
<br />
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।<br />
<br />
"दो (स्वर्गीय निकायों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग में जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।<br />
<br />
=== रेखीय समीकरण ===<br />
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।<br />
<br />
उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है<br />
<br />
101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"<br />
<br />
यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो<br />
<br />
9x+7y= 107,<br />
<br />
7x+9y = 101.<br />
<br />
या, सामान्य तौर पर,<br />
<br />
ax+ by = m<br />
<br />
bx + ay = n<br />
<br />
समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।<br />
<br />
इस प्रकार , <math>{\displaystyle x = {\frac{(am - bn)}{(a^2 -b^2)}} }</math> ,<br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{(an - bm)}{(a^2 -b^2)}} }</math><br />
<br />
इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है:<br />
<br />
उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"<br />
<br />
समीकरण हैं<br />
<br />
x + 100 = 2(y - 100) (I)<br />
<br />
y + 10 = 6(x - 10) (2)<br />
<br />
भास्कर द्वितीय इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:<br />
<br />
==== पहली विधि: ====<br />
मान लीजिए x = 2z - 100, y = z + 100,<br />
<br />
ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न<br />
<br />
दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
z + 110 = 12z- 660;<br />
<br />
इसलिये z =70 , जिसकी वजह से - x = 40 , y = 170<br />
<br />
==== दूसरी विधि ====<br />
समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x =2y - 300,<br />
<br />
और समीकरण (2) से<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle 2y -300 = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle 12y -1800 = y+70 }</math><br />
<br />
== कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का एक प्रकार ===<br />
कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:<br />
<br />
"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और<br />
<br />
एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।<br />
<br />
यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.<br />
<br />
एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है x₁ x₂ x₃ x₄ x₅<br />
<br />
x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20<br />
<br />
काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है<br />
<br />
x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an, n विषम होना।<br />
<br />
=== असत्य स्थिति से समाधान ===<br />
इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:<br />
<br />
x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें<br />
<br />
(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math><br />
<br />
विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है<br />
<br />
इसलिए सही मान हैं,<br />
<br />
x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8<br />
<br />
तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
समीकरण (I)<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2x<sub>1</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
मान लें x<sub>1</sub> = p; ताकि<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2p = b कहें।<br />
<br />
घटाना 2(x<sub>1</sub> - p) = a - b<br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_1 =p + {\frac{1}{2}}(a_n-b) }</math><br />
<br />
===दूसरा प्रकार===<br />
समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।<br />
<br />
Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub><br />
<br />
लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।<br />
<br />
<math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math><br />
<br />
महावीर समाधान इस प्रकार बताते हैं: "एक साथ जोड़ी गई वस्तुओं की बताई गई मात्रा को पुरुषों की संख्या से कम से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल कुल मूल्य (सभी वस्तुओं का) होगा। प्रत्येक बताई गई राशि को उसमें से घटाया जा रहा है, (मूल्य) हाथों में (प्रत्येक का मिल जाएगा)।<br />
<br />
अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:<br />
<br />
"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।<br />
<br />
पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया<br />
<br />
निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"<br />
<br />
यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math><br />
<br />
इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.<br />
<br />
नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"<br />
<br />
===तीसरा प्रकार===<br />
रैखिक समीकरणों की एक अधिक सामान्यीकृत प्रणाली होगी<br />
<br />
<math>{\displaystyle b_1\sum x - c_1x_1=a_1 }</math>, <math>b_2\sum x - c_2x_2=a_2</math>..............<br />
<br />
<math>b_n\sum x - c_nx_n=a_n</math> ....................................................................................................................................................................(III)<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle \sum x = {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}}}</math><br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_r ={\frac{b_r}{c_r}} . {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}} - {\frac{a_r}{c_r}}}</math>.................(I)<br />
<br />
r = I, 2, 3..... n<br />
<br />
इस प्रकार का एक विशेष मामला महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत किया गया है:<br />
<br />
"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी भीख मांगने पर पहले से 5 और दूसरे से 6 गुना अमीर बन गया।हे गणितज्ञ, यदि आप चित्रा-कुट्टक-मिश्रा जानते हैं, तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "<br />
<br />
यानी हमें समीकरण मिलते हैं<br />
<br />
x + 4 + 5 = 2(y + z - 4 - 5),<br />
<br />
y + 4 + 6 = 3(z + x - 4 - 6),<br />
<br />
z + 5 + 6 = 5 (x + y - 5 - 6);<br />
<br />
or 2(x + y + z) - 3x = 27,<br />
<br />
3(x + y + z) - 4y = 40 ;<br />
<br />
5 (x + y +z) - 6z = 66;<br />
<br />
प्रणाली का एक विशेष मामला (III) में प्रतिस्थापन<br />
<br />
(I), हम पाते हैं<br />
<br />
x = 7, Y = 8, Z = 9<br />
<br />
'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"पहले अज्ञात की तरफ से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है। पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार। यदि अंतिम समीकरण में और अधिक अज्ञात रहते हैं, तो पल्वराइज़र की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान पाए जा सकते हैं।"<br />
<br />
चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या अधिक अज्ञात मात्राएँ हों, यवत-तवत, आदि जैसे रंगों को उनके मूल्यों के लिए मान लिया जाना चाहिए। उन पर सभी कार्यों को अनुरूप रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के बयान और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। समानता-निकासी पहले दो और दो के बीच की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को साफ किया जाना चाहिए, अन्य अज्ञात को कम किया जाना चाहिए एक आम भाजक के लिए और साथ ही निरपेक्ष संख्या को विपरीत पक्ष से साफ किया जाना चाहिए। अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त होते हैं, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य भाजक को घटाकर समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात का मान ज्ञात करें। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के संदर्भ में हो तो गुणांक उन दोनों के सायंट परस्पर दो अज्ञातों के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो पल्वराइज़र (चूर्णित) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है।" यह ध्यान दिया जाएगा कि उपरोक्त नियम अनिश्चित के साथ-साथ निर्धारित समीकरणों को भी शामिल करता है। वास्तव में, नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं। हम उनमें से कुछ का उल्लेख बाद में उनके उचित स्थानों पर करेंगे। जहाँ तक एक साथ निर्धारित समीकरणों का संबंध है, उन्हें हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त की विधि आसानी से हमारे वर्तमान के समान ही मानी जाएगी।<br />
<br />
'''भास्कर का नियम:''' भास्कर द्वितीय ने व्यावहारिक रूप से ब्रह्मगुप्त के समान ही नियम दिया है, जिसमें कई अज्ञात को शामिल करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों को हल किया जाता है।<br />
<br />
हम उनके कार्यों से निम्नलिखित दृष्टांत लेते हैं।<br />
<br />
उदाहरण 1. "आठ माणिक, दस पन्ने और सौ मोती जो तेरे कान की अंगूठी में हैं, मेरे द्वारा आपके लिए समान मात्रा में खरीदे गए थे; तीन प्रकार के रत्नों की कीमत दरों का योग आधे से तीन कम है सौ का। मुझे बताओ, 0 प्रिय शुभ महिला, यदि आप गणित में कुशल हैं, तो प्रत्येक की कीमत।"<br />
<br />
यदि x, y, z क्रमशः माणिक, पन्ना और मोती की कीमतें हों, तो 8x = 10y = 100z<br />
<br />
x+y+z = 47<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं, समान राशि को w मान लें, तो हम प्राप्त करेंगे<br />
<br />
x = w/8, y = w/10, z = w/100<br />
<br />
शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम आसानी से w = 200 प्राप्त करते हैं। इसलिए<br />
<br />
x = 25, y = 20, z = 2</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1386समीकरण2022-02-17T07:46:29Z<p>Mani: /* रैखिक समीकरणों का हल */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II'' <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"<br />
<br />
== दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== सहमति का नियम ===<br />
आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय ''सन्निपतन/संक्रमण'' (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है<br />
<br />
x+ y= a, x-y= b<br />
<br />
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।<br />
<br />
"दो (स्वर्गीय निकायों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग में जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।<br />
<br />
=== रेखीय समीकरण ===<br />
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।<br />
<br />
उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है<br />
<br />
101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"<br />
<br />
यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो<br />
<br />
9x+7y= 107,<br />
<br />
7x+9y = 101.<br />
<br />
या, सामान्य तौर पर,<br />
<br />
ax+ by = m<br />
<br />
bx + ay = n<br />
<br />
समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।<br />
<br />
इस प्रकार , <math>{\displaystyle x = {\frac{(am - bn)}{(a^2 -b^2)}} }</math> ,<br />
<br />
<math>{\displaystyle y = {\frac{(an - bm)}{(a^2 -b^2)}} }</math><br />
<br />
इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है:<br />
<br />
उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"<br />
<br />
समीकरण हैं<br />
<br />
x + 100 = 2(y - 100) (I)<br />
<br />
y + 10 = 6(x - 10) (2)<br />
<br />
भास्कर द्वितीय इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:<br />
<br />
==== पहली विधि: ====<br />
मान लीजिए x = 2z - 100, y = z + 100,<br />
<br />
ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न<br />
<br />
दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
z + 110 = 12z- 660;<br />
<br />
इसलिये z =70 , जिसकी वजह से - x = 40 , y = 170<br />
<br />
==== दूसरी विधि ====<br />
समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x =2y - 300,<br />
<br />
और समीकरण (2) से<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है<br />
<br />
अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।<br />
<br />
<math>{\displaystyle 2y -300 = {\frac{1}{6}}(y+70) }</math><br />
<br />
<math>{\displaystyle 12y -1800 = y+70 }</math><br />
<br />
== कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण ==<br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का एक प्रकार ===<br />
कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:<br />
<br />
"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और<br />
<br />
एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।<br />
<br />
यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.<br />
<br />
एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है x₁ x₂ x₃ x₄ x₅<br />
<br />
x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20<br />
<br />
काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है<br />
<br />
x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an, n विषम होना।<br />
<br />
=== असत्य स्थिति से समाधान ===<br />
इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:<br />
<br />
x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें<br />
<br />
(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math><br />
<br />
विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है<br />
<br />
इसलिए सही मान हैं,<br />
<br />
x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8<br />
<br />
तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
समीकरण (I)<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2x<sub>1</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
मान लें x<sub>1</sub> = p; ताकि<br />
<br />
(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>4</sub>-a<sub>3</sub>)+· ... +(a<sub>n-1</sub> - a<sub>n-2</sub>) + 2p = b कहें।<br />
<br />
घटाना 2(x<sub>1</sub> - p) = a - b<br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_1 =p + {\frac{1}{2}}(a_n-b) }</math><br />
<br />
====दूसरा प्रकार====<br />
समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।<br />
<br />
Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub><br />
<br />
जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub><br />
<br />
लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।<br />
<br />
<math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math><br />
<br />
महावीर समाधान इस प्रकार बताते हैं: "एक साथ जोड़ी गई वस्तुओं की बताई गई मात्रा को पुरुषों की संख्या से कम से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल कुल मूल्य (सभी वस्तुओं का) होगा। प्रत्येक बताई गई राशि को उसमें से घटाया जा रहा है, (मूल्य) हाथों में (प्रत्येक का मिल जाएगा)।<br />
<br />
अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:<br />
<br />
"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।<br />
<br />
पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया<br />
<br />
निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"<br />
<br />
यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math><br />
<br />
इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.<br />
<br />
नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"<br />
<br />
====तीसरा प्रकार====<br />
रैखिक समीकरणों की एक अधिक सामान्यीकृत प्रणाली होगी<br />
<br />
<math>{\displaystyle b_1\sum x - c_1x_1=a_1 }</math>, <math>b_2\sum x - c_2x_2=a_2</math>..............<br />
<br />
<math>b_n\sum x - c_nx_n=a_n</math> ....................................................................................................................................................................(III)<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle \sum x = {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}}}</math><br />
<br />
अतः <math>{\displaystyle x_r ={\frac{b_r}{c_r}} . {\frac { \sum (a/c)}{ \sum(b/c) -1}} - {\frac{a_r}{c_r}}}</math>.................(I)<br />
<br />
r = I, 2, 3..... n<br />
<br />
इस प्रकार का एक विशेष मामला महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत किया गया है:<br />
<br />
"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी भीख मांगने पर पहले से 5 और दूसरे से 6 गुना अमीर बन गया।हे गणितज्ञ, यदि आप चित्रा-कुट्टक-मिश्रा जानते हैं, तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "<br />
<br />
यानी हमें समीकरण मिलते हैं<br />
<br />
x + 4 + 5 = 2(y + z - 4 - 5),<br />
<br />
y + 4 + 6 = 3(z + x - 4 - 6),<br />
<br />
z + 5 + 6 = 5 (x + y - 5 - 6);<br />
<br />
or 2(x + y + z) - 3x = 27,<br />
<br />
3(x + y + z) - 4y = 40 ;<br />
<br />
5 (x + y +z) - 6z = 66;<br />
<br />
प्रणाली का एक विशेष मामला (III) में प्रतिस्थापन<br />
<br />
(I), हम पाते हैं<br />
<br />
x = 7, Y = 8, Z = 9<br />
<br />
'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताता है:<br />
<br />
"पहले अज्ञात की तरफ से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है। पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार। यदि अंतिम समीकरण में और अधिक अज्ञात रहते हैं, तो पल्वराइज़र की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान पाए जा सकते हैं।"<br />
<br />
चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या अधिक अज्ञात मात्राएँ हों, यवत-तवत, आदि जैसे रंगों को उनके मूल्यों के लिए मान लिया जाना चाहिए। उन पर सभी कार्यों को अनुरूप रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के बयान और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। समानता-निकासी पहले दो और दो के बीच की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को साफ किया जाना चाहिए, अन्य अज्ञात को कम किया जाना चाहिए एक आम भाजक के लिए और साथ ही निरपेक्ष संख्या को विपरीत पक्ष से साफ किया जाना चाहिए। अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त होते हैं, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य भाजक को घटाकर समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात का मान ज्ञात करें। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के संदर्भ में हो तो गुणांक उन दोनों के सायंट परस्पर दो अज्ञातों के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो पल्वराइज़र (चूर्णित) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है।" यह ध्यान दिया जाएगा कि उपरोक्त नियम अनिश्चित के साथ-साथ निर्धारित समीकरणों को भी शामिल करता है। वास्तव में, नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं। हम उनमें से कुछ का उल्लेख बाद में उनके उचित स्थानों पर करेंगे। जहाँ तक एक साथ निर्धारित समीकरणों का संबंध है, उन्हें हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त की विधि आसानी से हमारे वर्तमान के समान ही मानी जाएगी।<br />
<br />
'''भास्कर का नियम:''' भास्कर द्वितीय ने व्यावहारिक रूप से ब्रह्मगुप्त के समान ही नियम दिया है, जिसमें कई अज्ञात को शामिल करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों को हल किया जाता है।<br />
<br />
हम उनके कार्यों से निम्नलिखित दृष्टांत लेते हैं।<br />
<br />
उदाहरण 1. "आठ माणिक, दस पन्ने और सौ मोती जो तेरे कान की अंगूठी में हैं, मेरे द्वारा आपके लिए समान मात्रा में खरीदे गए थे; तीन प्रकार के रत्नों की कीमत दरों का योग आधे से तीन कम है सौ का। मुझे बताओ, 0 प्रिय शुभ महिला, यदि आप गणित में कुशल हैं, तो प्रत्येक की कीमत।"<br />
<br />
यदि x, y, z क्रमशः माणिक, पन्ना और मोती की कीमतें हों, तो 8x = 10y = 100z<br />
<br />
x+y+z = 47<br />
<br />
भास्कर II कहते हैं, समान राशि को w मान लें, तो हम प्राप्त करेंगे<br />
<br />
x = w/8, y = w/10, z = w/100<br />
<br />
शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम आसानी से w = 200 प्राप्त करते हैं। इसलिए<br />
<br />
x = 25, y = 20, z = 2</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1385समीकरण2022-02-17T07:04:20Z<p>Mani: /* रैखिक समीकरणों का हल */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।<br />
<br />
<br />
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''<br />
<br />
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II'' <br />
<br />
"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e<br />
<br />
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।<br />
<br />
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e<br />
<br />
उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d<br />
<br />
x के रूप में पाया जाता है<br />
<br />
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math><br />
<br />
<br />
भास्कर द्वितीय बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''<br />
<br />
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''<br />
<br />
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''<br />
<br />
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref><br />
<br />
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"<br />
<br />
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:<br />
<br />
6x - 5 = 2x + 3<br />
<br />
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,<br />
<br />
6x - 2x = 3 + 5<br />
<br />
इसलिए, 4x = 8<br />
<br />
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं<br />
<br />
x = 2<br />
<br />
<br />
श्रीपति लिखते हैं:<br />
<br />
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित उल्टे क्रम में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।<br />
<br />
<br />
नारायण लिखते हैं:<br />
<br />
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"<br />
<br />
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:<br />
<br />
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा<br />
<br />
डिग्री प्लस वन।"<br />
<br />
इसे चतुर्वेद पृथुदका स्वामी ने इस प्रकार हल किया है:<br />
<br />
"यहाँ अवशिष्ट अंश ''यावत्-तावत्'' हैं,<br />
<br />
''या'' एक की वृद्धि हुई, ''या'' 1 ''रु'' 1; इसका बारहवाँ भाग, (''या'' 1 ''रु'' 1) / 12<br />
<br />
इसका चार गुना, ''(या'' 1 ''रु'' 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (''या'' 1 ''रु'' 25) / 3।<br />
<br />
यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है।<br />
<br />
दोनों पक्षों का बयान इस प्रकार<br />
<br />
तिगुना है<br />
<br />
''या'' 1 ''रु'' 25<br />
<br />
''या'' 3 ''रु'' 3<br />
<br />
अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को अलघुकरणीय के रूप में जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"<br />
<br />
दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा<br />
<br />
<math>{\displaystyle {\frac{4}{12}(x+1)+8 = x+1}}</math><br />
<br />
जो देता है x + 25 = 3x + 3<br />
<br />
2x = 22<br />
<br />
इसलिए x= 11<br />
<br />
निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं:<br />
<br />
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे<br />
<br />
समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?<br />
<br />
"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:<br />
<br />
6x + 300 = 10x - 100<br />
<br />
अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,<br />
<br />
शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात<br />
<br />
संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1384समीकरण2022-02-17T07:00:28Z<p>Mani: /* एक अज्ञात में रेखीय समीकरण */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==<br />
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।<br />
<br />
=== प्रारंभिक समाधान ===<br />
''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ई.पू. के बाद का नहीं है।<br />
<br />
''स्थानांग-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'' ) द्वारा एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।<br />
<br />
एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"<br />
<br />
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,<br />
<br />
x+2x+6x+24x=132<br />
<br />
=== असत्य स्थिति का नियम ===<br />
इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:<br />
<br />
"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|2 3<br />
|6 4<br />
|-<br />
|1<br />
|1<br />
|1 1<br />
|1 1<br />
|}<br />
'गुणा किया हुआ'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|1<br />
|2<br />
|6<br />
|24<br />
|}<br />
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|132<br />
33<br />
|}<br />
(जो) कमी करने पर बन जाता है<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
|4<br />
1<br />
|}<br />
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"<br />
<br />
बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि<br />
<br />
ag+ b =p' कहा जाए ।<br />
<br />
तब सही मान होगा<br />
<br />
<nowiki>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</nowiki><br />
<br />
=== रैखिक समीकरणों का हल ===<br />
आर्यभट्ट (499) कहते हैं:<br />
<br />
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"<br />
<br />
यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।<br />
<br />
नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?<br />
<br />
यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से<br />
<br />
ax + c = bx+ d<br />
<br />
इसलिए <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math><br />
<br />
जिस वजह से नियम।<br />
<br />
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1383समीकरण2022-02-17T06:01:38Z<p>Mani: /* बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1382समीकरण2022-02-17T06:01:02Z<p>Mani: /* समीकरणों का वर्गीकरण */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ==<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का गुणन ==<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।<br />
<br />
== एक अज्ञात में रेखीय समीकरण ==</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1381समीकरण2022-02-17T05:58:30Z<p>Mani: /* बीजीय व्यंजकों का गुणन */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (''सामी-करण'', ''सम-कारा'' या ''सम-क्रिया''; सम, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत् "'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्''-''वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ''ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत'' पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ==<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का गुणन ==<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> <!-- Math formula to be inserted -->और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math><!-- Math formula to be inserted --><br />
<br />
== समीकरणों का वर्गीकरण ==<br />
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में पाया गया कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घन (''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')।<br />
<br />
आगे के पुष्ट सबूतों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'') )<br />
<br />
एक अज्ञात (''एक-वर्ण-समीकरण'') में समीकरणों को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)''। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथिदाकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने इस प्रकार वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।<br />
<br />
भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) उनकी दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहला वर्गीकरण फिर से, दो उपवर्गों से मिलकर बनता है: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों को शामिल करने वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि ये पांच वर्ग कर सकते हैं कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1380समीकरण2022-02-17T05:38:26Z<p>Mani: /* बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (सामी-करण, सम-कारा या सम-क्रिया; समा, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यवत-तवत को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10।<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत-तावत'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो यवत-तवत-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ==<br />
भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:<br />
<br />
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<br />
<br />
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"<br />
<br />
'''व्याख्या:'''<br />
<br />
यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।<br />
<br />
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का गुणन ==<br />
बीजगणित गुणन का नियम देता है -<br />
<br />
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''<br />
<br />
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<br />
<br />
"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"<br />
<br />
'''व्याख्या'''<br />
{| class="wikitable"<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,<br />
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
|-<br />
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७<br />
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7<br />
|-<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०<br />
<br />
(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५<br />
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x<br />
<br />
(3x + 5) X 7 = 21x + 35<br />
|-<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५<br />
|परिणाम जोड़ें।<br />
गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35<br />
|}<br />
यदि <math>ax + b</math> और <math>cx+d</math> क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:<br />
<br />
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।<br />
<br />
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math><br />
<br />
<math>(ax+b)d = adx+bd</math><br />
<br />
परिणाम जोड़ें।<br />
<br />
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math></div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3&diff=1379समीकरण2022-02-17T05:29:02Z<p>Mani: New Page Created for Rough Content modification</p>
<hr />
<div><br />
<br />
== समीकरण बनाना ==<br />
वास्तविक हल में जाने से पहले हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है।<br />
<br />
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (सामी-करण, सम-कारा या सम-क्रिया; समा, बराबर और की से, करने के लिए; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।<br />
<br />
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यवत-तवत को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।<br />
<br />
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==<br />
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।<br />
<br />
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के अधिक हैं। हम नहीं जानते कि राम के पास कितने सिक्के हैं। राम के पास कितने भी सिक्के हों। दी गई जानकारी के साथ<br />
<br />
राम के पास धारित सिक्कों की संख्या = श्याम के पास धारित सिक्कों की संख्या + 10<br />
<br />
हम श्याम द्वारा धारित सिक्कों की संख्या को x अक्षर से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।<br />
<br />
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,<br />
<br />
राम के पास रखे सिक्कों की संख्या = x+10।<br />
<br />
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।<br />
<br />
बीजगणित प्रतीकों के उपयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
| -<br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
| -4<br />
|}<br />
अक्षर ''या'' (''यावत-तावत'' का संक्षिप्त नाम) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो यवत-तवत-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूप'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।<br />
<br />
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत-तावत'' , ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके उत्पाद के लिए है।<br />
<br />
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।<br />
{| class="wikitable"<br />
!क्रमांक<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
!प्राचीन भारतीय संकेतन<br />
|-<br />
|1<br />
|x + 1<br />
|या १ रू १<br />
|-<br />
|2<br />
|3x - 7<br />
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|3<br />
|2x – 8<br />
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|4<br />
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2<br />
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64<br />
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४<br />
|-<br />
|6<br />
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x<br />
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup><br />
|}<br />
<br />
<br />
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजगणितीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।<br />
<br />
समीकरण 10 x - 18 = x<sup>2</sup> +14 . पर विचार करें<br />
<br />
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,<br />
<br />
0x<sup>2</sup> + 10 x - 18 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 14<br />
<br />
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद) की स्थिति को देखते हुए, कुछ पैटर्न है? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।<br />
<br />
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।<br />
<br />
पृथिदाकास्वामिन (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत पर अपने भाष्य में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है।<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!देवनागरी<br />
!लिप्यंतरण<br />
!<br />
!आधुनिक संकेतन<br />
|-<br />
|याव ० या १० रू ८'''<sup>.</sup>'''<br />
याव १ या ० रू १<br />
|याव 0 या 10 rū 8'''<sup>.</sup>'''<br />
याव 1 या 0 rū 1<br />
|⇒<br />
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1<br />
|}<br />
भास्कर द्वितीया के बीजगणित से समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:<br />
<br />
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999<br />
<br />
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,<br />
<br />
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>''' या ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०<br />
<br />
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==<br />
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :<br />
<br />
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''<br />
<br />
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''<br />
<br />
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<br />
<br />
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"<br />
<br />
== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ==</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AE%E0%A5%81%E0%A4%B9%E0%A4%BE%E0%A4%B5%E0%A4%B0%E0%A5%87&diff=1378मुहावरे2022-02-16T06:05:54Z<p>Mani: /* मुहावरे (Idioms) हिंदी (Hindi Muhavare) */</p>
<hr />
<div><br />
== <big>मुहावरे व लोकोक्तियाँ क्या होते हैं? What are Idioms and Proverbs in Hindi?</big> ==<br />
[[File:Muhavare12.png|center|thumb]]<br />
हिंदी भाषा में कई मुहावरों या कहावतों का इस्तेमाल होता है जिन्हें समझना मुश्किल होता है। साथ ही ज्यादातर बच्चों की परीक्षा में भी मुहावरे या लोकोक्तियां से जुड़े प्रश्न आते हैं जो आप इस लेख के माध्यम से जान सकते हैं। मुहावरों का उपयोग हिंदी में खासकर कुछ बड़ी बात को एक छोटे पंक्ति के रूप में समझाना होता है।<br />
<br />
ज्यादातर स्कूली किताबों में कहावतों का इस्तेमाल कहानियों में होता है। चलिए जानते हैं कुछ बेहतरीन मुख्य मुहावरों और कहावतों के बारे में जिनका हिंदी भाषा में ज्यादा उपयोग किया जाता है।<br />
<br />
== <big>मुहावरा की विशेषता (Importance):</big> ==<br />
1) मुहावरे का प्रयोग वाक्य के प्रसंग में होता है, अलग नही। जैसे, कोई कहे कि ‘पेट काटना’ तो इससे कोई विशेष अर्थ प्रकट नहीं होता है। इसके विपरीत, कोई कहे कि ‘मैंने पेट काटकर’ अपने लड़के को पढ़ाया, तो वाक्य के अर्थ में एक संकेत, सुंदरता और एक लय प्राप्त हो जाती है।<br />
<br />
(2) मुहावरा अपना असली रूप कभी नही बदलता अर्थात उसे पर्यायवाची शब्दों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। जैसे- ‘कमर टूटना’ एक मुहावरा है, लेकिन इसके स्थान पर ‘कमर टूटने’ के पर्यायवाची शब्द ‘कटिभंग’ जैसे शब्द का प्रयोग गलत होगा।<br />
<br />
(3) मुहावरे का शब्दार्थ नहीं, उसका विशेष अर्थ ही ग्रहण किया जाता है; जैसे- ‘खिचड़ी पकाना’। ये दोनों शब्द जब मुहावरे के रूप में प्रयुक्त होंगे, तब इनका शब्दार्थ नहीं लिया जाता। लेकिन, वाक्य में जब इन शब्दों का प्रयोग होगा, तब विशेष अर्थ होगा- ‘गुप्तरूप से सलाह करना’।<br />
<br />
(4) मुहावरे का अर्थ प्रसंग के अनुसार होता है। जैसे- ‘लड़ाई में खेत आना’ । इसका अर्थ ‘युद्ध में शहीद हो जाना’ है, न कि लड़ाई के स्थान पर किसी ‘खेत’ का चला आना।<br />
<br />
(5) हिन्दी के अधिकतर मुहावरों का सीधा सम्बन्ध शरीर के भिन्न-भिन्न अंगों से है। यह बात दूसरी भाषाओं के मुहावरों में भी पायी जाती है; जैसे- मुँह, कान, हाथ, पाँव इत्यादि पर अनेक मुहावरे प्रचलित हैं। हमारे अधिकतर कार्य इन्हीं के सहारे चलते हैं।<br />
<br />
== <big>मुहावरे और लोकोक्ति में अंतर- Difference between Idioms and Proverbs :</big> ==<br />
<br />
* मुहावरा पूर्णतः स्वतंत्र नहीं होता है, अकेले मुहावरे से वाक्य पूरा नहीं होता है।<br />
<br />
* लोकोक्ति पूरे वाक्य का निर्माण करने में समर्थ होती है।<br />
<br />
* मुहावरा भाषा में चमत्कार उत्पन्न करता है जबकि लोकोक्ति उसमें स्थिरता लाती है।<br />
<br />
* मुहावरा छोटा होता है जबकि लोकोक्ति बड़ी और भावपूर्ण होती है।<br />
<br />
== <big>मुहावरों के प्रकार -Types of Idioms :</big> ==<br />
मुहावरों को निम्नलिखित आधारों पर वर्गीकृत किया जा सकता है –<br />
<br />
(1) सादृश्य पर आधारित<br />
<br />
(2) शारीरिक अंगों पर आधारित<br />
<br />
(3) असंभव स्थितियों पर आधारित<br />
<br />
(4) कथाओं पर आधारित<br />
<br />
(5) प्रतीकों पर आधारित<br />
<br />
(6) घटनाओं पर आधारित<br />
<br />
(1) सादृश्य पर आधारित मुहावरे – बहुत से मुहावरे सादृश्य या समानता पर आधारित होते हैं।<br />
<br />
जैसे – चूड़ियाँ पहनना, दाल न गलना, सोने पर सुहागा, कुंदन-सा चमकना, पापड़ बेलना आदि।<br />
<br />
(2) शारीरिक अंगों पर आधारित मुहावरे – हिंदी भाषा के अंतर्गत इस वर्ग में बहुत मुहावरे मिलते हैं।<br />
<br />
जैसे – अंग-अंग ढीला होना, आँखें चुराना, अँगूठा दिखाना, आँखों से गिरना, सिर हिलाना, उँगली उठाना, छाती पर साँप लोटना, तलवे चाटना, दाँत खट्टे करना, नाक रगड़ना, पीठ दिखाना, मुँह काला करना आदि।<br />
<br />
(3) असंभव स्थितियों पर आधारित मुहावरे – इस तरह के मुहावरों में वाच्यार्थ के स्तर पर इस तरह की स्थितियाँ दिखाई देती हैं जो असंभव प्रतीत होती हैं।<br />
<br />
जैसे – पानी में आग लगाना, पत्थर का कलेजा होना, जमीन आसमान एक करना, सिर पर पाँव रखकर भागना, हथेली पर सरसों जमाना, हवाई किले बनाना, दिन में तारे दिखाई देना आदि।<br />
<br />
(4) कथाओं पर आधारित मुहावरे – कुछ मुहावरों का जन्म लोक में प्रचलित कुछ कथा-कहानियों से होता हैं।<br />
<br />
जैसे – टेढ़ी खीर होना, एक और एक ग्यारह होना, हाथों-हाथ बिक जाना, साँप को दूध पिलाना, रँगा सियार होना, दुम दबाकर भागना, काठ में पाँव देना आदि।<br />
<br />
(5) प्रतीकों पर आधारित मुहावरे – कुछ मुहावरे प्रतीकों पर आधारित होते हैं।<br />
<br />
जैसे – एक आँख से देखना, एक ही लकड़ी से हाँकना, एक ही थैले के चट्टे-बट्टे होना, तीनों मुहावरों में प्रयुक्त ‘एक’ शब्द ‘समानता’ का प्रतीक है।<br />
<br />
इसी तरह से डेढ़ पसली का होना, ढाई चावल की खीर पकाना, ढाई दिन की बादशाहत होना, में डेढ़ तथा ढाई शब्द ‘नगण्यता’ के प्रतीक है।<br />
<br />
(6) घटनाओं पर आधारित मुहावरे – कुछ मुहावरों के मूल में कोई घटना भी रहती है।<br />
<br />
जैसे – काँटा निकालना, काँव-काँव करना, ऊपर की आमदनी, गड़े मुर्दे उखाड़ना आदि।<br />
<br />
उपर्युक्त भेदों के अलावा मुहावरों का वर्गीकरण स्रोत के आधार पर भी किया जा सकता है। हिंदी में कुछ मुहावरे संस्कृत से आए हैं, तो कुछ अरबी-फारसी से आए हैं। इसके अतिरिक्त मुहावरों की विषयवस्तु क्या है, इस आधार पर भी उनका वर्गीकरण किया जा सकता है।<br />
<br />
जैसे- स्वास्थ्य विषयक, युद्ध विषयक आदि। कुछ मुहावरों का वर्गीकरण किसी क्षेत्र विशेष के आधार पर भी किया जा सकता है।<br />
<br />
जैसे- क्रीडाक्षेत्र में प्रयुक्त होने वाले मुहावरे, सेना के क्षेत्र में प्रयुक्त होने वाले मुहावरे आदि।<br />
<br />
== <big>मुहावरे (Idioms) हिंदी (Hindi Muhavare)</big> ==<br />
<br />
* अपनी खिचड़ी अलग पकाना-सबसे पृथक् काम करना।<br />
वाक्य-प्रयोग- वह अपनी खिचड़ी अलग पकाता है।<br />
<br />
English - work isolated/ to do things in your own way<br />
Angaare Barasana<br />
* अँगारे बरसना—अत्यधिक गर्मी पड़ना।<br />
<br />
वाक्य-प्रयोग- जून मास की दोपहरी में अंगारे बरसते प्रतीत होते हैं।<br />
<br />
English- overheat<br />
<br />
* अंग-अंग फूले न समाना-अत्यधिक प्रसन्न होना।<br />
<br />
वाक्य-प्रयोग- राम के अभिषेक की बात सुनकर कौशल्या का अंग-अंग फूले नहीं समाया<br />
<br />
English - to be overjoyed<br />
<br />
* अम्बर के तारे गिनना-नींद न आना।<br />
<br />
वाक्य-प्रयोग- तुम्हारे वियोग में मैं रातभर अम्बर के तारे गिनता रहा।<br />
<br />
English - keep awake<br />
<br />
== <big>Some Common HINDI & ENGLISH Idioms with same meanings</big> ==<br />
''हिंदी''- एक् तीर से दो निशाने लगाना- एक साधन से दो काम करना<br />
<br />
''वाक्य-प्रयोग''- रवि एक तीर से दो शिकार करने में माहिर हैं।<br />
<br />
''English''- To kill two birds with one stone - to solve two problems at once<br />
<br />
''Sentence Formation''- By taking my dad on holiday, I killed two birds with one stone. I got to go away but also spend time with him<br />
<br />
<br />
* ''हिंदी''- शैतान का नाम लिया,शैतान हाजिर- किसी के बारे में सोचते/बोलते ही उसका सामने आ जाना.<br />
<br />
''वाक्य-प्रयोग''- ममता मैं तुम्हारे हि बारे में बात कर रही थी ,शैतान का नाम लिया और शैतान हाजिर|<br />
<br />
''English''- Speak of the devil- this means that the person you’re just talking about actually appears at that moment.<br />
<br />
''Sentence Formation''- Hi Tina, speak of the devil, I was just telling Sara about your new car.<br />
<br />
<br />
* ''हिंदी''- जिसकी लाठी उसकी भैंस- जिसके पास ताकत होती है उसकी बात अन्य को माननी ही पड़ती है।<br />
<br />
''वाक्य-प्रयोग''- सरपंच ने जिसे चाहा उसे बीज दिया। बेचारे किसान कुछ न कर पाए। इसे कहते हैं – जिसकी लाठी उसकी भैंस।<br />
<br />
English - Might is right- people who have power are able to do what they want<br />
<br />
''Sentence Formation''- Political realism in essence reduces to the political-ethical principle that might is right.<br />
<br />
Below are some more :<br />
<br />
* अंत भला तो सब भला - All is Well that ends well.<br />
* अपनी गली में कुत्ता भी शेर होता है - Every cock fights best on his own dunghill.<br />
* अपनी दही को कोई खट्टा नहीं कहता - Every potter praises his own pot.<br />
* अंधों में कनवा राजा - A figure among ciphers.<br />
* अधजल गगरी छलकत जाय, भरी गगरिया चुपके जाय - Deep rivers move with silent majesty, Shallow brooks are noisy.<br />
* आप भला तो जग भला - Good mind, good find.<br />
<br />
* आधी छोड़ सारी को धावे, आधी रहे न सारी पावे - He who grasps all things will lose all.<br />
* आम के आम गुठली के दाम - Earth's joys and heaven's combined.<br />
* इस हाँथ दे उस हाँथ ले - Early sow, early mow.<br />
* ऊंची दुकान फीका पकवान - Great cry, little wool. Great boast, little roast.<br />
** ऊंट की मुँह में जीरा - A drop in the ocean.<br />
** एक पंथ दो काज - To kill two birds with one stone.<br />
** एक हांथ से ताली नहीं बजती - It takes two to make a quarrel.<br />
** एक म्यान में दो तलवार नहीं समाती - Two of a trade seldom agree.<br />
** एक मछली सारे जल को गंदा कर देती है - One fish infects the whole water.<br />
** एक ही थाली के चट्टे बट्टे - Cast in the same mould.<br />
** एक अनार सौ बीमार - One post and one hundred candidates.<br />
** एक कान सुना दूसरे कान उड़ा दो - In at one ear and out at the other.<br />
** कर भला हो भला - Light reflects light.<br />
*** कर बुरा हो बुरा - Do evil and look for the like.<br />
*** कल किसने देखा - Tomorrow never comes.<br />
*** गरीबी में आटा गीला - Misfortunes seldom come alone.<br />
*** गोली अन्दर दम बाहर - Pill in and breath out.<br />
*** घर का भेदी लंका ढावे - Traitors are the worst enemies.<br />
*** चार दिन की चाँदनी फिर अँधेरी रात - A none days' wonder.<br />
*** चिराग तले अँधेरा - Near the church further from heaven.<br />
*** जरुरत के वक्त गधे को भी बाप बनाना पड़ता है - The needy stoops to every thing however mean.<br />
*** नौकरी की क्या जड़ - Service is no inheritance.<br />
*** नकल में शक्ल क्या? - Imitation has no intelligence.<br />
*** न आए का आनंद न गए का शोक - If rich be not elected, if poor be not dejected.<br />
*** नीम न मीठी होए चाहे सींचो गुड़ घी से - Crows are never the whiter for washing.<br />
*** नेक नाम दौलत से अच्छा है - A good name is better than riches.<br />
*** पहिले योग्य बनो फिर मांगो - First deserve then desire.<br />
*** धन के सिर सेहरा - The writ of fate never changes.<br />
*** धन तमाम खूबियों की जड़ है - Money is a god of the world.<br />
*** पहिले बात को तौलो फिर मुंह से बोलो - Calculate well before you speak.<br />
*** पेट की खातिर टोकरी उठाना पड़ता है - Want goads to industry.<br />
*** पूत कपूत पालने में ही पहचाने जाते हैं - The child is the father of the man.<br />
*** डौला डौल की मिट्टी खराब - A rolling stone gathers no moss.<br />
*** तुरंत दान महा कल्यान - He gives thrice who gives in a trice.<br />
*** तू मुझको मैं तुझको - Claw me and I will claw three.<br />
**** जैसा बाप वैसा बेटा - Like father, like son.<br />
**** जैसे को तैसा - Tit for tat.<br />
**** जैसी करनी वैसी भरनी - As you sow, so you will reap.<br />
**** जैसा देश वैसा भेष - When you go to Rome, do as the Romans do.<br />
**** जैसा बोओगे वैसा काटोगे - As you sow, so you will reap.<br />
**** जाको राखे साइयाँ मार सके ना कोय - Whom God keeps no frost can kill.<br />
**** जो गरजते हैं वे बरसते नहीं - Barking dogs seldom bite.<br />
**** तेल देखो तेल की धार देखो - See which way the wind blows.<br />
**** दाल में जरुर काला है - There is something black.<br />
**** दीवाल के भी कान होते हैं - Hedges have eyes and walls have ears.<br />
**** दूध का जला छाछ फूँक कर पीता है - A burnt child breads the fire.<br />
**** दूध का दूध पानी का पानी - Oil and truth must come out.<br />
**** दूर के ढोले सुहावने लगते हैं - Distant drums sound well.<br />
**** दान की बछिया का दाँत नहीं देखा जाता - Beggars and borrowers could not be choosers.<br />
**** धन को धन कमाता है - Money begets money.<br />
***** नई नौ दिन पुरानी सौ दिन - New brooms are not better than old ones.<br />
***** न घर का न घाट का - Neither fish in or fowl<br />
***** न नौ मन तेल होगा न राधा नाचेगी - If the sky falls We shall gather larks.<br />
***** नौ नगद न तेरह उधार - A border in hand is worth two in bush.<br />
***** नाच न आवे आँगन टेढ़ा - A bad workman quarrels with his tools.<br />
***** नेकी कर दरिया में डाल - Do good and cast it into the river.<br />
***** नौ सौ चूहे खाकर बिल्ली चली हज को - Singing all the days in the week and going to church on Sundays.<br />
***** पढ़े न लिखे नाम विद्यासागर - An ignorant man keeping a great fuss.<br />
***** परिश्रम कभी व्यर्थ नहीं जाता - Perseverance is never unfruitful.<br />
***** पानी में रहकर मगर से बैर - To live in Rome and strife with the pope.<br />
***** पाँचों अँगुलियाँ घी में - Your bread is buttered on both sides.<br />
***** प्राण बचे लाखों पायें - Life is better than bags of gold.<br />
***** रुप को अलंकार की आवश्यकता नहीं - A fair face needs no paint<br />
***** रोब में सब अधिकार छिपा रहता है - Devil hides under glittering garments.<br />
***** रोज के टपके से पत्थर भी घिस जाता है - Constant dropping wears the stone.<br />
***** लकड़ी के बल बंदर नाचे - Need makes the old wife not.<br />
***** शक्करखोरे को को ईश्वर शक्कर देता है - Spend and God will spend.<br />
***** श्री गणेश अच्छा हो तो आधा काम हो गया - Well begun is half done.<br />
***** म्याऊँ का ठौर कौन पकड़ेगा - Who will Bell the cat?<br />
****** बकरी की माँ कब तक खैर मनावेगी - How long will the mother's prayers avail to save her kid.<br />
****** बड़े मियाँ सो बड़े मियाँ छोटे मियाँ सुभान अल्ला - The younger is even worse than the elder.<br />
****** बहती गंगा में हाथ धोना - Make hay while the sun shines.<br />
****** बातों से पेट नहीं भरता - It is money that buys the land.<br />
****** बिना सेवा मेवा नहीं मिलता - No pain, no gain.<br />
****** बुरा कर बुरा हो - Do evil and look for the like.<br />
****** बूँद बूँद से तालाब भर जाता है - Many a pickle makes a mickle.<br />
****** खाली दिमाग शैतान का घर - An idle brain is a workshop of devil.<br />
****** बैठे से बेगार भली - Better wear your shose than your bad clothes.<br />
****** बोए पेड़ बबलू के आम कहाँ से होये - Gather thistles, and expect pickles.<br />
****** भाग्य का लिखा कौन मिटा सकता है - What is lotted, can not be blotted.<br />
****** भूखा सो रुखा - A hungry man is an angry man.<br />
<br />
== <big>External Links:</big> ==<br />
[1]<br />
<br />
[2]<br />
<br />
[3]<br />
<br />
[4]<br />
<br />
[5]<br />
<br />
[6]<br />
<br />
== Dictionary of Hindi Muhavare, Hindi Phrases & Idioms: ==<br />
<br />
* अ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With अ)- [7]<br />
* आ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With आ)- [8]<br />
* इ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With इ)- [9]<br />
* उ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With उ)- [10]<br />
* ऊ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ऊ)- [11]<br />
* ए से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ए)- [12]<br />
* ऐ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ऐ)- [13]<br />
* ओ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ओ)- [14]<br />
* औ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With औ)- [15]<br />
* क से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With क)- [16]<br />
* ख से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ख)- [17]<br />
* ग से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ग)- [18]<br />
* घ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With घ)- [19]<br />
* च से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With च)- [20]<br />
* छ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With छ)- [21]<br />
* ज से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ज)- [22]<br />
<br />
== Few MCQs for Fun:[edit | edit source] ==<br />
निम्नलिखित वाक्यों की पूर्ति नीचे दिए गए मुहावरों में से कीजिए-<br />
<br />
1. सोहन एक अच्छा व्यापारी है। वह ………..खूब जानता है।<br />
<br />
(क) बाट जोहना<br />
<br />
(ख) दो से चार बनाना<br />
<br />
(ग) आँखों से बोलना<br />
<br />
(घ) आड़े हाथों लेना<br />
<br />
उत्तर -(ख) दो से चार बनाना<br />
<br />
2. सुमित को खिलौना पसंद न आया तो उसने वह खिलौना अपने छोटे भाई के………….. दिया।<br />
<br />
(क) हाथों डालना<br />
<br />
(ख) जबरदस्ती सौंपना<br />
<br />
(ग) सिर लगाना<br />
<br />
(घ) मत्थे मढंना<br />
<br />
उत्तर – (घ) मत्थे मढंना<br />
<br />
3. उस बेचारी का कोई नहीं। अब तो उसका पुत्र ही उसके लिए………….है।<br />
<br />
(क) आँख का काँटा<br />
<br />
(ख) आँख का तारा<br />
<br />
(ग) अंधे की लाठी<br />
<br />
(घ) अंधे की लकड़ी<br />
<br />
उत्तर (ग) अंधे की लाठी<br />
<br />
4. प्राय: उधार लेने के बाद लोग…………. निकल जाते हैं।<br />
<br />
(क) ढाढ़स बढ़ाकर<br />
<br />
(ख) तू तू-मैं मैं करके<br />
<br />
(ग) आँख दिखाकर<br />
<br />
(घ) आंख बचाकर<br />
<br />
उत्तर- (घ) आंख बचाकर<br />
<br />
5. आतंकियों पर नरमी दिखाने के बजाय हमें उन्हें लेना………… चाहिए।<br />
<br />
(क) टूट पड़ना<br />
<br />
(ख) घाव पर नमक छिड़कना<br />
<br />
(ग) आड़े हाथों लेना<br />
<br />
(घ) इनमें से कोई नहीं<br />
<br />
उत्तर- (ग) आड़े हाथों लेना<br />
<br />
6. चोर ………… सब चुरा कर ले गए और घरवाले सोते ही रह गए।<br />
<br />
(क) कानों में रस घोलकर<br />
<br />
(ख) गले लगाकर।<br />
<br />
(ग) आँखों में तैर कर<br />
<br />
(घ) दबे पांव आकर<br />
<br />
उत्तर- (घ) दबे पांव आकर<br />
<br />
7. सोहन की बड़ी-बड़ी बातें सुनकर उसके सभी दोस्त ……………।<br />
<br />
(क) छोटा मुँह बड़ी बात<br />
<br />
(ख) चक्कर खा जाना<br />
<br />
(ग) जी ललचाना<br />
<br />
(घ) खून जलाना<br />
<br />
उत्तर-(घ) खून जलाना<br />
<br />
8. सभी को अन्याय और अत्याचार करने वालों के खिलाफ अपनी…………..।<br />
<br />
(क) अलख जगाना<br />
<br />
(ख) अपनी बात कहना<br />
<br />
(ग) आवाज उठाना<br />
<br />
(घ) मील का पत्थर सिद्ध होना<br />
<br />
उत्तर- (ग) आवाज उठाना<br />
<br />
9. युद्ध में भारत ने पाकिस्तान को ………….।<br />
<br />
(क)चाँदी के चने चबाना<br />
<br />
(ख) लोहे के चने चबाना<br />
<br />
(ग) दाँतों पसीना आना<br />
<br />
(घ) आँखों में धूल झोंकना<br />
<br />
उत्तर-(ख) लोहे के चने चबाना<br />
<br />
10. ……………. की कोई बात नहीं, यह लो अपनी पुस्तक और चलते बनो।<br />
<br />
(क) आँच न आने देना<br />
<br />
(ख) बरस पड़ना<br />
<br />
(ग) खूब उबलना<br />
<br />
(घ) आग बबूला होना<br />
<br />
उत्तर- (घ) आग बबूला होना</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=%E0%A4%AE%E0%A5%81%E0%A4%B9%E0%A4%BE%E0%A4%B5%E0%A4%B0%E0%A5%87&diff=1377मुहावरे2022-02-16T06:04:12Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== <big>मुहावरे व लोकोक्तियाँ क्या होते हैं? What are Idioms and Proverbs in Hindi?</big> ==<br />
[[File:Muhavare12.png|center|thumb]]<br />
हिंदी भाषा में कई मुहावरों या कहावतों का इस्तेमाल होता है जिन्हें समझना मुश्किल होता है। साथ ही ज्यादातर बच्चों की परीक्षा में भी मुहावरे या लोकोक्तियां से जुड़े प्रश्न आते हैं जो आप इस लेख के माध्यम से जान सकते हैं। मुहावरों का उपयोग हिंदी में खासकर कुछ बड़ी बात को एक छोटे पंक्ति के रूप में समझाना होता है।<br />
<br />
ज्यादातर स्कूली किताबों में कहावतों का इस्तेमाल कहानियों में होता है। चलिए जानते हैं कुछ बेहतरीन मुख्य मुहावरों और कहावतों के बारे में जिनका हिंदी भाषा में ज्यादा उपयोग किया जाता है।<br />
<br />
== <big>मुहावरा की विशेषता (Importance):</big> ==<br />
1) मुहावरे का प्रयोग वाक्य के प्रसंग में होता है, अलग नही। जैसे, कोई कहे कि ‘पेट काटना’ तो इससे कोई विशेष अर्थ प्रकट नहीं होता है। इसके विपरीत, कोई कहे कि ‘मैंने पेट काटकर’ अपने लड़के को पढ़ाया, तो वाक्य के अर्थ में एक संकेत, सुंदरता और एक लय प्राप्त हो जाती है।<br />
<br />
(2) मुहावरा अपना असली रूप कभी नही बदलता अर्थात उसे पर्यायवाची शब्दों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। जैसे- ‘कमर टूटना’ एक मुहावरा है, लेकिन इसके स्थान पर ‘कमर टूटने’ के पर्यायवाची शब्द ‘कटिभंग’ जैसे शब्द का प्रयोग गलत होगा।<br />
<br />
(3) मुहावरे का शब्दार्थ नहीं, उसका विशेष अर्थ ही ग्रहण किया जाता है; जैसे- ‘खिचड़ी पकाना’। ये दोनों शब्द जब मुहावरे के रूप में प्रयुक्त होंगे, तब इनका शब्दार्थ नहीं लिया जाता। लेकिन, वाक्य में जब इन शब्दों का प्रयोग होगा, तब विशेष अर्थ होगा- ‘गुप्तरूप से सलाह करना’।<br />
<br />
(4) मुहावरे का अर्थ प्रसंग के अनुसार होता है। जैसे- ‘लड़ाई में खेत आना’ । इसका अर्थ ‘युद्ध में शहीद हो जाना’ है, न कि लड़ाई के स्थान पर किसी ‘खेत’ का चला आना।<br />
<br />
(5) हिन्दी के अधिकतर मुहावरों का सीधा सम्बन्ध शरीर के भिन्न-भिन्न अंगों से है। यह बात दूसरी भाषाओं के मुहावरों में भी पायी जाती है; जैसे- मुँह, कान, हाथ, पाँव इत्यादि पर अनेक मुहावरे प्रचलित हैं। हमारे अधिकतर कार्य इन्हीं के सहारे चलते हैं।<br />
<br />
== <big>मुहावरे और लोकोक्ति में अंतर- Difference between Idioms and Proverbs :</big> ==<br />
<br />
* मुहावरा पूर्णतः स्वतंत्र नहीं होता है, अकेले मुहावरे से वाक्य पूरा नहीं होता है।<br />
<br />
* लोकोक्ति पूरे वाक्य का निर्माण करने में समर्थ होती है।<br />
<br />
* मुहावरा भाषा में चमत्कार उत्पन्न करता है जबकि लोकोक्ति उसमें स्थिरता लाती है।<br />
<br />
* मुहावरा छोटा होता है जबकि लोकोक्ति बड़ी और भावपूर्ण होती है।<br />
<br />
== <big>मुहावरों के प्रकार -Types of Idioms :</big> ==<br />
मुहावरों को निम्नलिखित आधारों पर वर्गीकृत किया जा सकता है –<br />
<br />
(1) सादृश्य पर आधारित<br />
<br />
(2) शारीरिक अंगों पर आधारित<br />
<br />
(3) असंभव स्थितियों पर आधारित<br />
<br />
(4) कथाओं पर आधारित<br />
<br />
(5) प्रतीकों पर आधारित<br />
<br />
(6) घटनाओं पर आधारित<br />
<br />
(1) सादृश्य पर आधारित मुहावरे – बहुत से मुहावरे सादृश्य या समानता पर आधारित होते हैं।<br />
<br />
जैसे – चूड़ियाँ पहनना, दाल न गलना, सोने पर सुहागा, कुंदन-सा चमकना, पापड़ बेलना आदि।<br />
<br />
(2) शारीरिक अंगों पर आधारित मुहावरे – हिंदी भाषा के अंतर्गत इस वर्ग में बहुत मुहावरे मिलते हैं।<br />
<br />
जैसे – अंग-अंग ढीला होना, आँखें चुराना, अँगूठा दिखाना, आँखों से गिरना, सिर हिलाना, उँगली उठाना, छाती पर साँप लोटना, तलवे चाटना, दाँत खट्टे करना, नाक रगड़ना, पीठ दिखाना, मुँह काला करना आदि।<br />
<br />
(3) असंभव स्थितियों पर आधारित मुहावरे – इस तरह के मुहावरों में वाच्यार्थ के स्तर पर इस तरह की स्थितियाँ दिखाई देती हैं जो असंभव प्रतीत होती हैं।<br />
<br />
जैसे – पानी में आग लगाना, पत्थर का कलेजा होना, जमीन आसमान एक करना, सिर पर पाँव रखकर भागना, हथेली पर सरसों जमाना, हवाई किले बनाना, दिन में तारे दिखाई देना आदि।<br />
<br />
(4) कथाओं पर आधारित मुहावरे – कुछ मुहावरों का जन्म लोक में प्रचलित कुछ कथा-कहानियों से होता हैं।<br />
<br />
जैसे – टेढ़ी खीर होना, एक और एक ग्यारह होना, हाथों-हाथ बिक जाना, साँप को दूध पिलाना, रँगा सियार होना, दुम दबाकर भागना, काठ में पाँव देना आदि।<br />
<br />
(5) प्रतीकों पर आधारित मुहावरे – कुछ मुहावरे प्रतीकों पर आधारित होते हैं।<br />
<br />
जैसे – एक आँख से देखना, एक ही लकड़ी से हाँकना, एक ही थैले के चट्टे-बट्टे होना, तीनों मुहावरों में प्रयुक्त ‘एक’ शब्द ‘समानता’ का प्रतीक है।<br />
<br />
इसी तरह से डेढ़ पसली का होना, ढाई चावल की खीर पकाना, ढाई दिन की बादशाहत होना, में डेढ़ तथा ढाई शब्द ‘नगण्यता’ के प्रतीक है।<br />
<br />
(6) घटनाओं पर आधारित मुहावरे – कुछ मुहावरों के मूल में कोई घटना भी रहती है।<br />
<br />
जैसे – काँटा निकालना, काँव-काँव करना, ऊपर की आमदनी, गड़े मुर्दे उखाड़ना आदि।<br />
<br />
उपर्युक्त भेदों के अलावा मुहावरों का वर्गीकरण स्रोत के आधार पर भी किया जा सकता है। हिंदी में कुछ मुहावरे संस्कृत से आए हैं, तो कुछ अरबी-फारसी से आए हैं। इसके अतिरिक्त मुहावरों की विषयवस्तु क्या है, इस आधार पर भी उनका वर्गीकरण किया जा सकता है।<br />
<br />
जैसे- स्वास्थ्य विषयक, युद्ध विषयक आदि। कुछ मुहावरों का वर्गीकरण किसी क्षेत्र विशेष के आधार पर भी किया जा सकता है।<br />
<br />
जैसे- क्रीडाक्षेत्र में प्रयुक्त होने वाले मुहावरे, सेना के क्षेत्र में प्रयुक्त होने वाले मुहावरे आदि।<br />
<br />
== <big>मुहावरे (Idioms) हिंदी (Hindi Muhavare)</big> ==<br />
<br />
* अपनी खिचड़ी अलग पकाना-सबसे पृथक् काम करना।<br />
[[File:Image12.png|thumb|93x93px]]<br />
वाक्य-प्रयोग- वह अपनी खिचड़ी अलग पकाता है।<br />
<br />
English - work isolated/ to do things in your own way<br />
Angaare Barasana<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
* अँगारे बरसना—अत्यधिक गर्मी पड़ना।<br />
<br />
वाक्य-प्रयोग- जून मास की दोपहरी में अंगारे बरसते प्रतीत होते हैं।<br />
[[File:Image13.png|thumb|97x97px]]<br />
English- overheat<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
* [[File:Image14.png|thumb|112x112px]]अंग-अंग फूले न समाना-अत्यधिक प्रसन्न होना।<br />
<br />
वाक्य-प्रयोग- राम के अभिषेक की बात सुनकर कौशल्या का अंग-अंग फूले नहीं समाया<br />
<br />
English - to be overjoyed<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
* [[File:Image15.png|thumb|84x84px]]अम्बर के तारे गिनना-नींद न आना।<br />
<br />
वाक्य-प्रयोग- तुम्हारे वियोग में मैं रातभर अम्बर के तारे गिनता रहा।<br />
<br />
English - keep awake<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>Some Common HINDI & ENGLISH Idioms with same meanings:</big> ==<br />
<br />
* [[File:Image16.png|thumb|120x120px]]''हिंदी''- एक् तीर से दो निशाने लगाना- एक साधन से दो काम करना<br />
<br />
''वाक्य-प्रयोग''- रवि एक तीर से दो शिकार करने में माहिर हैं।<br />
<br />
''English''- To kill two birds with one stone - to solve two problems at once<br />
<br />
''Sentence Formation''- By taking my dad on holiday, I killed two birds with one stone. I got to go away but also spend time with him<br />
<br />
<br />
* [[File:Image17.png|thumb|129x129px]]''हिंदी''- शैतान का नाम लिया,शैतान हाजिर- किसी के बारे में सोचते/बोलते ही उसका सामने आ जाना.<br />
<br />
''वाक्य-प्रयोग''- ममता मैं तुम्हारे हि बारे में बात कर रही थी ,शैतान का नाम लिया और शैतान हाजिर|<br />
<br />
''English''- Speak of the devil- this means that the person you’re just talking about actually appears at that moment.<br />
<br />
''Sentence Formation''- Hi Tina, speak of the devil, I was just telling Sara about your new car.<br />
<br />
<br />
* [[File:Image18.png|thumb|125x125px]]''हिंदी''- जिसकी लाठी उसकी भैंस- जिसके पास ताकत होती है उसकी बात अन्य को माननी ही पड़ती है।<br />
<br />
''वाक्य-प्रयोग''- सरपंच ने जिसे चाहा उसे बीज दिया। बेचारे किसान कुछ न कर पाए। इसे कहते हैं – जिसकी लाठी उसकी भैंस।<br />
<br />
English - Might is right- people who have power are able to do what they want<br />
<br />
''Sentence Formation''- Political realism in essence reduces to the political-ethical principle that might is right.<br />
<br />
<br />
<br />
Below are some more :<br />
<br />
* अंत भला तो सब भला - All is Well that ends well.<br />
* अपनी गली में कुत्ता भी शेर होता है - Every cock fights best on his own dunghill.<br />
* अपनी दही को कोई खट्टा नहीं कहता - Every potter praises his own pot.<br />
* अंधों में कनवा राजा - A figure among ciphers.<br />
* अधजल गगरी छलकत जाय, भरी गगरिया चुपके जाय - Deep rivers move with silent majesty, Shallow brooks are noisy.<br />
* आप भला तो जग भला - Good mind, good find.<br />
<br />
* आधी छोड़ सारी को धावे, आधी रहे न सारी पावे - He who grasps all things will lose all.<br />
* आम के आम गुठली के दाम - Earth's joys and heaven's combined.<br />
* इस हाँथ दे उस हाँथ ले - Early sow, early mow.<br />
* ऊंची दुकान फीका पकवान - Great cry, little wool. Great boast, little roast.<br />
** ऊंट की मुँह में जीरा - A drop in the ocean.<br />
** एक पंथ दो काज - To kill two birds with one stone.<br />
** एक हांथ से ताली नहीं बजती - It takes two to make a quarrel.<br />
** एक म्यान में दो तलवार नहीं समाती - Two of a trade seldom agree.<br />
** एक मछली सारे जल को गंदा कर देती है - One fish infects the whole water.<br />
** एक ही थाली के चट्टे बट्टे - Cast in the same mould.<br />
** एक अनार सौ बीमार - One post and one hundred candidates.<br />
** एक कान सुना दूसरे कान उड़ा दो - In at one ear and out at the other.<br />
** कर भला हो भला - Light reflects light.<br />
*** कर बुरा हो बुरा - Do evil and look for the like.<br />
*** कल किसने देखा - Tomorrow never comes.<br />
*** गरीबी में आटा गीला - Misfortunes seldom come alone.<br />
*** गोली अन्दर दम बाहर - Pill in and breath out.<br />
*** घर का भेदी लंका ढावे - Traitors are the worst enemies.<br />
*** चार दिन की चाँदनी फिर अँधेरी रात - A none days' wonder.<br />
*** चिराग तले अँधेरा - Near the church further from heaven.<br />
*** जरुरत के वक्त गधे को भी बाप बनाना पड़ता है - The needy stoops to every thing however mean.<br />
*** नौकरी की क्या जड़ - Service is no inheritance.<br />
*** नकल में शक्ल क्या? - Imitation has no intelligence.<br />
*** न आए का आनंद न गए का शोक - If rich be not elected, if poor be not dejected.<br />
*** नीम न मीठी होए चाहे सींचो गुड़ घी से - Crows are never the whiter for washing.<br />
*** नेक नाम दौलत से अच्छा है - A good name is better than riches.<br />
*** पहिले योग्य बनो फिर मांगो - First deserve then desire.<br />
*** धन के सिर सेहरा - The writ of fate never changes.<br />
*** धन तमाम खूबियों की जड़ है - Money is a god of the world.<br />
*** पहिले बात को तौलो फिर मुंह से बोलो - Calculate well before you speak.<br />
*** पेट की खातिर टोकरी उठाना पड़ता है - Want goads to industry.<br />
*** पूत कपूत पालने में ही पहचाने जाते हैं - The child is the father of the man.<br />
*** डौला डौल की मिट्टी खराब - A rolling stone gathers no moss.<br />
*** तुरंत दान महा कल्यान - He gives thrice who gives in a trice.<br />
*** तू मुझको मैं तुझको - Claw me and I will claw three.<br />
**** जैसा बाप वैसा बेटा - Like father, like son.<br />
**** जैसे को तैसा - Tit for tat.<br />
**** जैसी करनी वैसी भरनी - As you sow, so you will reap.<br />
**** जैसा देश वैसा भेष - When you go to Rome, do as the Romans do.<br />
**** जैसा बोओगे वैसा काटोगे - As you sow, so you will reap.<br />
**** जाको राखे साइयाँ मार सके ना कोय - Whom God keeps no frost can kill.<br />
**** जो गरजते हैं वे बरसते नहीं - Barking dogs seldom bite.<br />
**** तेल देखो तेल की धार देखो - See which way the wind blows.<br />
**** दाल में जरुर काला है - There is something black.<br />
**** दीवाल के भी कान होते हैं - Hedges have eyes and walls have ears.<br />
**** दूध का जला छाछ फूँक कर पीता है - A burnt child breads the fire.<br />
**** दूध का दूध पानी का पानी - Oil and truth must come out.<br />
**** दूर के ढोले सुहावने लगते हैं - Distant drums sound well.<br />
**** दान की बछिया का दाँत नहीं देखा जाता - Beggars and borrowers could not be choosers.<br />
**** धन को धन कमाता है - Money begets money.<br />
***** नई नौ दिन पुरानी सौ दिन - New brooms are not better than old ones.<br />
***** न घर का न घाट का - Neither fish in or fowl<br />
***** न नौ मन तेल होगा न राधा नाचेगी - If the sky falls We shall gather larks.<br />
***** नौ नगद न तेरह उधार - A border in hand is worth two in bush.<br />
***** नाच न आवे आँगन टेढ़ा - A bad workman quarrels with his tools.<br />
***** नेकी कर दरिया में डाल - Do good and cast it into the river.<br />
***** नौ सौ चूहे खाकर बिल्ली चली हज को - Singing all the days in the week and going to church on Sundays.<br />
***** पढ़े न लिखे नाम विद्यासागर - An ignorant man keeping a great fuss.<br />
***** परिश्रम कभी व्यर्थ नहीं जाता - Perseverance is never unfruitful.<br />
***** पानी में रहकर मगर से बैर - To live in Rome and strife with the pope.<br />
***** पाँचों अँगुलियाँ घी में - Your bread is buttered on both sides.<br />
***** प्राण बचे लाखों पायें - Life is better than bags of gold.<br />
***** रुप को अलंकार की आवश्यकता नहीं - A fair face needs no paint<br />
***** रोब में सब अधिकार छिपा रहता है - Devil hides under glittering garments.<br />
***** रोज के टपके से पत्थर भी घिस जाता है - Constant dropping wears the stone.<br />
***** लकड़ी के बल बंदर नाचे - Need makes the old wife not.<br />
***** शक्करखोरे को को ईश्वर शक्कर देता है - Spend and God will spend.<br />
***** श्री गणेश अच्छा हो तो आधा काम हो गया - Well begun is half done.<br />
***** म्याऊँ का ठौर कौन पकड़ेगा - Who will Bell the cat?<br />
****** बकरी की माँ कब तक खैर मनावेगी - How long will the mother's prayers avail to save her kid.<br />
****** बड़े मियाँ सो बड़े मियाँ छोटे मियाँ सुभान अल्ला - The younger is even worse than the elder.<br />
****** बहती गंगा में हाथ धोना - Make hay while the sun shines.<br />
****** बातों से पेट नहीं भरता - It is money that buys the land.<br />
****** बिना सेवा मेवा नहीं मिलता - No pain, no gain.<br />
****** बुरा कर बुरा हो - Do evil and look for the like.<br />
****** बूँद बूँद से तालाब भर जाता है - Many a pickle makes a mickle.<br />
****** खाली दिमाग शैतान का घर - An idle brain is a workshop of devil.<br />
****** बैठे से बेगार भली - Better wear your shose than your bad clothes.<br />
****** बोए पेड़ बबलू के आम कहाँ से होये - Gather thistles, and expect pickles.<br />
****** भाग्य का लिखा कौन मिटा सकता है - What is lotted, can not be blotted.<br />
****** भूखा सो रुखा - A hungry man is an angry man.<br />
<br />
== <big>External Links:</big> ==<br />
[1]<br />
<br />
[2]<br />
<br />
[3]<br />
<br />
[4]<br />
<br />
[5]<br />
<br />
[6]<br />
<br />
== Dictionary of Hindi Muhavare, Hindi Phrases & Idioms: ==<br />
<br />
* अ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With अ)- [7]<br />
* आ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With आ)- [8]<br />
* इ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With इ)- [9]<br />
* उ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With उ)- [10]<br />
* ऊ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ऊ)- [11]<br />
* ए से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ए)- [12]<br />
* ऐ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ऐ)- [13]<br />
* ओ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ओ)- [14]<br />
* औ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With औ)- [15]<br />
* क से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With क)- [16]<br />
* ख से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ख)- [17]<br />
* ग से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ग)- [18]<br />
* घ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With घ)- [19]<br />
* च से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With च)- [20]<br />
* छ से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With छ)- [21]<br />
* ज से शुरू होने वाले मुहावरे (Muhavare Starting With ज)- [22]<br />
<br />
== Few MCQs for Fun:[edit | edit source] ==<br />
निम्नलिखित वाक्यों की पूर्ति नीचे दिए गए मुहावरों में से कीजिए-<br />
<br />
1. सोहन एक अच्छा व्यापारी है। वह ………..खूब जानता है।<br />
<br />
(क) बाट जोहना<br />
<br />
(ख) दो से चार बनाना<br />
<br />
(ग) आँखों से बोलना<br />
<br />
(घ) आड़े हाथों लेना<br />
<br />
उत्तर -(ख) दो से चार बनाना<br />
<br />
2. सुमित को खिलौना पसंद न आया तो उसने वह खिलौना अपने छोटे भाई के………….. दिया।<br />
<br />
(क) हाथों डालना<br />
<br />
(ख) जबरदस्ती सौंपना<br />
<br />
(ग) सिर लगाना<br />
<br />
(घ) मत्थे मढंना<br />
<br />
उत्तर – (घ) मत्थे मढंना<br />
<br />
3. उस बेचारी का कोई नहीं। अब तो उसका पुत्र ही उसके लिए………….है।<br />
<br />
(क) आँख का काँटा<br />
<br />
(ख) आँख का तारा<br />
<br />
(ग) अंधे की लाठी<br />
<br />
(घ) अंधे की लकड़ी<br />
<br />
उत्तर (ग) अंधे की लाठी<br />
<br />
4. प्राय: उधार लेने के बाद लोग…………. निकल जाते हैं।<br />
<br />
(क) ढाढ़स बढ़ाकर<br />
<br />
(ख) तू तू-मैं मैं करके<br />
<br />
(ग) आँख दिखाकर<br />
<br />
(घ) आंख बचाकर<br />
<br />
उत्तर- (घ) आंख बचाकर<br />
<br />
5. आतंकियों पर नरमी दिखाने के बजाय हमें उन्हें लेना………… चाहिए।<br />
<br />
(क) टूट पड़ना<br />
<br />
(ख) घाव पर नमक छिड़कना<br />
<br />
(ग) आड़े हाथों लेना<br />
<br />
(घ) इनमें से कोई नहीं<br />
<br />
उत्तर- (ग) आड़े हाथों लेना<br />
<br />
6. चोर ………… सब चुरा कर ले गए और घरवाले सोते ही रह गए।<br />
<br />
(क) कानों में रस घोलकर<br />
<br />
(ख) गले लगाकर।<br />
<br />
(ग) आँखों में तैर कर<br />
<br />
(घ) दबे पांव आकर<br />
<br />
उत्तर- (घ) दबे पांव आकर<br />
<br />
7. सोहन की बड़ी-बड़ी बातें सुनकर उसके सभी दोस्त ……………।<br />
<br />
(क) छोटा मुँह बड़ी बात<br />
<br />
(ख) चक्कर खा जाना<br />
<br />
(ग) जी ललचाना<br />
<br />
(घ) खून जलाना<br />
<br />
उत्तर-(घ) खून जलाना<br />
<br />
8. सभी को अन्याय और अत्याचार करने वालों के खिलाफ अपनी…………..।<br />
<br />
(क) अलख जगाना<br />
<br />
(ख) अपनी बात कहना<br />
<br />
(ग) आवाज उठाना<br />
<br />
(घ) मील का पत्थर सिद्ध होना<br />
<br />
उत्तर- (ग) आवाज उठाना<br />
<br />
9. युद्ध में भारत ने पाकिस्तान को ………….।<br />
<br />
(क)चाँदी के चने चबाना<br />
<br />
(ख) लोहे के चने चबाना<br />
<br />
(ग) दाँतों पसीना आना<br />
<br />
(घ) आँखों में धूल झोंकना<br />
<br />
उत्तर-(ख) लोहे के चने चबाना<br />
<br />
10. ……………. की कोई बात नहीं, यह लो अपनी पुस्तक और चलते बनो।<br />
<br />
(क) आँच न आने देना<br />
<br />
(ख) बरस पड़ना<br />
<br />
(ग) खूब उबलना<br />
<br />
(घ) आग बबूला होना<br />
<br />
उत्तर- (घ) आग बबूला होना</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Mathematics_for_physics&diff=1295Mathematics for physics2022-02-01T13:14:07Z<p>Mani: /* भौतिकी के लिए गणित */</p>
<hr />
<div><br />
== Differentiation ==<br />
In calculus, '''differentiation''' is one of the two important concepts apart from integration. Differentiation is a method of finding the derivative of a function. Differentiation is a process, in Maths, where we find the instantaneous rate of change in function based on one of its variables. The most common example is the rate change of displacement with respect to time, called velocity. The opposite of finding a derivative is anti-differentiation.<br />
<br />
If x is a variable and y is another variable, then the rate of change of x with respect to y is given by dy/dx. This is the general expression of derivative of a function and is represented as f'(x) = dy/dx, where y = f(x) is any function.<br />
<br />
== Constant quantity ==<br />
<br />
:<br />
<br />
If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.<br />
<br />
Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,<br />
<br />
== Variable quantity ==<br />
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.<br />
<br />
Variable quantities are divided into two types<br />
(a) Independent quantity.<br />
(b) Dependent quantity. <br />
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.<br />
<br />
== Function ==<br />
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.<br />
<br />
== Difference and Differential coefficient ==<br />
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.<br />
<br />
The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.<br />
<br />
Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then<br />
<br />
we write △y/△x is equal to dy/dx.<br />
<br />
In mathematical language, we represent the above statement as:<br />
<br />
lim(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.<br />
<br />
dy/ dx = Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.<br />
<br />
d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.<br />
<br />
== Differentiation ==<br />
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.<br />
<br />
Basic Theorems on Differentiation:<br />
<br />
i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.<br />
<br />
Then dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0<br />
<br />
ii) The differential coefficient of x<sup>n</sup> is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.<br />
<br />
If y = x<sup>n</sup> then dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, where n may be positive or negative.<br />
<br />
Example: Differentiate y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.<br />
<br />
Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.<br />
<br />
Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.<br />
<br />
Solution:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10<br />
<br />
<big>Rules of differentiation</big><br />
<br />
Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.<br />
<br />
Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
Example: Differentiate y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: Here u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> – 2x) + (x<sup>2</sup>–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
<big>Quotient Rule:</big><br />
<br />
The differential coefficient of the quotient of two functions = [2<sup>nd</sup> function * derivati of the 1<sup>st</sup> function - 1<sup>st</sup> function * derivative of 2<sup>nd</sup> function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
<br />
== HINDI ==<br />
<br />
=== भौतिकी के लिए गणित ===<br />
<br />
=== विभेदन / विभेदीकरण ===<br />
कलन में, विभेदीकरण एकीकरण के अलावा दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। विभेदन एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की एक विधि है। विभेदीकरण एक प्रक्रिया है, गणित में, जहां हम इसके एक चर के आधार पर कार्य में परिवर्तन की तात्कालिक दर पाते हैं। सबसे सामान्य उदाहरण समय के साथ विस्थापन की दर में परिवर्तन है, जिसे वेग कहा जाता है। व्युत्पन्न खोजने के विपरीत भेदभाव विरोधी है।<br />
<br />
यदि x एक चर है और y एक अन्य चर है, तो y के संबंध में x के परिवर्तन की दर dy/dx द्वारा दी जाती है। यह किसी फलन के अवकलज का सामान्य व्यंजक है और इसे f'(x) = dy/dx के रूप में दर्शाया जाता है, जहां y = f(x) कोई फलन है।<br />
<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।<br />
<br />
उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,<br />
<br />
=== परिवर्तनीय मात्रा ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।<br />
<br />
परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है<br />
(ए) स्वतंत्र मात्रा।<br />
(बी) निर्भर मात्रा।<br />
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।<br />
<br />
=== फलन ===<br />
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।<br />
<br />
=== अंतर और विभेदन गुणांक ===<br />
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।<br />
<br />
किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।<br />
<br />
x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब<br />
<br />
हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।<br />
<br />
गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।<br />
<br />
dy/ dx =Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।<br />
<br />
d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।<br />
<br />
भेदभाव<br />
<br />
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।<br />
<br />
=== विभेदन पर मूल प्रमेय ===<br />
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।<br />
<br />
तब dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) x<sup>n</sup> का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
यदि y = x<sup>n</sup> तो dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. एक्स।<br />
<br />
समाधान: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।<br />
<br />
मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।<br />
<br />
तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
समाधान:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102<br />
<br />
=== भेदभाव के नियम ===<br />
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।<br />
<br />
माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
उदाहरण: y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
हल: यहाँ u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
=== भागफल नियम ===<br />
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
[[Category:Mathematics1]]<br />
{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Mathematics_for_physics&diff=1294Mathematics for physics2022-02-01T13:12:52Z<p>Mani: /* Differentiation */</p>
<hr />
<div><br />
== Differentiation ==<br />
In calculus, '''differentiation''' is one of the two important concepts apart from integration. Differentiation is a method of finding the derivative of a function. Differentiation is a process, in Maths, where we find the instantaneous rate of change in function based on one of its variables. The most common example is the rate change of displacement with respect to time, called velocity. The opposite of finding a derivative is anti-differentiation.<br />
<br />
If x is a variable and y is another variable, then the rate of change of x with respect to y is given by dy/dx. This is the general expression of derivative of a function and is represented as f'(x) = dy/dx, where y = f(x) is any function.<br />
<br />
== Constant quantity ==<br />
<br />
:<br />
<br />
If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.<br />
<br />
Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,<br />
<br />
== Variable quantity ==<br />
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.<br />
<br />
Variable quantities are divided into two types<br />
(a) Independent quantity.<br />
(b) Dependent quantity. <br />
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.<br />
<br />
== Function ==<br />
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.<br />
<br />
== Difference and Differential coefficient ==<br />
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.<br />
<br />
The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.<br />
<br />
Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then<br />
<br />
we write △y/△x is equal to dy/dx.<br />
<br />
In mathematical language, we represent the above statement as:<br />
<br />
lim(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.<br />
<br />
dy/ dx = Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.<br />
<br />
d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.<br />
<br />
== Differentiation ==<br />
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.<br />
<br />
Basic Theorems on Differentiation:<br />
<br />
i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.<br />
<br />
Then dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0<br />
<br />
ii) The differential coefficient of x<sup>n</sup> is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.<br />
<br />
If y = x<sup>n</sup> then dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, where n may be positive or negative.<br />
<br />
Example: Differentiate y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.<br />
<br />
Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.<br />
<br />
Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.<br />
<br />
Solution:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10<br />
<br />
<big>Rules of differentiation</big><br />
<br />
Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.<br />
<br />
Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
Example: Differentiate y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: Here u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> – 2x) + (x<sup>2</sup>–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
<big>Quotient Rule:</big><br />
<br />
The differential coefficient of the quotient of two functions = [2<sup>nd</sup> function * derivati of the 1<sup>st</sup> function - 1<sup>st</sup> function * derivative of 2<sup>nd</sup> function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
<br />
== HINDI ==<br />
<br />
=== भौतिकी के लिए गणित ===<br />
<br />
=== विभेदन / विभेदीकरण ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।<br />
<br />
उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,<br />
<br />
=== परिवर्तनीय मात्रा ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।<br />
<br />
परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है<br />
(ए) स्वतंत्र मात्रा।<br />
(बी) निर्भर मात्रा।<br />
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।<br />
<br />
=== फलन ===<br />
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।<br />
<br />
=== अंतर और विभेदन गुणांक ===<br />
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।<br />
<br />
किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।<br />
<br />
x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब<br />
<br />
हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।<br />
<br />
गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।<br />
<br />
dy/ dx =Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।<br />
<br />
d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।<br />
<br />
भेदभाव<br />
<br />
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।<br />
<br />
=== विभेदन पर मूल प्रमेय ===<br />
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।<br />
<br />
तब dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) x<sup>n</sup> का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
यदि y = x<sup>n</sup> तो dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. एक्स।<br />
<br />
समाधान: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।<br />
<br />
मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।<br />
<br />
तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
समाधान:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102<br />
<br />
=== भेदभाव के नियम ===<br />
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।<br />
<br />
माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
उदाहरण: y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
हल: यहाँ u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
=== भागफल नियम ===<br />
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
[[Category:Mathematics1]]<br />
{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Mathematics_for_physics&diff=1293Mathematics for physics2022-02-01T13:09:03Z<p>Mani: /* Differentiation:[edit source] */</p>
<hr />
<div><br />
== Differentiation ==<br />
<br />
== Constant quantity ==<br />
<br />
:<br />
<br />
If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.<br />
<br />
Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,<br />
<br />
== Variable quantity ==<br />
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.<br />
<br />
Variable quantities are divided into two types<br />
(a) Independent quantity.<br />
(b) Dependent quantity. <br />
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.<br />
<br />
== Function ==<br />
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.<br />
<br />
== Difference and Differential coefficient ==<br />
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.<br />
<br />
The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.<br />
<br />
Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then<br />
<br />
we write △y/△x is equal to dy/dx.<br />
<br />
In mathematical language, we represent the above statement as:<br />
<br />
lim(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.<br />
<br />
dy/ dx = Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.<br />
<br />
d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.<br />
<br />
== Differentiation ==<br />
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.<br />
<br />
Basic Theorems on Differentiation:<br />
<br />
i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.<br />
<br />
Then dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0<br />
<br />
ii) The differential coefficient of x<sup>n</sup> is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.<br />
<br />
If y = x<sup>n</sup> then dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, where n may be positive or negative.<br />
<br />
Example: Differentiate y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.<br />
<br />
Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.<br />
<br />
Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.<br />
<br />
Solution:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10<br />
<br />
<big>Rules of differentiation</big><br />
<br />
Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.<br />
<br />
Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
Example: Differentiate y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: Here u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> – 2x) + (x<sup>2</sup>–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
<big>Quotient Rule:</big><br />
<br />
The differential coefficient of the quotient of two functions = [2<sup>nd</sup> function * derivati of the 1<sup>st</sup> function - 1<sup>st</sup> function * derivative of 2<sup>nd</sup> function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
<br />
== HINDI ==<br />
<br />
=== भौतिकी के लिए गणित ===<br />
<br />
=== विभेदन / विभेदीकरण ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।<br />
<br />
उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,<br />
<br />
=== परिवर्तनीय मात्रा ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।<br />
<br />
परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है<br />
(ए) स्वतंत्र मात्रा।<br />
(बी) निर्भर मात्रा।<br />
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।<br />
<br />
=== फलन ===<br />
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।<br />
<br />
=== अंतर और विभेदन गुणांक ===<br />
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।<br />
<br />
किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।<br />
<br />
x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब<br />
<br />
हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।<br />
<br />
गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।<br />
<br />
dy/ dx =Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।<br />
<br />
d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।<br />
<br />
भेदभाव<br />
<br />
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।<br />
<br />
=== विभेदन पर मूल प्रमेय ===<br />
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।<br />
<br />
तब dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) x<sup>n</sup> का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
यदि y = x<sup>n</sup> तो dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. एक्स।<br />
<br />
समाधान: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।<br />
<br />
मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।<br />
<br />
तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
समाधान:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102<br />
<br />
=== भेदभाव के नियम ===<br />
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।<br />
<br />
माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
उदाहरण: y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
हल: यहाँ u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
=== भागफल नियम ===<br />
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
[[Category:Mathematics1]]<br />
{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Mathematics_for_physics&diff=1292Mathematics for physics2022-01-31T09:53:48Z<p>Mani: /* भागफल नियम:[edit source] */</p>
<hr />
<div><br />
== Differentiation:[edit source] ==<br />
<br />
== Constant quantity[edit source] ==<br />
<br />
:<br />
<br />
If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.<br />
<br />
Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,<br />
<br />
== Variable quantity:[edit source] ==<br />
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.<br />
<br />
Variable quantities are divided into two types<br />
(a) Independent quantity.<br />
(b) Dependent quantity. <br />
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.<br />
<br />
== Function:[edit source] ==<br />
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.<br />
<br />
== Difference and Differential coefficient:[edit source] ==<br />
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.<br />
<br />
The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.<br />
<br />
Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then<br />
<br />
we write △y/△x is equal to dy/dx.<br />
<br />
In mathematical language, we represent the above statement as:<br />
<br />
lim(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.<br />
<br />
dy/ dx = Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.<br />
<br />
d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.<br />
<br />
== Differentiation:[edit source] ==<br />
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.<br />
<br />
Basic Theorems on Differentiation:<br />
<br />
i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.<br />
<br />
Then dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0<br />
<br />
ii) The differential coefficient of x<sup>n</sup> is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.<br />
<br />
If y = x<sup>n</sup> then dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, where n may be positive or negative.<br />
<br />
Example: Differentiate y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.<br />
<br />
Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.<br />
<br />
Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.<br />
<br />
Solution:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10<br />
<br />
<big>Rules of differentiation</big><br />
<br />
Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.<br />
<br />
Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
Example: Differentiate y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: Here u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> – 2x) + (x<sup>2</sup>–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
<big>Quotient Rule:</big><br />
<br />
The differential coefficient of the quotient of two functions = [2<sup>nd</sup> function * derivati of the 1<sup>st</sup> function - 1<sup>st</sup> function * derivative of 2<sup>nd</sup> function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
<br />
== HINDI[edit source] ==<br />
<br />
=== भौतिकी के लिए गणित:[edit source] ===<br />
<br />
=== विभेदन / विभेदीकरण:[edit source] ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।<br />
<br />
उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,<br />
<br />
=== परिवर्तनीय मात्रा:[edit source] ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।<br />
<br />
परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है<br />
(ए) स्वतंत्र मात्रा।<br />
(बी) निर्भर मात्रा।<br />
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।<br />
<br />
=== फलन[edit source] ===<br />
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।<br />
<br />
=== अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source] ===<br />
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।<br />
<br />
किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।<br />
<br />
x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब<br />
<br />
हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।<br />
<br />
गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।<br />
<br />
dy/ dx =Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।<br />
<br />
d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।<br />
<br />
भेदभाव<br />
<br />
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।<br />
<br />
=== विभेदन पर मूल प्रमेय:[edit source] ===<br />
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।<br />
<br />
तब dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) x<sup>n</sup> का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
यदि y = x<sup>n</sup> तो dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. एक्स।<br />
<br />
समाधान: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।<br />
<br />
मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।<br />
<br />
तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
समाधान:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102<br />
<br />
=== भेदभाव के नियम[edit source] ===<br />
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।<br />
<br />
माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
उदाहरण: y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
हल: यहाँ u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
=== भागफल नियम:[edit source] ===<br />
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
[[Category:Mathematics1]]<br />
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<hr />
<div><br />
== Differentiation:[edit source] ==<br />
<br />
== Constant quantity[edit source] ==<br />
<br />
:<br />
<br />
If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.<br />
<br />
Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,<br />
<br />
== Variable quantity:[edit source] ==<br />
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.<br />
<br />
Variable quantities are divided into two types<br />
(a) Independent quantity.<br />
(b) Dependent quantity. <br />
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.<br />
<br />
== Function:[edit source] ==<br />
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.<br />
<br />
== Difference and Differential coefficient:[edit source] ==<br />
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.<br />
<br />
The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.<br />
<br />
Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then<br />
<br />
we write △y/△x is equal to dy/dx.<br />
<br />
In mathematical language, we represent the above statement as:<br />
<br />
lim(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.<br />
<br />
dy/ dx = Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.<br />
<br />
d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.<br />
<br />
== Differentiation:[edit source] ==<br />
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.<br />
<br />
Basic Theorems on Differentiation:<br />
<br />
i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.<br />
<br />
Then dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0<br />
<br />
ii) The differential coefficient of x<sup>n</sup> is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.<br />
<br />
If y = x<sup>n</sup> then dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, where n may be positive or negative.<br />
<br />
Example: Differentiate y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.<br />
<br />
Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.<br />
<br />
Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.<br />
<br />
Solution:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10<br />
<br />
<big>Rules of differentiation</big><br />
<br />
Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.<br />
<br />
Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
Example: Differentiate y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: Here u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> – 2x) + (x<sup>2</sup>–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
<big>Quotient Rule:</big><br />
<br />
The differential coefficient of the quotient of two functions = [2<sup>nd</sup> function * derivati of the 1<sup>st</sup> function - 1<sup>st</sup> function * derivative of 2<sup>nd</sup> function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
<br />
== HINDI[edit source] ==<br />
<br />
=== भौतिकी के लिए गणित:[edit source] ===<br />
<br />
=== विभेदन / विभेदीकरण:[edit source] ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।<br />
<br />
उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,<br />
<br />
=== परिवर्तनीय मात्रा:[edit source] ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।<br />
<br />
परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है<br />
(ए) स्वतंत्र मात्रा।<br />
(बी) निर्भर मात्रा।<br />
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।<br />
<br />
=== फलन[edit source] ===<br />
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।<br />
<br />
=== अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source] ===<br />
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।<br />
<br />
किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।<br />
<br />
x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब<br />
<br />
हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।<br />
<br />
गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।<br />
<br />
dy/ dx =Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।<br />
<br />
d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।<br />
<br />
भेदभाव<br />
<br />
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।<br />
<br />
=== विभेदन पर मूल प्रमेय:[edit source] ===<br />
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।<br />
<br />
तब dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) x<sup>n</sup> का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
यदि y = x<sup>n</sup> तो dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. एक्स।<br />
<br />
समाधान: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।<br />
<br />
मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।<br />
<br />
तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
समाधान:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102<br />
<br />
=== भेदभाव के नियम[edit source] ===<br />
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।<br />
<br />
माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
उदाहरण: y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
हल: यहाँ u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
=== भागफल नियम:[edit source] ===<br />
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
!क्रमांक<br />
!बीजीय व्यंजक का संघटक<br />
!संस्कृत शब्द<br />
!प्रतीक/चिह्न<br />
!उदाहरण<br />
!<br />
|-<br />
|1<br />
|अज्ञात<br />
|यावत्तावत्<br />
कालकः<br />
<br />
नीलकः , ......<br />
|या<br />
का<br />
<br />
नी , ........<br />
|या ३<br />
का ४<br />
<br />
नी ८<br />
|3x<br />
4y<br />
<br />
8z<br />
|-<br />
|2<br />
|योगफल<br />
|योगः<br />
|<nowiki>-</nowiki><br />
|या का<br />
या ३ का ४<br />
|x + y<br />
3x + 4y<br />
|-<br />
|3<br />
|गुणनफल<br />
|भावितम्<br />
|भा<br />
|याकाभा<br />
याकाभा ३<br />
|xy<br />
3xy<br />
|-<br />
|4<br />
|वर्ग<br />
|वर्गः<br />
|व<br />
|याव<br />
|x<sup>2</sup><br />
|-<br />
|5<br />
|घनक्षेत्र<br />
|घनः<br />
|घ<br />
|याघ<br />
|x<sup>3</sup><br />
|-<br />
|6<br />
|चौथी शक्ति<br />
|वर्ग-वर्गः<br />
|वव<br />
|यावव<br />
|x<sup>4</sup><br />
|-<br />
|7<br />
|स्थायी अवधि<br />
|रूपम्<br />
|रू<br />
|रू ३<br />
|3<br />
|-<br />
|8<br />
|ऋणात्मक<br />
|ऋणम्<br />
|मात्रा के ऊपर बिंदु (.)<br />
|'''.'''<br />
रू ४<br />
|<nowiki>-4</nowiki><br />
|}<br />
[[Category:Mathematics1]]<br />
{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Swami_Vivekananda&diff=1290Swami Vivekananda2022-01-27T12:45:09Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div>'''Swami Vivekananda''' 12 January 1863 – 4 July 1902, born '''Narendranath Datta''' , was an Indian Hindu monk and philosopher.<br />
[[Category:Indian Teacher]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Swami_Vivekananda&diff=1289Swami Vivekananda2022-01-27T12:44:41Z<p>Mani: Created page with "'''Swami Vivekananda''' 12 January 1863 – 4 July 1902, born '''Narendranath Datta''' , was an Indian Hindu monk and philosopher. "</p>
<hr />
<div>'''Swami Vivekananda''' 12 January 1863 – 4 July 1902, born '''Narendranath Datta''' , was an Indian Hindu monk and philosopher.</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1288Category:Chanakya2022-01-27T08:38:51Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
<br />
=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
<br />
==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
<br />
<br />
==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
<br />
==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
<br />
==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
<br />
<br />
== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
<br />
=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
<br />
[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Chanakya}}<br />
[[Category:Indian Teacher]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1287Category:Chanakya2022-01-27T08:36:45Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
<br />
=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
<br />
==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
<br />
<br />
==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
<br />
==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
<br />
==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
<br />
<br />
== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
<br />
=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
<br />
[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
[[Category:Indian Traditions]]<br />
{{DEFAULTSORT:Chanakya}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1286Category:Chanakya2022-01-27T08:35:59Z<p>Mani: </p>
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== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
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=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
<br />
==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
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[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
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==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
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[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
<br />
==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
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[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
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==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
<br />
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== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
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=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
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== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
<br />
[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
<br />
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== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
[[Category:Indian Traditions]]<br />
{{DEFAULTSORT:Chanakya}}<br />
[[Category:Indian Traditions]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1285Category:Chanakya2022-01-27T08:34:38Z<p>Mani: </p>
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<div><br />
== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
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=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
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==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
<br />
<br />
==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
<br />
==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
<br />
==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
<br />
<br />
== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
<br />
=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
<br />
[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
[[Category:Indian Traditions]]<br />
{{DEFAULTSORT:Chanakya}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1284Category:Chanakya2022-01-27T08:33:29Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
<br />
=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
<br />
==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
<br />
<br />
==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
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==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
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[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
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==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
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== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
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=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
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== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
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[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
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== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
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'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
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The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
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== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
[[Category:Indian Teacher]]<br />
[[Category:Indian Traditions]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1283Category:Chanakya2022-01-27T08:32:36Z<p>Mani: </p>
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== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
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=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
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==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
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So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
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[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
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==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
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==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
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[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
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==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
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[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
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==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
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We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
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== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
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[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
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[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
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=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
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== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
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[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
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== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
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After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Indian Teacher}}<br />
[[Category:Indian Teacher]]<br />
[[Category:Indian Traditions]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Indian_Traditions&diff=1282Category:Indian Traditions2022-01-27T08:31:38Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div>Indian culture is full of unique customs and traditions that are waiting to be explored. These cultural aspects differ widely across India’s 28 states and seven territories, and many of them stem from ancient Indian scriptures and texts, which paved the way of life in India for centuries.</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Indian_Traditions&diff=1281Category:Indian Traditions2022-01-27T08:30:51Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div>Indian culture is full of unique customs and traditions that are waiting to be explored. These cultural aspects differ widely across India’s 28 states and seven territories, and many of them stem from ancient Indian scriptures and texts, which paved the way of life in India for centuries.<br />
[[Category:Chanakya]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1280Category:Chanakya2022-01-27T06:09:09Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
<br />
=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
<br />
==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
<br />
<br />
==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
<br />
==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
<br />
==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
<br />
<br />
== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
<br />
=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
<br />
[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Indian Teacher}}<br />
[[Category:Indian Teacher]]</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Mathematics1&diff=1279Category:Mathematics12022-01-27T06:07:24Z<p>Mani: Created page with "'''Mathematics''' is an area of knowledge, which includes the study of such topics as numbers (arithmetic and number theory), formulas and related structures (algebra), shape..."</p>
<hr />
<div>'''Mathematics''' is an area of knowledge, which includes the study of such topics as numbers (arithmetic and number theory), formulas and related structures (algebra), shapes and spaces in which they are contained (geometry), and quantities and their changes (calculus and analysis).</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Mathematics_for_physics&diff=1278Mathematics for physics2022-01-27T06:05:18Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== Differentiation:[edit source] ==<br />
<br />
== Constant quantity[edit source] ==<br />
<br />
:<br />
<br />
If the value of a quantity remains the same in a mathematical operation, it is called a constant quantity.<br />
<br />
Examples: Integers (4, 7, 13, ...), the fraction (1/2, 4/5), π, e, etc.,<br />
<br />
== Variable quantity:[edit source] ==<br />
If the quantity takes different values in a mathematical operation, it is a variable quantity. Examples: (i) In the equation y = 2x + 3, x and y are variables. (ii) In the equation F = ma where F, m and a are variables.<br />
<br />
Variable quantities are divided into two types<br />
(a) Independent quantity.<br />
(b) Dependent quantity. <br />
In the equation y = 2x + 3, x is the independent quantity, and y is the dependent quantity.<br />
<br />
== Function:[edit source] ==<br />
If corresponding to any given value of x, there exists a single definite value then y is called a function of x. This is represented as y = f(x). This equation means that corresponding to one value of x, there is a single definite value of the variable y. Example: (i) Let y = 2x, when x = 1 then y = 2; when x = 2 then y = 4... Thus corresponding to each value of x, there is a definite value of y.<br />
<br />
== Difference and Differential coefficient:[edit source] ==<br />
Let y be a function of x. This is denoted as y = f(x). Here x and y are the variables. Let the value of x change to x+△x and correspondingly the value of y changes to y+△y.<br />
<br />
The change between the initial and final values of a variable quantity is called Difference.<br />
<br />
Difference in x = (x+ △x) - x = △x; Difference in y =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
The ratio of △y/△x is called the quotient of the two increments. When Difference in x (i.e., △x) is very small i.e., almost approaching to zero, then<br />
<br />
we write △y/△x is equal to dy/dx.<br />
<br />
In mathematical language, we represent the above statement as:<br />
<br />
lim(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
In this equation, ∆y/∆x is the ratio of a small quantity ∆y to another small quantity ∆x. But dy/dx is a single quantity and is called the differential coefficient of y with respect to x.<br />
<br />
dy/ dx = Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
The rate of change of a dependent variable with respect to the independent variable is called the differential coefficient or derivative.<br />
<br />
d/dx does not mean that d is divided by dx. It is a single operator called the differential operator.<br />
<br />
== Differentiation:[edit source] ==<br />
The process of finding the differential coefficient of a function is called differentiation.<br />
<br />
Basic Theorems on Differentiation:<br />
<br />
i) The derivative of a constant is zero. Let y = f(x) = c. Where c is constant.<br />
<br />
Then dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
Example: Differentiate y = 2a where a is a constant dy/dx= d/dx(2a) =0<br />
<br />
ii) The differential coefficient of x<sup>n</sup> is obtained by decreasing the power of x by unity and multiplying by n.<br />
<br />
If y = x<sup>n</sup> then dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, where n may be positive or negative.<br />
<br />
Example: Differentiate y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
iii) The derivative of the algebraic sum of two functions is equal to the algebraic sum of the derivatives of the two functions.<br />
<br />
Let y = u±v±w±..... where u, v, w..... are all functions of x.<br />
<br />
Then dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
Example: Differentiate y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t. x.<br />
<br />
Solution:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 10<br />
<br />
<big>Rules of differentiation</big><br />
<br />
Product Rule: The differential coefficient of the products of two functions = 1st function x differential coefficient of the 2nd function + 2nd function x differential coefficient 1st function.<br />
<br />
Let y = uv where u and v are functions of x. Then dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
Example: Differentiate y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t. x.<br />
<br />
Solution: Here u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> – 2x) + (x<sup>2</sup>–2x)d/dx(x). = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
<big>Quotient Rule:</big><br />
<br />
The differential coefficient of the quotient of two functions = [2<sup>nd</sup> function * derivati of the 1<sup>st</sup> function - 1<sup>st</sup> function * derivative of 2<sup>nd</sup> function] divided by the square of the second function. Let y = u/v where u and v are two functions of x. Then, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
Example: Differentiate y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x. Solution: Here u = x2 + 1, v = x - 1. range . [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) & (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
<br />
== HINDI[edit source] ==<br />
<br />
=== भौतिकी के लिए गणित:[edit source] ===<br />
<br />
=== विभेदन / विभेदीकरण:[edit source] ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में किसी मात्रा का मान समान रहता है, तो उसे अचर मात्रा कहते हैं।<br />
<br />
उदाहरण: पूर्णांक (4, 7, 13, ...), भिन्न (1/2, 4/5), π, e, आदि,<br />
<br />
=== परिवर्तनीय मात्रा:[edit source] ===<br />
यदि किसी गणितीय संक्रिया में मात्रा भिन्न-भिन्न मान लेती है, तो यह एक परिवर्ती मात्रा होती है। उदाहरण: (i) समीकरण में y = 2x + 3, x और y चर हैं। (ii) समीकरण F = ma में जहाँ F, m और a चर हैं।<br />
<br />
परिवर्तनीय मात्राओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है<br />
(ए) स्वतंत्र मात्रा।<br />
(बी) निर्भर मात्रा।<br />
समीकरण y = 2x + 3 में, x स्वतंत्र मात्रा है, और y आश्रित मात्रा है।<br />
<br />
=== फलन[edit source] ===<br />
यदि x के किसी दिए गए मान के संगत, एक निश्चित मान मौजूद है तो y को x का एक फलन कहा जाता है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। इस समीकरण का अर्थ है कि x के एक मान के संगत चर y का एक निश्चित मान होता है। उदाहरण: (i) माना y = 2x, जब x = 1 तब y = 2; जब x = 2 तब y = 4... इस प्रकार x के प्रत्येक मान के संगत y का एक निश्चित मान होता है।<br />
<br />
=== अंतर और विभेदन गुणांक:[edit source] ===<br />
मान लीजिए y, x का एक फलन है। इसे y = f(x) के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ x और y चर हैं। मान लें कि x का मान x+△x में बदल जाता है और तदनुसार y का मान y+△y में बदल जाता है।<br />
<br />
किसी परिवर्ती राशि के प्रारंभिक और अंतिम मानों के बीच के परिवर्तन को अंतर कहा जाता है।<br />
<br />
x में अंतर = (x+ △x) - x = x; y में अंतर =(y+△y)-y=△y<br />
<br />
y/△x के अनुपात को दो वेतन वृद्धि का भागफल कहा जाता है। जब x में अंतर (अर्थात् △x) बहुत छोटा हो अर्थात लगभग शून्य के करीब पहुंच रहा हो, तब<br />
<br />
हम लिखते हैं y/△x बराबर dy/dx है।<br />
<br />
गणितीय भाषा में, हम उपरोक्त कथन को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं:<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx or<br />
<br />
Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) =dy/dx<br />
<br />
इस समीकरण में, y/∆x एक छोटी मात्रा y का दूसरी छोटी मात्रा ∆x से अनुपात है। लेकिन dy/dx एक एकल मात्रा है और इसे x के सापेक्ष y का अवकल गुणांक कहा जाता है।<br />
<br />
dy/ dx =Lt(∆x→0)█(∆y/∆x) = Lt(∆x→0)█[f(x+∆x)-f(x)]/∆x<br />
<br />
स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर के परिवर्तन की दर को अंतर गुणांक या व्युत्पन्न कहा जाता है।<br />
<br />
d/dx का अर्थ यह नहीं है कि d को dx से विभाजित किया जाता है। यह एक एकल ऑपरेटर है जिसे डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।<br />
<br />
भेदभाव<br />
<br />
किसी फलन का अवकल गुणांक ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदन कहते हैं।<br />
<br />
=== विभेदन पर मूल प्रमेय:[edit source] ===<br />
i) एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है। माना y = f(x) = c. जहाँ c स्थिर है।<br />
<br />
तब dy/dx =d/dx(c) =0<br />
<br />
उदाहरण: y = 2a में अंतर कीजिए, जहां a एक अचर dy/dx= d/dx(2a) =0 है ii) x<sup>n</sup> का अवकल गुणांक x की घात को एकता से घटाकर और n से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।<br />
<br />
यदि y = x<sup>n</sup> तो dy/dx = nx<sup>n-1</sup>, जहां n धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = 8x<sup>8</sup> w.r.t. एक्स।<br />
<br />
समाधान: dy/dx = d/dx(8x<sup>8</sup>) = 8d/dx(x<sup>8</sup>) = 8*8*x<sup>8-1</sup> = 64x<sup>7</sup><br />
<br />
दो फलनों के बीजीय योग का अवकलज दो फलनों के अवकलजों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।<br />
<br />
मान लीजिए y = u±v±w±..... जहां u, v, w..... x के सभी फलन हैं।<br />
<br />
तब dy/dx = d/dx(u±v±w±.....) = d/dx(u)±d/dx(v)±d/dx(w)± ...<br />
<br />
उदाहरण: y = 3x4 + 2x2 - 10x w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
समाधान:<br />
<br />
dy/dx = d/dx(3x4 + 2x2 -10x) = d/dx(3x4) + d/dx(2x2)- d/dx (10x) = 4.3.x4-1 + 2.2.x2-1 -10.x1-1 = 12x3 + 4x - 102<br />
<br />
=== भेदभाव के नियम[edit source] ===<br />
प्रॉडक्ट नियम: दो फलनों के गुणनफल का अवकल गुणांक = पहला फलन x दूसरे फलन का अंतर गुणांक + दूसरा फलन x अवकल गुणांक पहला फलन।<br />
<br />
माना y = uv जहां u और v x के फलन हैं। फिर dy/dx= d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)<br />
<br />
उदाहरण: y = x(x<sup>2</sup> – 2x) w.r.t में अंतर करें। एक्स।<br />
<br />
हल: यहाँ u = x, v = x<sup>2</sup> - 2x<br />
<br />
dy/dx = d/dx[x(x<sup>2</sup>-2x)]=x(d/dx)(x<sup>2</sup> - 2x) + (x<sup>2</sup> -2x)d/dx(x)। = x(2x-2)+(x<sup>2</sup> - 2x)*1= 3x<sup>2</sup> - 4x<br />
<br />
=== भागफल नियम:[edit source] ===<br />
दो फलनों के भागफल का अवकल गुणांक = [2<sup>nd</sup> फलन * 1<sup>st</sup> फलन का व्युत्पन्न - 1<sup>st</sup> फलन * 2 का व्युत्पन्न <sup>nd</sup> फंक्शन] को दूसरे फंक्शन के वर्ग से विभाजित किया जाता है। माना y = u/v जहां u और v x के दो फलन हैं। फिर, dy/dx= d/dx[(x<sup>2</sup> + 1)/(x-1)] w.r.t.x.<br />
<br />
उदाहरण: अंतर y = (x2 + 1)/(x - 1) w.r.t. x हल: यहाँ u = x2 + 1, v = x - 1 है। श्रेणी । [(x2 +1)/(x-1)7=(x-1) dx (x +1)-(x2 +1) और (x - 1) (x-1)2 (x-1)× 2x -(x +1)x1 x? - 2x - 1 (x-1) (x-1)<br />
[[Category:Mathematics1]]<br />
{{DEFAULTSORT:Mathematics1}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Indian_Teacher&diff=1277Category:Indian Teacher2022-01-27T06:03:24Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div>'''This is about our historic Indian teachers'''<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:Indian_Teacher}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Chanakya&diff=1276Category:Chanakya2022-01-27T06:02:21Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== <big>Article in Eenadu Newspaper on Chanakya's Principles:</big> [https://www.eenadu.net/business/latestnews/Telugu-News-Key-Investment-Lessons-from-Chanakya-Niti/0150/522000057] ==<br />
[[File:Chanakya-quotes-2.jpg|center|thumb|285x285px]]<br />
<br />
=== <big>Financial success is yours with these '''FIVE''' Chanakya principles!</big> ===<br />
‘Chanakya’... Probably a name that does not need an introduction in India. Governance, political maneuvers, management. With his help, Chandragupta Maurya wiped out the Nanda Empire. Later a special chapter in the history of India was written around the beginning of the Mauryan Empire. Chanakya's principles for success in life are still taught as lessons in the name of ‘Chanakya ethics’. Books are being molded. He also taught many things to achieve financial success in personal life. Let's take a look at some of them.<br />
<br />
[[File:Chanakya quotes about wealth.jpg|thumb|130x130px]]<br />
<br />
==== Wealth in the right way ====<br />
"Wealth must be kept in the right hands. Do not give to others under any circumstances. Sea water that turns into clouds always gives sweet fruit ''- Chanakya'' <br />
<br />
Its growth depends on how you manage the money. According to Chanakya, if the water turns into clouds, it will return to good form in the form of rain. Turns salty when mixed in the same sea.<br />
<br />
So if you invest your money in the right way it will give good returns. That is why you should invest in safe stocks, bonds, mutual funds including gold, and reliable ones like NPS. The same thing applies with ezines and newsletters.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Neeti-Quotes.png|thumb|100x100px]]<br />
<br />
==== Success is the goal ====<br />
‘‘ Ask yourself three questions before you start a task. Why are we doing that? What are the results? Will success pay off? Think deeply about these and move on if you find a satisfactory answer. Those who do not set a goal will not succeed ''- Chanakya''<br />
<br />
<br />
<br />
==== Do not be afraid of temporary losses ====<br />
[[File:Chanakya-quotes-in-english-1-39.jpg|thumb|111x111px]]"When you start a business, do not worry about losing. Do not leave it in the middle under any circumstances. Those who work honestly are always happy ''- Chanakya''<br />
<br />
As with all things in life, there must be a definite goal in terms of investment. Or where to invest? How much to do? How Long Should I Invest? There is no clarity on the issues. The answer to the above questions can be found if you can set a goal for your investment. Knowing how much to earn at any given time will also make it easier to know where to invest. The stock markets have undergone many corrections over the last 30 years. Disasters, scandals, economic slowdown, etc. have contributed to this. However, no matter how much the indices fell .. they recovered and set new records.<br />
<br />
Many investors panic during market corrections. They eventually withdraw their investments when they are at a loss. This converts the losses on paper into real losses. But, those who were stable at that time later got many times more revenue.<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-Niti-Quotes-19-e1600330665462.jpg|thumb|125x125px]]<br />
<br />
==== Extreme misery ====<br />
''"Extreme pride led to the death of Ravana. The emperor of Bali was in trouble due to his over-generosity. So anything insane. Stay away from it - Chanakya''<br />
<br />
Chanakya made it clear that he was not overly showy in any work. This also applies to investments. Investing too much in any single investment path can have negative consequences. That is why we need to diversify our investment. There are many benefits to this. Not all investment avenues offer the same returns in all cases. If it brings some losses .. some will bring huge gains. Doing the same diversification can reduce losses.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:Chanakya-quotes-13.jpg|thumb|121x121px]]<br />
<br />
==== Learning from the mistakes of others ====<br />
‘‘ Learn from the mistakes of others. One life is not enough to learn all the mistakes yourself ''- Chanakya''<br />
<br />
We learn a lot from experiences, especially from mistakes. But, the time was worth it. So in order to learn quickly and quickly one must also learn lessons from the mistakes of others. Many successful investors and financial experts bring their mistakes and experiences in book form. You can learn many things by reading them. You can also access information on authentic websites. <br />
<br />
<br />
== <big>See also -Chanakya</big> : ==<br />
[[wikipedia:Chanakya|Introduction and complete information]]<br />
<br />
[https://bookstorefer.com/chanakya-arthasasthra-philosphy/ Different Books on Chanakya's Neeti]<br />
<br />
[[wikipedia:Arthashastra|Arthashastra]]<br />
<br />
=== <big>Chanakya's untied tuft of hair: The story behind it!</big> ===<br />
[[File:Chanakya21.jpg|thumb|149x149px]]<br />
Chanakya entered the palace of the Nandas. He saw ten gold plates and thrones. He was told that nine were for the eight Nanda princes (who were brothers) and their father Sarvarthasiddhi. The tenth was for the most learned person in Vedas. It was occupied by Subandhu, whose incompetence was widely known. Chanakya sat down in the tenth throne. The nine princes and Subandhu entered the place and noticed Chanakya sitting on the throne. The youngest two brothers, Sukalpa and Dhanananda, asked him to get up and leave. Chanakya replies, 'I am the most qualified for the tenth throne. It is my right to sit on it. If subandhu defeats me in a literary debate, I will readily step down.' The princes become angry but Chanakya remains calm and continues his request for a debate. Sukalpa insults him by calling him a monkey but Chanakya continues to be calm and says that the duty of the king is obey the dharma. Since the tenth throne is to be given to the most learned man, it is dharmic that a contest be held. Further, Chanakya notes that he may be black like a monkey but scholars are noted for what is in them. The princes get angry and ask the guards to throw him out by pulling him by the tuft of the hair. At this instance, Chanakya takes the famous oath, 'I will not tie my tuft of hair until I uproot the whole Nanda dynasty and establish dharma in magadha. Rulers like you have spoiled Bharat. The tuft of hair which you arrogantly pull now will be like a serpent which comes back to bite you.' Hearing this, sukalpa orders him to be put to death. However, the minister subuddisarman intervenes and requests the king to forgive chanakya. Chanakya goes away and meet a worried chandragupta. Chanakya agrees that his life is in danger, and sets out in the direction of vardhamanapura. It is mentioned in most books that Chanakya acted this arrogant manner only to humiliate the nanda rulers who were running the kingdom as dictators and not as kings.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>The Empire of Chandragupta Maurya :</big> ==<br />
<br />
[[File:5127.webp|thumb|250x250px]]<br />
* [[wikipedia:Chandragupta_Maurya|Source]]<br />
* [https://www.thebetterindia.com/150113/history-chanakya-facts-india/ History]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=-Dg53TUOZ4I Video in Hindi]<br />
*[[wikipedia:Chanakya_(TV_series)|Chanakya TV Series]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== <big>Further Reading :</big> ==<br />
Chandragupta and Kautilya began their conquest of India only a few years after Alexander the Great’s death in 323 BCE. Using the principles laid down in the Arthasastra, they defeated the Nanda kings, who had ruled for a century thru the maintenance of a huge army and heavy taxation. Their next objective was to stop Alexander’s successors, especially General Seleucus in Babylon, from invading western India. They accomplished this by assassinating the Greek governors Nicanor and Philip.<br />
<br />
'''The Mauryan Empire:'''<br />
<br />
aking Punjab and Sindh from the Greeks, stopping the invasion of India, and forcing Seleucus to sign a treaty allowed them to complete their conquest. Once the treaty was concluded, virtually the entire subcontinent had been unified under Chandragupta’s rule, the Greeks had established an envoy at the king’s court, and Chandragupta was married to Seleucus’s daughter.<br />
<br />
The Mauryan Empire may have been the first large centralized government that India had known, but according to contemporary sources it was very well run. Despite the autocratic nature of the upper layers of power, there appears to have been real democracy at the city and village level. Megasthenes was the Greek ambassador to Chandragupta’s court in Pataliputra (present day Patna in Bihar). In his book Indica he described the prosperity of Mauryan cities, including abundant water, plentiful minerals, and a healthy agricultural output.Although nothing of the original Indica survives today, it is widely quoted in the works of contemporary Greek and Roman travelers. According to one such source, Megasthenes is quoted as writing that, “the Indians … dressed in bright and rich colors … [and] they liberally used ornaments and gems.”<br />
<br />
After Chandragupta’s death, the empire continued under his son Bindusara and then his grandson Ashoka. Kautilya’s advice is seen by many modern-day scholars as radical and without morality, however, many more argue that the extreme measures advocated by Kautilya (some of which surely must have been used by Chandragupta) were necessary to the times in which he lived. In any era, it’s necessary for a leader to look to the actual workings of the politics of others to determine how his administration should act and react.<br />
<br />
== <big>Chanakya's end: The bizzare death ; [http://www.sankalpindia.net/book/chanakyas-end-bizzare-death From Source]</big> ==<br />
According to a legend which is a later jaina invention, while Chanakya served as the Prime Minister of Chandragupta Maurya, he started adding small amounts of poison in Chandragupta's food so that he would get used to it. The aim of this was to prevent the Emperor from being poisoned by enemies. One day the queen, Durdha, shared the food with the Emperor while she was pregnant. Since she was not used to eating poisoned food, she died. Chanakya decided that the baby should not die; hence he cut open the belly of the queen and took out the baby. A drop (bindu in Sanskrit) of poison had passed to the baby's head, and hence Chanakya named him Bindusara. Bindusara would go on to become a great king and to father the greatest Mauryan Emperor since Chandragupta - Asoka. When Bindusara became a youth, Chandragupta gave up the throne and followed the Jain saint Bhadrabahu to present day Karnataka and settled in a place known as Sravana Belagola. He lived as an ascetic for some years and died of voluntary starvation according to Jain tradition. Chanakya meanwhile stayed as the Prime Minister of Bindusara. Bindusara also had a minister named Subandhu who did not like Chanakya. One day he told Bindusara that Chanakya was responsible for the murder of his mother. Bindusara asked the nurses who confirmed this story and he became very angry with Chanakya. It is said that Chanakya, on hearing that the Emperor was angry with him, thought that anyway he was at the end of his life. He donated all his wealth to the poor, widows and orphans and sat on a dung heap, prepared to die by total abstinence from food and drink. Bindusara meanwhile heard the full story of his birth from the nurses and rushed to beg forgiveness of Chanakya. But Chanakya would not relent. Bindusara went back and vent his fury on Subandhu, who asked for time to beg for forgiveness from Chanakya. Subandhu, who still hated Chanakya, wanted to make sure that Chanakya did not return to the city. So he arranged for a ceremony of respect, but unnoticed by anyone, slipped a smoldering charcoal ember inside the dung heap. Aided by the wind, the dung heap swiftly caught fire, and the man behind the Mauryan Empire and the author of Arthashastra was burned to death.<br />
[[Category:Indian Teacher]]<br />
{{DEFAULTSORT:Indian_Teacher}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Indian_Teacher&diff=1275Category:Indian Teacher2022-01-27T06:01:39Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div>'''This is about our historic Indian teachers'''<br />
[[Category:Indian Teacher]]<br />
{{DEFAULTSORT:Indian_Teacher}}</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Category:Indian_Traditions&diff=1274Category:Indian Traditions2022-01-27T06:00:32Z<p>Mani: Created page with "Indian culture is full of unique customs and traditions that are waiting to be explored. These cultural aspects differ widely across India’s 28 states and seven territories,..."</p>
<hr />
<div>Indian culture is full of unique customs and traditions that are waiting to be explored. These cultural aspects differ widely across India’s 28 states and seven territories, and many of them stem from ancient Indian scriptures and texts, which paved the way of life in India for centuries.</div>Manihttps://test.indicwiki.in/index.php?title=Shodashopachara_Puja&diff=1273Shodashopachara Puja2022-01-27T05:54:52Z<p>Mani: </p>
<hr />
<div><br />
== Puja: ==<br />
Puja (Prayer) is the first step to impart training to the mind to concentrate and involve physically and mentally while performing worship of God. It is important to understand the meaning of “MANTRAS” and actions required to be performed to obtain the complete benefits of the prayers.<br />
<br />
In Hindu practice, puja is done on a variety of occasions, frequency and settings. It may include a daily puja done in the home, or occasional temple ceremonies and annual festivals. In other cases, puja is held to mark a few lifetime events such as birth of a baby or a wedding, or to begin a new venture. The two main areas where puja is performed are in the home and at temples to mark certain stages of life, events or some festivals such as Durga Puja and Lakshmi Puja. Puja is not mandatory in Hinduism. It may be a routine daily affair for some Hindus, periodic ritual for some, and rare for other Hindus. In some temples, various pujas may be performed daily at various times of the day; in other temples, it may be occasional.<br />
<br />
“<sup><big>Shodasa Upacahar</big></sup>” is a complete process of performing the rituals of puja, the worship. Upachar means service; there are 16 upachars to be executed for worship. It is usually rendered with the vedic chantings. Alternately one should close the eyes and perform this offering mentally (manasa puja). All these “Shodasha upachara puja” is a standard practice in temples and also at home on special occasions.<br />
<br />
All these 16 steps are symbolical representations of the various forms of expressing reverence like offering the deity a golden throne to be seated, washing his feet, washing his hands, offering him water to drink, ceremonial bathing with sacred waters, offering new clothes, anointing him with sandal paste and other perfumes, adorning of jewels, worshipping with flowers, offering of fragrant incense, lighting the lamp, offering food (Prasada), fruits and sweet drinks, chanting his praises, offering Arati and finally prostrating to him and seeking his blessings.<br />
<br />
== Purpose of rituals <big>:</big> ==<br />
The Vedic conception of sacrifice as a link between the celestial beings and men is explained in the Karma Kanda section. Performance of any ritual is an excellent training for the wandering mind and in truth is a sadhana for spiritual progress. The rites are also known as ‘sacrifice’ since one is taught to dedicate oneself and all of one’s possessions, including the fruits of the ritual.<br />
<br />
== Related Terms : ==<br />
<br />
# ''Puja Samagri (various substances) used in ritualistic worship'' : Some religious rituals are incomplete without the help of other components, for example, specific substances (''Puja Samagri'') are necessary in ritualistic worship of God. These components aiding the religious rituals are an important link in seeking the grace of God through the medium of religious rituals. Understanding the spiritual importance of each of these components (''Puja Samagri'') enhances the ''bhav'' (Spiritual emotion) towards them, thereby making the religious ritual rich in ''bhav''. With this objective in mind the spiritual importance and salient features of the components (''Puja Samagri'') like turmeric, vermilion, ''gandha'' (sandalwood paste), flowers, ''akshata'', betel nut, coconut, ''Panchakhadya'', incense sticks, camphor etc. used in ritualistic worship are mentioned in this article.<br />
# ''Pujari :'' Pujari is a designation given to a Hindu temple priest who performs pūja. The word comes from the Sanskrit word "पूजा" meaning worship. They are responsible for performing temple rituals, including pūjā and aarti. Pujari are mainly drawn from the Hindu Brahmin.<br />
<br />
== Shodashopachara Puja<big>:</big> ==<br />
Shodashopachara-puja means the Upachar/service Shodasa/sixteen-steps in the performance of PUJA, on special occasions.<br />
<br />
In Hinduism, '''''upachara''''' (Sanskrit: उपचार; service or courtesy) refers to the offerings and services made to a deity as part of worship.<br />
<br />
Shodashopachara Puja is one of the widely performed Vedic rituals. It includes sixteen ritual services a devotee offers to the Deity being worshipped at the altar. It aims at raising your five senses, removing all the negative energies from your mind and body. In short, this puja is performed to completely purify your mind and body (include the five senses). Purification results in naturally positive thoughts and actions intended to bring in all good for you.<br />
[[File:Image1.png|center|thumb]]<br />
[[File:Image2.png|left|thumb|106x106px]]<br />
Gange cha Yamune chaiva Godavari Saraswati, Narmade Sindhu Kaveri jalesmin sannidhim kuru;<br />
<br />
गङ्गे च यमुने चैव गोदावरि सरस्वति ।<br />
<br />
नर्मदे सिन्धु कावेरि जलेऽस्मिन् संनिधिं कुरु ॥<br />
<br />
<br />
[[File:Image3.png|left|thumb|106x106px]]<br />
Meaning:<br />
<br />
O Holy Rivers Ganga and Yamuna, and also Godavari and Saraswati,<br />
<br />
O Holy Rivers Narmada, Sindhu and Kaveri; Please be Present in this Water (and make it Holy).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Benefits of Shodashopachara Puja<big>:</big> ==<br />
<br />
* Negative thoughts are all removed, feelings of positivity and newness restored<br />
* Spiritual strength increased<br />
* Blessings of the Deity invoked and worshipped<br />
<br />
== See also<big>:</big> ==<br />
[5]<br />
<br />
[6]<br />
<br />
[7]<br />
<br />
[8]<br />
<br />
== Shudhhi/suchihi mantram:Apavitraha pavitrova ==<br />
[[File:Image4.png|left|thumb]]<br />
oṃ apavitraḥ pavitro vā sarvāvasthāṃ gato’pi vā .<br />
<br />
yaḥ smaretpuṇḍarīkākṣaṃ sa bāhyābhyantaraḥ śuciḥ ..<br />
<br />
ॐ अपवित्रः पवित्रो वा सर्वावस्थां गतोऽपि वा ।<br />
<br />
यः स्मरेत्पुण्डरीकाक्षं स बाह्याभ्यन्तरः शुचिः ॥<br />
<br />
'''Meaning''': Om, if one is Apavitra (Impure) or Pavitra (Pure), or even in all other conditions, he who remembers Pundarikaksha (another name of Sri Vishnu, literally meaning with lotus-like eyes), he becomes pure outwardly as well as inwardly.<br />
<br />
== Mantras/Stotras of all God/Goddess ==<br />
“Mananaat traayate iti mantrah” – That which uplifts us by continuous repetition is a ‘Mantra’!<br />
<br />
Mantras are extremely powerful – combined with both the sound elements and the essence of what is being recited, Mantras can transform individuals leading to power and strength. Chanting of Mantras can give us the power for attaining a blissful state and liberation.<br />
<br />
A Mantra chanted correctly or incorrectly, knowingly or unknowingly, carefully or carelessly, is sure to bear the desired result for one’s well being. It is believed that the glory of Mantra chanting cannot be established through reasoning and intellect. It can only be experienced or realized through devotion, faith and constant repetition of the Mantra.<br />
<br />
According to some scholars, Mantra chanting is Mantra Yoga. The basic yet powerful Mantra, Om or Aum harmonizes the physical forces with the emotional forces and the intellectual forces. When this happens, you start to feel like a complete being – mentally and physically. But this is an extremely slow process and requires a lot of patience and unfailing faith.<br />
<br />
== <big>List:</big> ==<br />
The sixteen steps in servicing are listed below: ''Begin with'':<br />
[[File:ImageD.png|left|thumb]]<br />
'''Dhyanam'''-Dhyanam is reciting a short prayer specific to god that one worships and engage our mind into lotus feet of that god. In the Hindu scriptures, Lord Ganesha is always worshipped in the beginning of any ritual for his blessings to ensure that the whole procedure would move smoothly unhindered by any external obstacles at any stage. So, these upacharas are first done for Lord Ganesha and then all steps are repeated for the main deity.<br />
<br />
Shukla-Ambara-Dharam Vissnnum Shashi-Varnnam Catur-Bhujam |<br />
<br />
Prasanna-Vadanam Dhyaayet Sarva-Vighno [a-U] pashaantaye ||<br />
<br />
OM Ekadantaya Vidmahe Vakkratundaya Dheemahi, Tanno Danti Prachodayat<br />
<br />
[[File:ImageA.png|left|thumb|62x62px]]<br />
1. Avahanam- Inviting the worshipped God or Goddess to come into the place of worship or idol by chanting the Vedic verse as though you are inviting a loveable guest inside your home.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageAA.png|left|thumb|60x60px]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2. Asanam- Offering the worshipped God a seat. After inviting a guest to your house you would offer a comfortable seat for him to relax. In similar way by chanting the Vedic verse offer a seat to the chosen deity.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageP.png|left|thumb|66x66px]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3. Paadyam- Wash the feet of God by pouring water at His feet. As per our tradition, the guest is offered water to wash his feet after he relaxed for adequate time. Imagine you are washing the delicate, lotus feet of Lord.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageAa.png|left|thumb|69x69px]]<br />
<br />
<br />
<br />
4. Arghyam-Water is offered to the deity to wash hands.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageAAa.png|left|thumb|74x74px]]<br />
<br />
<br />
<br />
5. Achamanam- Water is offered to drink with the chanting of the relevant vedic mantra.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageS.png|left|thumb|78x78px]]<br />
<br />
6. Snanam- Sprinkle water on God as if giving Him bath. In a detailed pooja, bath God with panchamrutham (Milk, Yoghurt, Ghee, Honey, Sugar, Coconut Water, Fruit Juice, Sandal Powder, Turmeric one at a time). This is followed by bath with fresh water<br />
<br />
[[File:ImageY.png|left|thumb|99x99px]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7. Yagnopavitham- Offer Yajnopaveetham(sacred thread/flower/akshathas). In olden days the old people used to make “Yagnopaveeta” daily in their houses for offering to the guest. It is presumed that the guest had travelled for a long distance before he reach your house, during the course he had to take bath in the Rivers/streams and may lose his “Janevu” or “Jandem”. It is also important to note “Yagnopaveeta” used to be worn by both men and women. You might have noticed the statues of Goddesses shown wearing “Janevu” in museums. So whether you worship God or Goddess you have to offer “Janevu”<br />
<br />
<br />
[[File:ImageV.png|left|thumb|95x95px]]<br />
8. Vastram- Offer new clothes, Jewellery. Imagine that you adore the Lord with the ornaments of your love and other good qualities.<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageG.png|left|thumb|98x98px]]<br />
9. Gandham- Place sandalwood paste on the forehead of God. After getting dressed and wearing “Yagnopaveeta” the host offer good smelling sandal wood paste. “Sugandham (Good Smelling), “Manoharam” (Should steal the heart) is the quality of Sandal wood paste narrated by Vedic verse. It is expected to apply the sandal wood paste gently on the neck of the Lord.<br />
<br />
<br />
[[File:ImagePu.png|left|thumb|107x107px]]<br />
10. Pushpam- Glorify God by reciting His 108 names, and offer one flower or a petal at a time, like offering flowers/flower petals to Lord Venkatesha and Lakshmi Devi, Lord Shiva and Parvati Devi etc<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageDh.png|left|thumb|103x103px]]<br />
11. Dhoopam- Show incense to God. As the perfumed smoke reaches the Lord, so our soul also should aspire to reach God.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageDe.png|left|thumb|105x105px]]<br />
<br />
<br />
12. Deepam- Show oil lamp to God. It is not expected to make your guest to sit in the dark. In olden days when electric power was not in use, lamps were used to be kept on stands slightly away from the place where people used to dine. It also symbolizes bringing of light into one’s place and life.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageN.png|left|thumb|102x102px]]<br />
<br />
<br />
<br />
13. Naivedyam- Offer specially prepared food to God. This food must be prepared cleanly in separate utensils, other than in what we eat, and without tasting beforehand.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[File:ImageT.png|left|thumb|105x105px]]<br />
<br />
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14. Tamboolam- Betel leaves and betel nuts are offered to God after the Naivedhyam. After delicious food, it is the practice to offer betel leaves for proper digestion. The quality of betel leaves is narrated in the verses. '''“Pooghiphala (Beetle nut) Samayuktam, Nagavalli dalairyatam (Japatri petals) karpoora churna (Edible Karpoor powder) samuktam, tamboolam”.'''<br />
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15. Neeranjanam- Camphor lamp is shown to God. It is again customary that in every auspicious occasion aarati is offered to the deity. This is an important and auspicious occasion as Lord himself has come home, so with utmost devotion offer “Aarati” to the Lord.<br />
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[[File:Mantrapushpam.jpg|left|thumb|120x120px]]<br />
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16. Mantra Pushpam / Pushpanjali : The pooja ends with another service called “Mantra Pushpam” in which a devotee offers handful of flowers to God finally glorifying Him and places the flowers on his lotus feet with utmost devotion and dedication.<br />
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Pooja is based on Mantras (hymns) and is focused on concentrating on sounds.<br />
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Additionally Namaskra, Atma Pradakshina (Revolving round you and saluting the Lord within yourself). Samarpana, Kshamarpana (To beg apology for any mistake made during offering of the services), Theertha prasada are also important steps apart from the above Shodashopachara pooja. In addition there are “Rajopachara” like holding Umbrella for the Lord, waving hand fan to provide Lord a gentle breeze, singing a song to please him, dancing before him to give him entertainment,, Showing Mirror to him, providing horse and elephant ride etc;<br />
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These are otherwise called “DEVOPACHARA”<br />
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Respectful discarding as seen in Ganapathi and Durga festivals. This means the idol served a limited purpose to begin with. Later on for various temples came up. Idols incorporated with principles of Iconography: ⊙-1-5-3 God have come to be preserved. All these 16 steps are symbolic forms of expressing formal reverence to the highest universal embodimrnt of power<br />
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In addition to Shodashopachara “Rajopachara” includes holding Umbrella for the Lord, waving hand fan to provide Lord a gentle breeze, singing a song to please him, dancing before him to give him entertainment, showing mirror to him, providing horse and elephant ride etc;.<br />
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<nowiki>*</nowiki>for Kasi-Visvanatha: akshata, Akshatal’ grains of rice, Vibhooti, darba, Bel-patra, datura;<br />
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Vishnu/avataras: flowers, tulasi leaves; Grains of unbroken raw rice mixed with ghee and turmerick powder;<br />
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As if to overcome any short coming or wrong understanding Hindus have devised the offering of five elements to God in the Panchopachara-Puja-mantra: (Vam refers to water offered for cleansing and the food offered as naivedyam). Offerings to God and distribution of Prasada symbolizes part-taking the ritual food with God. Seed letters represent/symbolize the elements implied along with numerical symbolism: O-1-5-3 as follows:<br />
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1. Lam Prithivi tatvatmikayai urdvapundram dharayami<br />
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2. Vam amrita tatvatmikayai argyam agrarpayami/naivedyam samrpayami<br />
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3. Ram agni tatvatmika yai deepam darsayami<br />
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4. Yam Vayu tatvtamika yai dhupam agrapayami<br />
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5. Ham akasa tatvatmikayai pushpam dharayami Antahkarana-chatushya, soft-ware, Aham/self, chitta/conscience, buddhi/intelligence, manas/mind;<br />
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Biologically, one apparent seed contains within both the male and female aspects in zygote:<br />
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They are not lost, but their identity is merged to emerge as Bija-a third force. This is the case with Bija-akshara mantra (Vam, Ham, Ram, Yam, Aum-Om etc). There is a saying that where science ends Philosophy begins and where Philosophy ends, Religion begins and Religion is based on faith.<br />
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# [[:Category:Shodashopachara Puja in Sanskrit|↑]] [1]<br />
# [[:Category:Shodashopachara Puja in Sanskrit|↑]] [2]<br />
# [[:Category:Shodashopachara Puja in Sanskrit|↑]] [3]<br />
# [[:Category:Shodashopachara Puja in Sanskrit|↑]] '''Hinduism''' (/ˈhɪnduɪzəm/) is an Indian religion and ''dharma'', or way of life. It is the world's third-largest religion, with over 1.2 billion followers, or 15–16% of the global population, known as Hindus. The word ''Hindu'' is an exonym, and while Hinduism has been called the oldest religion in the world, many practitioners refer to their religion as Sanātana Dharma (Sanskrit: सनातन धर्म, <small>lit. </small><nowiki>''</nowiki>the Eternal Dharma<nowiki>''</nowiki>), which refers to the idea that its origins lie beyond human history, as revealed in the Hindu texts. Another, though less fitting, self-designation is ''Vaidika dharma'', the 'dharma related to the Vedas.' Hinduism is a diverse system of thought marked by a range of philosophies and shared concepts, rituals, cosmological systems, pilgrimage sites, and shared textual sources that discuss theology, metaphysics, mythology, Vedic yajna, yoga, agamic rituals, and temple building, among other topics. Prominent themes in Hindu beliefs include the four Puruṣārthas, the proper goals or aims of human life; namely, dharma (ethics/duties), artha (prosperity/work), kama (desires/passions) and moksha (liberation/freedom from the passions and the cycle of death and rebirth), as well as karma (action, intent and consequences) and saṃsāra (cycle of death and rebirth). Hinduism prescribes the eternal duties, such as honesty, refraining from injuring living beings (''Ahiṃsā''), patience, forbearance, self-restraint, virtue, and compassion, among others. Hindu practices include rituals such as puja (worship) and recitations, japa, meditation (dhyāna), family-oriented rites of passage, annual festivals, and occasional pilgrimages. Along with the practice of various yogas, some Hindus leave their social world and material possessions and engage in lifelong Sannyasa (monasticism) in order to achieve moksha.<br />
# [[:Category:Shodashopachara Puja in Sanskrit|↑]] [4]<br />
# [[:Category:Shodashopachara Puja in Sanskrit|↑]] Mantras and Stotras<br />
{{DEFAULTSORT:Indian Traditions}}<br />
[[Category:Indian Traditions]]</div>Mani